Множества выживаемости систем с последействием

ВЕСТНИК
УДМУРТСКОГО
УНИВЕРСИТЕТА

МАТЕМАТИКА
2008. №1

УДК 517.917

В. Н. Баранов

МНОЖЕСТВА ВЫЖИВАЕМОСТИ
СИСТЕМ С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ 1

Доказано, что необходимым и достаточным условием выживаемости системы с
последействием

˙x(t) = f(t, xt)

в множестве M ⊂ R × C([−r, 0], Rn) является включение f(t, ϕ) ∈ T(t,ϕ)M, где
T(t,ϕ)M — касательное к M пространство. Доказано, что необходимым и достаточным условием выживаемости включения с последействием

˙x(t) ∈ F(t, xt)

в множестве M ⊂ R × C([−r, 0], Rn) является условие F(t, ϕ) ∩ T(t,ϕ)M ̸= ∅.
Доказаны достаточные условия положительной инвариантности множества для
системы (включения) с последействием. А именно, если имеется ˆδ > 0 такое,
что для всех 0 ⩽ δ ⩽ ˆδ и для всех (t, ϕ) ∈ ∂M δ выполнено включение F(t, ϕ) ⊂
⊂ T(t,ϕ)M δ, то множество M является положительно инвариантным относительно системы (включения) с последействием.

Ключевые слова: дифференциальные уравнения с последействием, выживаемость, положительная инвариантность.

Введение

Задачи выживания (термин принадлежит Aubin J. P. см., напр., [1])
для управляемых динамических систем включают в себя большое число
вполне конкретных приложений, интерес к которым не ослабевает с конца
50-х годов прошлого столетия. К числу таких прикладных задач относятся
задачи об обходе препятствия, о построении управления, удерживающего
траектории системы в заранее заданном множестве, в частности, на заданном многообразии, некоторые задачи математической экономики и многое
другое.
Вопрос о существовании решения x(t, x0) задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения ˙x = f(x) с начальным условием

1Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 06–01–00258).