НЕРАВЕНСТВО ЛЯПУНОВА ВО ВРЕМЕННЫХ ШКАЛАХ


ВЕСТНИК УДМУРТСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

МАТЕМАТИКА                                      2008. Вып. 2


УДК 517.929

© И. С. Загребина




                НЕРАВЕНСТВО ЛЯПУНОВА ВО ВРЕМЕННЫХ ШКАЛАХ




Доказано неравенство Ляпунова для произвольной временной шкалы.
Ключевые слова: временная шкала, неравенство Ляпунова.

  Определение 1[1]. Замкнутое множество T С R называется временной шкалой.

  Оп ре д ел ение 2[1]. Отображения а, р : T ^ T, определенные равенствами
            а (t) = inf {s G T, s > t}, а (sup T) = sup T, p(t) = sup{s G T, s <t}, p(inf T) = inf T,
называются операторами скачка.

  Пример 1. Если T = R, то а(t) = р(t) = t. Если T = Z, то а(t) = t + 1, р (t) = t — 1.

  Определение 3[1]. Немаксимальный элемент t G T называется изолированным справа (rs), если а(t) > t, и плотнъim справа (rd), если а(t) = t. Неминимальный элемент называется изолированным слева (ls), если р(t) < t, и плотным слева (ld), если р(t) = t.

  Определение 4[1]. Отображение g : T ^ X, где X— банахово пространство, называется rd-непрерывным, если
1) g (t) непрерывно в каждой rd-точке t G T,
2) в каждой ld-точке существует lim g(s) = g(t⁻).
s^t-0

  Определение 5[1]. Отображение u : T ^ X называется дифференцируемым в точке t G T, если существует a G X такое, что для любого е > 0 найдется 5 > 0 и для всех s G T П Os (t) выполнено Hu(а(t)) — u(s) — a(а(t) — s)|| 6 е|а(t) — s|. Производная отображения и обозначается ил.

  Пример 2. Если T = R, то иЛ(t) = и'(t). Если T = Z, то иЛ(t) = и (t + 1) — и (t).