ИНВАРИАНТНЫЕ МНОЖЕСТВА СИСТЕМ С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ


ВЕСТНИК УДМУРТСКОГО УНИВЕРСИТЕТА


МАТЕМАТИКА



2008. Вып.2

УДК 517.929

° В.Н. Варанов

ИНВАРИАНТНЫЕ МНОЖЕСТВА СИСТЕМ С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ¹

Даются необходимые и достаточные условия инвариантности множеств для систем с последействием.

Ключевые слова: системы с последействием, множества выживаемости, инвариантные множества.

   Пусть задано число r > 0. Обозначим X = C([—г, 0], Rⁿ)— пространство непрерывных на отрезке [—г, 0] функций со зкачениями в Rⁿ и нормой |Ы|x = max \v(s)|. Для непрерывной функции t ^ x(t) G Rⁿ, se [-r, o]
t G [to — r, to + a) обозначим t ^ xₜ G X, t G [1₀ — r, 1₀ + a) — отображение заданное равенством

           Xt (s )=x (t + s), t G [ t o — r, t o + a), s G [—r, 0]. (1)

   Рассмотрим задачу Коши для дифференциального уравнения с последействием

X( t ) = f (t,xt),                 (2)
xt 0 = V,                        (3)

где f : R x X ^ Rⁿ— непрерывная на R x X функция, v G X.

  Определение 1. Пусть M C R x X. Будем говорить, что множество M является множеством выживаемости системы (2), если для любой точки (to, V) G M найдется решение задачи (2), (3) t ^ x(t) G Rⁿ, t G [to—r,to+a) такое, что для всех t G [tₒ—r,tₒ+a) выполнено включение (t, xₜ) G M, где t ^ xₜ G X определено равенством (1).
   Если для любой точки (to, V) G M и любого решения t ^ x (t) G Rⁿ задачи (2), (3) движение t ^ xₜ, определеное равенством (1), не покидает множества M, то будем говорить, что множество M положительно инвариантно.

  ¹Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 06-01-00258).