О корректности управляемых систем с запаздыванием


ВЕСТНИК УДМУРТСКОГО УНИВЕРСИТЕТА


МАТЕМАТИКА



2008. Вып.2

УДК 517.911/517.929


© Е. О. Бурлаков, Е. С. Жуковский





                О КОРРЕКТНОСТИ
                УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ ¹




Получены условия непрерывной зависимости решений дифференциальных уравнений от функций управления и запаздывания. При выполнении этих условий можно гарантировать, что неточности в определении параметров не могут оказать большого влияния на управляемую систему.

Ключевые слова: дифференциальные уравнения с запаздыванием, непрерывная зависимость решений от параметров, управляемые системы.


   Пусть Rⁿ — пространство векторов, имеющих n действительных компонент, с нормой |-|; у—мера Лебег а на отрезке [ a,b ]; L ([ a,b ], у, Rⁿ) — пространство измеримых суммируемых функций y : [a, b] ^ Rⁿ с нормой ||y|i = I \y(s) | ds; AC([a,b],у, Rⁿ) — пространство таких абсолютно J a
непрерывных функций x : [a,b] ^ Rⁿ, что x L L([a,b], у, Rⁿ), с нормой ||x|Uc = \x (a) | + ||<r II   Рассмотрим задачи Коши


    x(t) = f(t,x(t-T 1(t)),x(t-т2(t)),.. .,x(t-Tₘ(t)),u(t)), t e [a,b], x(t) = у(t), если t / [a,b], x(a) = a;


  x(t) = f(t,x(t-T1 i(t)),x(t-T2i(t)),.. .,x(t-Tmi(t)),Ui(t)), t L [a,b],

           x (t ) = у (t), если t/ [ a, b ], x (a ) = a, i = 1, 2,...,


(1)

(1 i)

где функции Tj,Tji : [a, b] ^ [0, + ж), j = 1, 2,... ,m, i = 1, 2,... измеримы, функции u, ui : [a, b] ^ Rk, i = 1, 2,... измеримы и ограничены в существенном, функция у : (-ж, a) ^ Rⁿ равномерно непрерывна и ограничена, функция m + 2 аргументов f : [a,b] х Rⁿ х Rⁿ х ... х Rⁿ х Rk ^ Rⁿ удовлетворяет условиям Каратеодори:

   Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 07-01-00305), Рособразования (темплан 1.6.07), Норвежской национальной программы научных исследований FUGE при Совете научных исследований Норвегии и Норвежского комитета по развитию университетской науки и образования (NUFU), грант PRO 06/02.