О почти периодических по Безиковичу сечениях многозначных отображений

ВЕСТНИК
УДМУРТСКОГО
УНИВЕРСИТЕТА

МАТЕМАТИКА
2008. №1

УДК 517.518.6

Л. И. Данилов

О ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ПО БЕЗИКОВИЧУ
СЕЧЕНИЯХ МНОГОЗНАЧНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ

Доказано, что почти периодические по Безиковичу многозначные отображения
R ∋ t → F(t) ∈ cl U имеют почти периодические по Безиковичу сечения, где
cl U — множество непустых замкнутых подмножеств полного метрического пространства U.

Ключевые слова: почти периодические функции, сечения, многозначные отображения.

Введение

При исследовании почти периодических (п.п.) решений дифференциальных включений возникает вопрос о существовании п.п. сечений многозначных п.п. отображений. В [1, 2] был, в частности, поставлен вопрос о
существовании п.п. по Вейлю и п.п. по Безиковичу сечений многозначных
п.п. отображений. Известно, что п.п. по Бору многозначные отображения
не всегда имеют п.п. по Бору сечения [3]. Существование п.п. по Степанову сечений многозначных п.п. по Степанову отображений было впервые
доказано в [4] на основе результатов Фришковского [5]. В [6–9] исследовались п.п. по Степанову сечения, удовлетворяющие разнообразным дополнительным условиям. Существование п.п. по Вейлю сечений многозначных
п.п. по Вейлю отображений доказано в [10–12].
В § 1 даны определения и сформулированы некоторые утверждения о
п.п. по Безиковичу функциях, которые необходимы в дальнейшем (относительно определений и свойств п.п. функций см., например, [13, 14]). В
§ 2 приведены основные результаты работы. В § 3 и § 4 содержатся доказательства соответственно теорем 1 и 8.

§ 1. Некоторые свойства почти периодических по Безиковичу
функций

Пусть (U, ρ) — полное метрическое пространство, A — замыкание
множества A ⊆ U, Ur(x) = {y ∈ U : ρ(x, y) < r}, x ∈ U, r > 0; meas —