Модели оптимального управления и операционного исчисления для многокритериального анализа экономических систем

П. Н. Победаш 
Е. С. Семенкин

Монография

Институт математики

модЕли оПтимальНого уПравлЕНия 
и оПЕрациоННого иСчиСлЕНия
для мНогокритЕриальНого аНализа 
экоНомичЕСких СиСтЕм

Предложены модели оптимального управления в классе 
линейных многошаговых задач для многокритериальной 
оценки инвестиционных проектов развития производственных систем, в том числе в условиях неопределенности спроса на производимую продукцию. На основе 
предложенных моделей и оператора, представляющего собой на конечном горизонте планирования аналог 
Z-преобразования, разработан подход к автоматизации 
построения математического и алгоритмического обеспечения для предварительной оценки эффективности 
функционирования указанных систем.

9 785763 824834

ISBN 978-5-7638-2483-4

Модели оптимального управления и операционного исчисления
для многокритериального анализа экономических систем

П. Н. Победаш
Е. С. Семенкин

 
Оглавление 

1 

Министерство образования и науки Российской Федерации 
Сибирский федеральный университет 
 
 
 
 
 
 
П. Н. Победаш, Е. С. Семенкин 
 
 
 
 
 
МОДЕЛИ  ОПТИМАЛЬНОГО  УПРАВЛЕНИЯ  
И  ОПЕРАЦИОННОГО  ИСЧИСЛЕНИЯ  
ДЛЯ  МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОГО  АНАЛИЗА 
ЭКОНОМИЧЕСКИХ  СИСТЕМ 
 
Монография 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Красноярск  
СФУ 
2012 

 
Оглавление 

2 

УДК 519.86 
ББК 22.161 
        П411 
 
Р е ц е н з е н т ы: 
А. Б. Гордиенко – доктор физико-математических наук, профессор 
кафедры теоретической физики Кемеровского государственного университета;  
Е. А. Попов – доктор физико-математических наук, профессор кафедры 
системного анализа и исследования операций Сибирского государственного аэрокосмического университета имени академика М. Ф. Решетнева  
 
 
 
 
Победаш, П. Н. 
П411       Модели оптимального управления и операционного исчисления для многокритериального анализа экономических систем: 
монография / П. Н. Победаш, Е. С. Семенкин. – Красноярск : 
Сиб. федер. ун-т, 2012. – 260 с. 
ISBN 978-5-7638-2483-4 
 
Предложены модели оптимального управления в классе линейных многошаговых задач для многокритериальной оценки инвестиционных проектов 
развития производственных систем, в том числе в условиях неопределенности 
спроса на производимую продукцию. На основе предложенных моделей и оператора, представляющего собой на конечном горизонте планирования аналог    
Z-преобразования, разработан подход к автоматизации построения математического и алгоритмического обеспечения для предварительной оценки эффективности функционирования указанных систем. 
Представленный подход принципиально не меняется при увеличении количества исходных параметров, переменных, ограничений и критериев качества 
указанных оптимизационных моделей и ориентирован на математиков, специализирующихся в области оптимального управления, финансовых и инвестиционных аналитиков, экономистов, а также студентов математической и экономической специализации. 
 
УДК 519.86 
ББК 22.161 
 
 
ISBN 978-5-7638-2483-4 
 
 
 
                    © Сибирский федеральный 
 
 
 
 
 
 
 
 
            университет, 2012 

 
Оглавление 

3 

ОГЛАВЛЕНИЕ 
 
СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ……………………………………….................... 
5

ВВЕДЕНИЕ…………………..………………………………………………... 
6

Глава 1. ЗАДАЧА ОПТИМИЗАЦИИ  
               РЕАЛЬНЫХ ИНВЕСТИЦИЙ С  НЕСКОЛЬКИМИ  
               ЭКОНОМИЧЕСКИМИ АГЕНТАМИ……………............................ 
13
1.1. Постановка задачи оптимизации реальных инвестиций  
       с несколькими экономическими агентами  
       как многокритериальной динамической задачи  
       оптимального управления с дискретным временем………..................... 
13
1.1.1. Особенности функционирования  
          экономических систем……………………………………………. 
14
1.1.2. Принципы моделирования функционирования  
          экономических систем…………………………….….................... 
18
1.2. Основные предпосылки и содержательная  
       постановка задачи оптимизации реальных инвестиций  
       в экономической системе………................................................................ 
24
1.2.1. Основные предпосылки, используемые  
          при моделировании реальных инвестиций  
          в экономической системе………………………………………… 
24
1.2.2. Содержательная постановка задачи оптимизации  
          реальных инвестиций в экономической системе……………….. 
26
1.3. Вычисление и анализ основных финансовых показателей  
       деятельности предприятия……………………………………………….. 
28
1.4. Теоретические основы однокритериальной оптимизации…………….. 
32
1.4.1. Условия разрешимости однокритериальной задачи  
          оптимизации с ограничениями…………………………………... 
32
1.4.2. Соотношения двойственности в задачах  
          линейного программирования…………………………………… 
34
1.4.3. Дискретный принцип максимума для многошаговых  
         задач линейного программирования…………………................... 
38
1.4.4. Методы решения линейных многошаговых задач,  
          основанные на дискретном принципе максимума……………… 
42

Глава 2. ДВУХКРИТЕРИАЛЬНЫЕ  
               МОДЕЛИ ОПТИМИЗАЦИИ  
               РЕАЛЬНЫХ  ИНВЕСТИЦИЙ………………………….................... 
47
2.1. Содержательные постановки задачи оптимизации  
       реальных инвестиций с двумя экономическими агентами……………. 
47
2.2. Математические постановки задачи оптимизации  
       реальных инвестиций с двумя экономическими агентами……………. 
49
 

 
Оглавление 

4 

 
2.3. Доказательство разрешимости задачи оптимизации  
       реальных инвестиций с двумя экономическими агентами  
       без применения операционного исчисления……………………………. 
64
2.4. Доказательство монотонности свертки критериев  
       в задачах оптимизации реальных инвестиций с двумя  
       экономическими агентами…………………………………...................... 
75
2.5. Анализ задачи оптимизации реальных инвестиций  
       для двух экономических агентов  
       на основе операционного исчисления…………………………………... 
79
2.6. Анализ двухкритериальной агрегированной задачи оптимизации 
       реальных инвестиций на бесконечном горизонте планирования 
       с помощью принципа нетривиальности решения…………………......... 
111
2.7. Численный анализ моделей оптимизации реальных  
       инвестиций для двух экономических агентов………………………….. 
155

Глава 3. ДВУХКРИТЕРИАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ  
               ОПТИМИЗАЦИИ РЕАЛЬНЫХ ИНВЕСТИЦИЙ 
               С НЕОПРЕДЕЛЕННЫМ СПРОСОМ……………………………… 
164
3.1. Содержательные постановки задачи оптимизации реальных 
       инвестиций с неопределенным спросом для двух  
       экономических агентов…………………………………………………... 
165
3.2. Математические постановки задачи оптимизации реальных  
       инвестиций с неопределенным спросом для двух  
       экономических агентов…………………………………………………... 
167
3.3. Доказательство существования решения  
       двухкритериальных задач оптимизации реальных  
       инвестиций с неопределенным спросом 
       на конечном интервале времени……….………………………………… 
174
3.4. Анализ двухкритериальных задач оптимизации реальных  
       инвестиций с неопределенным спросом на основе  
       операционного исчисления………………………………..……………... 
185
3.5. Решение двухкритериальной агрегированной задачи  
        оптимизации реальных инвестиций с неопределенным  
        спросом на бесконечном интервале времени………………………….. 
203
3.6. Параметрический анализ двухкритериальной задачи оптимизации 
       реальных инвестиций с неопределенным спросом и свободным 
       конечным состоянием на основе дискретного принципа максимума.... 
213
3.7. Численный анализ моделей оптимизации реальных  
       инвестиций с неопределенным спросом для двух  
       экономических агентов…………………………………………………... 
233

ЗАКЛЮЧЕНИЕ…………………………………….…………………………. 
237

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ…………………..……………………................... 
240

 
Список сокращений 

5 

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ 
 
 
ДП – денежный поток 
ДПМ – дискретный принцип максимума 
ЕСН – единый социальный налог 
ЗЛП – задача линейного программирования 
ЗЛППС – задача линейного программирования с перечислимой 
структурой 
ЗОРИ – задача оптимизации реальных инвестиций 
ИП – инвестиционный проект 
ИФНС – инспекция финансово-налоговой службы 
КС – конечное состояние 
ЛПР – лицо, принимающее решение 
МЗЛП – многошаговая задача линейного программирования 
ММЗЛП – многокритериальная многошаговая задача линейного 
программирования  
МПП – метод последовательных приближений 
НДС – налог на добавленную стоимость 
НИ – налог на имущество 
НП – налог на прибыль 
НЦ – налоговый центр 
ОПФ – основной производственныйо фонд 
ППП – пакет прикладных программ 
ТЭП – технико-экономические показатель 
ФОТ – фонд оплаты труда 
ЭА – экономический агент 
ЭВМ – электронная вычислительная машина 
ЭС – экономическая система 
const – постоянная (константа). 

 
Введение 

6 

ВВЕДЕНИЕ 
 
 
Современное многономенклатурное производство в условиях конкуренции характеризуется действием множества факторов, 
влияющих на результат функционирования экономической системы 
(ЭС), и возможностью выбора наилучшего варианта развития (в смысле 
заданных критериев качества) из множества допустимых инвестиционных стратегий. Поэтому зачастую трудно оценить обоснованность 
и последствия того или иного инвестиционного шага, основываясь 
лишь на личном опыте и интуиции лица, принимающего решение 
(ЛПР). Для оценки эффективности инвестиционных стратегий применяются соответствующие оптимизационные модели экономической 
динамики, исследование которых численными методами осложняется 
многопараметричностью и большой размерностью этих задач.  
В связи с этим актуален предлагаемый в данной работе подход к 
анализу моделей оптимального управления развитием производственных ЭС, позволяющий на основе операционного исчисления получать широкий спектр аналитических результатов: статические модели (
T
Z -модели), оценки управляющих переменных и целевых критериев, а также обоснование разрешимости указанных динамических 
и статических моделей как на конечном, так и на бесконечном интервалах времени. Это предоставляет ЛПР возможность характеризовать 
эффективность функционирования таких систем с учетом целей нескольких экономических агентов.  
Указанный подход базируется на применении к анализу эффективности инвестиционного проекта (ИП) развития экономических 
систем оператора, являющегося аналогом Z-преобразования для конечного интервала времени. Отметим, что словосочетание «экономическая система» включает в себя широкий диапазон объектов: от 
предприятия на микроэкономическом уровне до региона (отрасли), 
государства и даже планеты в целом соответственно на мезо-, макро- 
и мегаэкономическом уровнях описания.  
Это позволяет, не умаляя общности результатов, полученных 
здесь для производственного предприятия, распространить их на более высокий из перечисленных уровней, заменяя такие его характеристики, как производительность, стоимость ОПФ, спрос на производи

 
Введение 

7 

мую продукцию, прибыль и т. п., на аналогичные агрегированные показатели (средние, максимальные или минимальные по соответствующему экономическому уровню). 
В монографии рассматриваются вопросы оптимизации проектов 
реального инвестирования (т. е. инвестирования для приобретения 
производственных активов) в экономических системах в современных 
рыночных условиях. В соответствии с работами [35, 36, 53, 62, 142, 
213] любой ИП проходит сначала этап предварительной (т. е. не 
слишком детализированной) проработки возможных вариантов его 
реализации. Если оцениваемый проект будет отвергнут на этом этапе, 
то нет смысла в его более детальной проработке. В противном случае 
переходят к уточнению деталей реализации проекта. В данной работе 
разрабатываются и исследуются модели оценки эффективности реальных инвестиций предприятия (фирмы) с точки зрения финансового анализа для выработки научно обоснованных (т. е. опирающихся 
на строгий математический аппарат) достаточных признаков приемлемости для ЛПР (инвестора, руководства предприятия и т. п.) рассматриваемого ИП. 
При многокритериальной оценке привлекательности проекта на 
этапе предынвестиционного (предварительного) анализа в большинстве случаев ЛПР достаточно классифицировать его как заведомо неприемлемый либо приемлемый с последующей более детальной проработкой. Такая предварительная сортировка проектов, как правило, 
приблизительна и требует значительно меньше времени и вычислительных ресурсов. Тогда оправдан подход, основанный на получении 
гарантированного результата и сводящийся в частном случае к получению оценки сверху или снизу для интересующего ЛПР показателя, 
например, значений переменных или критериев для определения качества реализации проекта. Особая необходимость в обоснованности 
оценки ИП возникает именно на предварительном этапе, поскольку 
принятие неэффективного проекта влечет за собой убытки или «замораживание» средств, которые могут быть использованы в более доходных инвестиционных программах. Основной целью монографии 
является разработка математического и алгоритмического обеспечения для повышения обоснованности принятия решений на этапе 
предварительной оценки инвестиционной привлекательности проектов развития производственных ЭС. 

 
Введение 

8 

Согласно литературным источникам [35, 36, 53, 62, 220] инвестиции подразделяются на реальные (т. е. на воспроизводство или 
расширение основных средств) и портфельные (т. е. в ценные бумаги). Портфельная теория достаточно разработана, ей посвящено много 
работ [10, 16, 19, 20, 24, 36, 53, 62, 66, 69, 70, 91, 126, 131, 151, 176, 
181, 194, 197, 198, 202, 206, 209, 211–213 и др.]. С другой стороны, 
изучение вопросов, связанных с реальными инвестициями в ЭС, актуально по следующим причинам. 
1. В отличие от финансовых (портфельных) инвестиций публикации, в которых рассматриваются вопросы реального инвестирования в условиях российского рынка, представлены менее широко. 
2. Задача выбора направления деятельности или оценки стоимости фирмы включает финансовые и реальные инвестиции экономического агента с учетом всех его фактических денежных потоков и 
должна решаться комплексно. 
3. Возможность приобретения финансовых активов возникает 
лишь в том случае, если экономические агенты ЭС имеют свободные 
денежные средства от операционной деятельности, которые вкладываются в финансовые активы для получения дивидендов, либо их 
последующего обращения в денежные средства по мере необходимости [16]. Поэтому важно оценивать эффективность реального инвестирования в ЭС даже если осуществляются лишь портфельные инвестиции. 
4. Оценивая эффективность только реальных инвестиций в ЭС, 
можно  оценить снизу эффективность всех инвестиций ее агентов. 
В связи с вышеизложенным представим краткий обзор публикаций, посвященных исследованию различных аспектов функционирования производственных ЭС. В частности, вопросы инвестирования в 
основные фонды рассматриваются в работах [8, 11, 13, 27, 32–34, 55, 
56, 80, 82, 94, 97, 130, 132, 141, 144, 146, 150, 154, 169, 177–179, 184, 
185, 189–191, 193, 214, 216, 221, 222, 227 и др.]. 
В свою очередь приведенный список источников в соответствии 
с уровнем описания экономической системы можно разделить на три 
категории. 
1. Микроэкономические системы, которые состоят из отдельного предприятия, изучаются в работах [8, 11, 13, 27, 32–34, 55, 56, 80, 
82, 130, 132, 134, 141, 144,146, 150, 154, 169, 177–179, 189,190, 193, 
214, 216, 221, 222, 227]. 

 
Введение 

9 

2. Системам мезо- и макроэкономического уровня, включающим 
в себя группы предприятий, регионы, отрасли или государства, посвящены источники [2, 3, 9, 38, 41, 42, 44–46, 48, 49, 51, 58, 61, 64, 68, 
84, 89, 94, 97, 133, 139, 152, 153, 165, 168, 182–185, 191, 195, 204, 205, 
207, 215, 223, 224, 226, 228, 231 и др.]. 
3. Мегаэкономические системы освещаются в публикациях [50, 
95, 96, 129, 170, 173, 203, 225, 229, 230 и др.]. 
Достаточно обширный обзор по тематике глобального моделирования приведен в статье [95] и монографии [170]. Следует отметить, что деление на мезо-, макро- и мегаэкономический уровни является достаточно условным, причем последние два из них объединяют 
под общим названием «глобальные системы», а соответствующие модели называют моделями глобального развития. 
Модели функционирования экономических систем можно разбить на две группы: 
а) оптимизационные (т. е. включающие один или более критериев качества с учетом интересов экономических агентов); 
б) имитационные (учитывающие ограничения, уравнения движения и т. п., но не содержащие целевых функций), т. е. ориентированные на численные эксперименты с использованием электронной 
вычислительной машины (ЭВМ). 
Данное деление также условно, поскольку имитационное моделирование может использоваться для решения оптимизационных задач. К первому из указанных направлений можно отнести модели, 
рассматриваемые в работах [3, 4, 11–13, 23, 28, 46–48, 50, 52, 55, 56, 
59, 60, 64, 77, 78, 84, 88, 90, 96, 97, 127, 128, 130, 133, 134, 140, 150, 
154, 163, 164, 168–170, 174, 177–179, 183–185, 189, 190, 195, 205, 216, 
218, 221, 222, 227]. Модели второй группы  рассматриваются в источниках [1, 21, 34, 50, 68, 94, 129, 139, 141, 170, 203, 204, 207, 225 и др.]. 
Кроме того, по степени определенности описания показателей 
ЭС модели их функционирования можно классифицировать как детерминированные, стохастические (вероятностные) и с неопределенной информацией. По тому, насколько модели учитывают изменения 
характеристик экономической системы в ее развитии (т. е. в зависимости от времени), они подразделяются на статические (одношаговые) и динамические (многошаговые), а по количеству критериев 
качества – на одно- и многокритериальные. Комбинируя перечисленные здесь признаки классификации моделей и методов исследова

 
Введение 

10 

ния ЭС, можно продолжить этот анализ. Однако мы не ставим перед собою цель подобной полной систематизации моделей и подходов, используемых при исследовании объектов экономической природы. 
Отметим, что имитационные модели ЭС, несмотря на простоту 
реализации на ЭВМ, имеют ряд существенных недостатков, ограничивающих сферу их применения: 
1) не позволяют получить аналитических выражений для оптимальных значений прибыли, распределения ресурсов и других показателей деятельности предприятия в рассматриваемом периоде; 
2) требуют большого числа реализаций случайных параметров 
модели на ЭВМ для обеспечения необходимой точности результатов, что, в свою очередь, приводит к увеличению погрешности округлений; 
3) не гарантируют нахождение именно оптимального варианта 
функционирования системы [186]. 
Напротив, оптимизационный подход непосредственно на этапе 
описания ЭС, помимо ограничений ее функционирования, допускает 
возможность включения в модель и целевых критериев. Поэтому решение задачи в оптимизационной постановке позволяет найти наилучшие в смысле рассматриваемых критериев качества варианты развития экономической системы. Однако построение оптимизационной 
модели, в отличие от имитационной, требует, как правило, существенно больше интеллектуальных ресурсов и затрат времени. 
Модели экономических систем из представленного обзора литературы являются излишне агрегированными либо подробными, часто 
не учитывая многих содержательных экономических особенностей 
функционирования ЭС экономики в рыночной среде (порядок начисления прибыли, амортизации, основных налогов и  т. п.). Помимо этого в большинстве работ по математической экономике и математическому моделированию социально-экономических систем приводятся 
модели глобального экономического развития страны (отрасли, региона), использующие агрегированные производственные функции и 
не учитывающие бухгалтерские, отраслевые  и прочие особенности, 
временную стоимость элементов  денежных потоков, возникающие в 
результате ее функционирования, и требования российского законодательства при расчете прибыли и иных финансовых показателей          
[8, 27, 32, 33, 78, 82, 88, 144, 146 и др.]. 

 
Введение 

11 

Предлагаемые далее оптимизационные модели занимают промежуточное место между очень агрегированными и чересчур детализированными моделями ЭС, позволяя на этапе ее предварительного 
анализа достичь разумного компромисса между уровнем детализации 
и адекватностью получаемых результатов, и характеризуются следующими чертами: 
1) являются динамическими моделями; 
2) представляют собой линейные задачи; 
3) учитывают интересы нескольких лиц, т. е. являются многокритериальными; 
4) учитывают временную стоимость поступлений и платежей 
(элементов денежных потоков), порождаемых исследуемым ИП; 
5) учитывают порядок расчета амортизации, основных видов 
налогов и начисления чистой прибыли и других финансово-экономических показателей в соответствии с действующим российским законодательством; 
6) могут быть модифицированы для учета условий осуществления конкретного проекта в области реального инвестирования путем 
включения подмоделей, описывающих отдельные подразделения 
предприятия (отдела кадров, маркетинговой службы, системы управления запасами [159] и т. п.) и (или) особенности конкретной ЭС 
(принятую учетную политику и системы оплаты труда, используемые 
методы начисления амортизации, фонда оплаты труда, налоговые 
льготы, скидки при покупке материалов и комплектующих и (или) 
реализации продукции и т. п.), что не меняет класса задач, к которому 
принадлежат предлагаемые модели, – класса многокритериальных 
многошаговых задач линейного программирования (ММЗЛП); 
7) имеют относительно небольшую размерность, позволяя провести оценку эффективности проекта развития экономической системы на стадии его предынвестиционного анализа. 
Следует отметить, что упомянутые выше 
T
Z -модели, получаемые на основе предложенного операционного подхода, сохраняют в 
агрегированном виде структуру и основные свойства исходных многошаговых моделей и, как следствие, характеризуются теми же основными чертами, что и их динамические прототипы (см. п. 2–5, 7). 
Кроме того, данный подход принципиально не меняется, если указанные модели будут детализированы или агрегированы в соответствии с