Дифференциально-разностная задача управления процессом диффузии

ВЕСТНИК
УДМУРТСКОГО
УНИВЕРСИТЕТА

МАТЕМАТИКА
2008. №1

УДК 519.633

Г. Г. Исламов, Ю. В. Коган

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНАЯ ЗАДАЧА
УПРАВЛЕНИЯ ПРОЦЕССОМ ДИФФУЗИИ

Для дифференциально-разностной задачи управления процессом диффузии получен принцип максимума, позволяющий определить такие моменты включения
и выключения максимальной мощности источника вещества, при которых внутри параллелепипеда устанавливается допустимый уровень его концентрации при
наблюдаемом уровне концентрации этого вещества на границе параллелепипеда.

Ключевые слова: дифференциально-разностная задача, уравнение диффузии,
принцип максимума, моменты переключения.

Постановка проблемы

Рассмотрим в течение времени T процесс диффузии вещества в параллелепипеде G = [a1, b1] × [a2, b2] × [a3, b3] конкретной среды с коэффициентами пористости c(x) и диффузии d(x) . Предполагается,что плотность
источников выбросов вещества меняется по закону F(x, t) = b(x)w(t) , где
управляемая величина w(t) характеризует процент использования максимальной мощности b(x) источника вещества в точке x . Как известно,
концентрация u(x, t) вещества во внутренней точке (x, t) ∈ G × (0, T)
удовлетворяет дифференциальному уравнению диффузии

c(x)∂u(x, t)

∂t
= Div(d(x)grad u(x, t)) + F(x, t).
(1)

Допустим, что датчики на сторонах параллелепипеда G фиксируют
изменение концентрации с течением времени:

u(x, t) = µ(x, t),
x ∈ ∂G.
(2)

Задачу управления концентрацией вещества u(x, t) в рассматриваемом объёме G поставим следующим образом. Требуется построить такое кусочно-постоянное допустимое управление w(t)
(0 ⩽ w(t) ⩽
1 ,
t ∈
(0, T)) , при котором уравнение (1) имеет гладкое решение u(x, t) ,
удовлетворяющее граничному условию (2) и дополнительному ограничению вида

u(x, t) ⩽ β(x, t)
(3)