Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре

СБОРНИК ЗАДАЧ
по аналитической
геометрии
и линейной алгебре

под редакцией Ю.М.Смирнова

Рекомендовано Министерством образования
Российской Федерации в качестве учебного пособия
для студентов университетов, обучающихся
по специальностям «Математика»
и «Прикладная математика»

Л.А.Алания, С.М.Гусейн-Заде, И.А.Дынников,
В.М.Мануйлов, Д.В.Миллионщиков, А.С.Мищенко,
Е.А.Морозова, Т.Е.Панов, М.М.Постников,

Е.Г.Скляренко, Е.В.Троицкий

ОГЛАВЛЕНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7

Часть I
Аналитическая геометрия

Глава 1
Системы координат на плоскости и в пространстве
. . . . .
13
§ 1.1. Системы координат: первые задачи
. . . . . . . . . . . . .
13
§ 1.2. Полярные, сферические и цилиндрические системы координат
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
§ 1.3. Элементы векторной алгебры и аффинные системы координат
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
§ 1.4. Скалярное произведение
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
§ 1.5. Ориентация, векторное и смешанное произведения . . . . .
26
§ 1.6. Скалярное, векторное и смешанное произведения в аффинной системе координат
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33

Глава 2
Геометрические места точек, составление уравнений кривых
на плоскости
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
§ 2.1. Эллипс, гипербола, парабола и их простейшие свойства
. .
36
§ 2.2. Составление уравнений кривых на плоскости . . . . . . . .
41

Глава 3
Прямые на плоскости
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
§ 3.1. Составление уравнения прямой по различным способам ее
задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
§ 3.2. Взаимное расположение прямых на плоскости. Пучки прямых
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
§ 3.3. Линейные неравенства
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
§ 3.4. Метрические задачи на прямую: перпендикуляры, углы и
расстояния
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
§ 3.5. Метрические задачи на плоскости в произвольной аффинной
системе координат
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56

Оглавление

Глава 4
Прямые и плоскости в пространстве
. . . . . . . . . . . . . . .
58
§ 4.1. Составление уравнений прямых и плоскостей . . . . . . . .
58
§ 4.2. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве. Пучки и связки плоскостей. Связки прямых
. . . . . . . .
62
§ 4.3. Линейные неравенства в пространстве
. . . . . . . . . . .
69
§ 4.4. Метрические задачи в пространстве
. . . . . . . . . . . . .
70
§ 4.4. Метрические задачи в пространстве в произвольной аффинной системе координат
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75

Глава 5
Аффинные и ортогональные замены координат . . . . . . . .
76

Глава 6
Кривые второго порядка
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
§ 6.1. Составление уравнений кривых второго порядка . . . . . .
85
§ 6.2. Нахождение вида и расположения линии второго порядка по
уравнению
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
§ 6.3. Ортогональные инварианты линий второго порядка
. . . .
90
§ 6.4. Аффинные типы линий второго порядка
. . . . . . . . . .
92
§ 6.5. Касательные к линии второго порядка
. . . . . . . . . . .
93
§ 6.6. Диаметры, взаимно сопряженные, и асимптотические направления линий второго порядка
. . . . . . . . . . . . . . . . .
97
§ 6.7. Пучки и связки линий второго порядка
. . . . . . . . . . .
101

Глава 7
Поверхности второго порядка
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
105
§ 7.1. Составление уравнений поверхностей
. . . . . . . . . . . .
106
§ 7.2. Простейшие свойства поверхностей второго порядка . . . .
110
§ 7.3. Приведение поверхности к каноническому виду
. . . . . .
112
§ 7.4. Ортогональные инварианты поверхностей второго порядка .
115
§ 7.5. Касательные и диаметральные плоскости. Прямолинейные
образующие
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
118
§ 7.6. Плоские сечения поверхностей второго порядка
. . . . . .
125

Глава 8
Аффинные и изометрические преобразования . . . . . . . . .
130
§ 8.1. Аффинные преобразования плоскости . . . . . . . . . . . .
131
§ 8.2. Аффинные преобразования пространства . . . . . . . . . .
134
§ 8.3. Аффинные преобразования и линии второго порядка
. . .
135
§ 8.4. Изометрические преобразования плоскости и пространства .
138

Оглавление
5

Глава 9
Проективная геометрия
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
141
§ 9.1. Проективная прямая
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
141
§ 9.2. Проективные преобразования прямой
. . . . . . . . . . . .
144
§ 9.3. Проективная плоскость
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
145
§ 9.4. Проективные преобразования плоскости
. . . . . . . . . .
149
§ 9.5. Линии второго порядка в проективных координатах . . . .
151
§ 9.6. Поляритет
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
155

Часть II
Линейная алгебра

Глава 10
Основные понятия линейной алгебры
. . . . . . . . . . . . . .
159
§ 10.1. Векторное пространство, линейная независимость
. . . .
159
§ 10.2. Базис, размерность, координаты
. . . . . . . . . . . . . .
163
§ 10.3. Линейные подпространства и операции над ними
. . . . .
166
§ 10.4. Линейные функции и отображения . . . . . . . . . . . . .
171
§ 10.5. Аффинные пространства
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
175

Глава 11
Операторы в линейных пространствах
. . . . . . . . . . . . .
179
§ 11.1. Матрица линейного оператора
. . . . . . . . . . . . . . .
179
§ 11.2. Ядро и образ линейного оператора. Инвариантные подпространства. Проекторы. Комплексификация и овеществление
. .
182
§ 11.3. Подстановка линейного оператора в многочлен. Аннулирующие многочлены
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
185
§ 11.4. Собственные значения, собственные векторы
. . . . . . .
189
§ 11.5. Жорданова нормальная форма линейных операторов
. .
194
§ 11.6. Подстановка оператора (матрицы) в функцию числового
аргумента
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
198
§ 11.7. Нахождение инвариантных подпространств
. . . . . . . .
200

Глава 12
Билинейные и квадратичные функции
. . . . . . . . . . . . .
202
§ 12.1. Общие сведения о билинейных и полуторалинейных функциях
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
202
§ 12.2. Симметрические и кососимметрические, эрмитовы и косоэрмитовы функции
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
203
§ 12.3. Приведение к каноническому виду
. . . . . . . . . . . . .
208

Оглавление

Глава 13
Пространства со скалярным произведением
. . . . . . . . . .
211
§ 13.1. Элементарные свойства скалярного произведения
. . . .
211
§ 13.2. Ортогональные системы векторов
. . . . . . . . . . . . .
216
§ 13.3. Матрица Грама. n-мерный объем . . . . . . . . . . . . . .
221
§ 13.4. Ортогональное дополнение
. . . . . . . . . . . . . . . . .
226
§ 13.5. Расстояния и углы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
227
§ 13.6. Геометрия аффинных евклидовых пространств
. . . . . .
230
§ 13.7. n-мерный куб и n-мерный симплекс
. . . . . . . . . . . .
233
§ 13.8. Метод наименьших квадратов и интерполяция функций
.
235

Глава 14
Операторы в пространствах со скалярным произведением
.
240
§ 14.1. Операторы в евклидовом (эрмитовом) пространстве
. . .
241
14.1.1. Сопряженный оператор (241). 14.1.2. Самосопряженные операторы (244). 14.1.3. Кососимметрические и косоэрмитовы операторы (250). 14.1.4. Ортогональные и унитарные операторы. Группы преобразований (254). 14.1.5. Полярное разложение (264). 14.1.6. Нормальные операторы (265).
14.1.7. Операторы в евклидовых пространствах и системы
линейных уравнений (268).
§ 14.2. Операторы в псевдоевклидовых, эрмитовых, симплектических пространствах и в пространствах с общим скалярным произведением
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
273
14.2.1. Сопряженные операторы (273). 14.2.2. Операторы, сохраняющие скалярное произведение (изометрические операторы) (274). 14.2.3. Самосопряженные (симметрические,
эрмитовы) и кососимметрические (косоэрмитовы) операторы (277).

Глава 15
Квадратичные функции и поверхности второго порядка . . .
280
§ 15.1. Квадратичные функции в евклидовом пространстве
. . .
280
§ 15.2. Поверхности второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . .
283

Глава 16
Тензоры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
285
§ 16.1. Основные понятия
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
288
§ 16.2. Тензорные произведения пространств
. . . . . . . . . . .
289
§ 16.3. Симметрические и кососимметрические тензоры
. . . . .
292
§ 16.4. Тензоры в евклидовых и симплектических пространствах .
296
§ 16.5. Операция Ходжа и евклидова структура
. . . . . . . . .
299

ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
301

Светлой памяти наших Учителей:
Павла Сергеевича Александрова,
Сергея Владимировича Бахвалова,
Бориса Николаевича Делоне,
Александра Геннадиевича Куроша,
Алексея Серапионовича Пархоменко,
Игоря Владимировича Проскурякова
посвящается настоящая книга

ПРЕДИСЛОВИЕ
к первому изданию

Многолетнее преподавание курсов аналитической геометрии и линейной алгебры убедила нас в необходимости создания нового единого
сборника задач по этим двум дисциплинам. Настоящая книга отражает обновление курса линейной алгебры, предпринятое С.П. Новиковым в 70–80-х годах и основанное на активном применении методов
линейной алгебры в аппарате современной математической физики и
возросшей роли прикладных методов линейной алгебры.
Объединение в одной книге задач по аналитической геометрии и
линейной алгебре позволяет подчеркнуть геометрические аспекты линейной алгебры и сделать ее объекты более наглядными.
Книга состоит из двух частей. В первой части содержатся задачи
по традиционному курсу аналитической геометрии, а во второй — по
курсу линейной алгебры и геометрии. Мы старались почти все теоретические задачи сопровождать упражнениями разной степени трудности, чтобы читатель с их помощью сразу же мог проверить, как он
понял новые определения и алгоритмы.
Составители с удовольствием благодарят рецензентов профессоров
А.В. Зарелуа и А.В. Чернавского за конструктивную критику и доцента Н.Н. Ченцову за помощь в подборе задач по вычислительным
методам линейной алгебры.

Предисловие

ПРЕДИСЛОВИЕ
ко второму изданию

Второе издание приурочено к замечательному юбилею Московского университета. Авторам особенно приятно, что оно выходит в серии
“классический университетский учебник”.
Во втором издании переделано и добавлено около трехсот задач,
существенно переработаны, в частности, главы 6, 10 и 11. Расширены теоретические справки, в ответах к ряду задач даны краткие указания, устранены замеченные недостатки. Авторы благодарны своим
студентам, коллегам за замечания и предложения по улучшению текста. Особенно отметим вклад И.В.Аржанцева.
В течение многих лет курсы аналитической геометрии и линейной
алгебры на механико-математическом факультете МГУ им. М.В.Ломоносова преподавал Михаил Михайлович Постников, выдающийся
математик и педагог. 27 мая 2004 года он безвременно ушел из жизни.
Грустно сознавать, что новое издание выйдет уже без него.

Ниже приведен список задачников, которые использовались нами
при составлении настоящего сборника задач. Особенно большое влияние оказали задачники [2] и [10], давно ставшие классическими.

1. А н д р е е в К . А .
Сборник упражнений по аналитической геометрии. 2-е изд. — М., 1904.
2. Б а х в а л о в С.В., М о д е н о в П.С., П а р х о м е н к о А.С. Сборник
задач по аналитической геометрии. 2-е изд. — М.: Гостехиздат, 1957.
3. Бахвалов Н.С., Кобельков Г.М., Поспелов В.В. Задачи по курсу «Методы вычислений». Учебное пособие. — М.: Изд-во
МГУ, 1989.
4. Б е к л е м и ш е в а
Л . А .,
П е т р о в и ч А . Ю .,
Ч у б а р о в И . А .
Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре. —
М.: Наука, 1987.
5. Гюнтер И.М, Кузьмин Р.О. Сборник задач по высшей математике. 11-е изд. — М.: Гостехиздат, 1947.
6. Ж и т о м и р с к и й
О . К . Аналитическая геометрия: конспект, задачи с решениями, задачи для упражнений. — Л.: Изд-во «Сеятель»
Е.В. Высоцкого, 1924.

Предисловие
9

7. И к р а м о в
Х . Д .
Задачник по линейной алгебре. — М.: Наука,
1975.
8. К о с т р и к и н
А . И .
(редактор). Сборник задач по линейной алгебре. — М.: Факториал, 1995.
9. Моденов П.С., Пархоменко А.С.
Сборник задач по аналитической геометрии. — М.: Наука, 1976.
10. П р о с к у р я к о в И . В .
Сборник задач по линейной алгебре. —
М.: Наука, 1984.
11. Ц у б е р б и л л е р
О . Н .
Задачи и упражения по аналитической
геометрии. 30-е изд. — М.: Наука, 1970.
12. Ш и ф ф
В . И .
Сборник упражнений и задач по аналитической
геометрии на плоскости и в пространстве. 3-е изд. — Спб.: Вольф,
1910.

Для самостоятельной работы мы рекомендуем следующую литературу:

13. А л е к с а н д р о в П . С .
Лекции по аналитической геометрии. —
М.: Наука, 1968.
14. Веселов А.П., Троицкий Е.В.
Лекции по аналитической
геометрии. — СПб.: Лань, 2004.
15. В и н б е р г Э . Б .
Курс алгебры. — М.: Факториал, 2001.
16. Г е л ь ф а н д
И . М .
Лекции по линейной алгебре. — М.: Наука,
1971.
17. Ильин В.А., Ким Г.Д.
Аналитическая геометрия и линейная алгебра. — М.: Изд-во МГУ, 1998.
18. Кострикин А.И.,
Манин Ю.И.
Линейная алгебра и геометрия. — М.: Наука, 1986.
19. К у р о ш
А . Г .
Курс высшей алгебры. — М.: Наука, 1971.
20. П о с т н и к о в
М . М .
Аналитическая геометрия. — М.: Наука,
1979.
21. П о с т н и к о в
М . М .
Линейная алгебра. — М.: Наука, 1986.
22. Ф е д о р ч у к
В . В .
Курс аналитической геометрии и линейной
алгебры. — М.: Изд-во МГУ, 1990.
23. Х а л м о ш
П .
Конечномерные векторные пространства. — М.:
Физматгиз, 1963.
24. Ш и л о в
Е . Г .
Конечномерные линейные пространства. — М.:
Наука, 1969.

Часть I

Аналитическая геометрия

Глава 1

СИСТЕМЫ КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ
И В ПРОСТРАНСТВЕ

§ 1.1. Системы координат: первые задачи

В прямоугольной системе координат x, y на плоскости расстояние
между точками A(x1, y1) и B(x2, y2) вычисляется по формуле

|AB| =
(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2.

Аналогично в пространстве

|AB| =
(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 + (z1 − z2)2.

Уравнение окружности с центром O(x0, y0) и радиусом r имеет вид

(x − x0)2 + (y − y0)2 = r2.

В общем виде прямая на плоскости задается уравнением

Ax + By + C = 0,

где A ̸= 0 или B ̸= 0. В частности, прямая, пересекающая оси Ox и Oy
в точках (a, 0) и (0, b) соответственно (a, b ̸= 0), задается уравнением
x
a + y

b = 1

(уравнение прямой в отрезках).
Вектор, идущий из начала координат в данную точку M, называется радиус-вектором точки M.
Восемь частей, на которые координатные плоскости разрезают пространство, называются октантами. Они нумеруются в зависимости от
знаков координат x, y, z следующим образом:

Координата
I
II
III
IV
V
VI
VII
VIII

x
+
−
−
+
+
−
−
+

y
+
+
−
−
+
+
−
−

z
+
+
+
+
−
−
−
−

Гл. 1. Системы координат

1. Относительно прямоугольной системы координат x, y на плоскости дана точка M(x, y). Найти точку, симметричную точке M относительно:
1) начала координат;
2) оси абсцисс;
3) оси ординат;
4) биссектрисы первого и третьего координатных углов;
5) относительно биссектрисы второго и четвертого координатных углов.

2. Относительно прямоугольной системы координат x, y, z в пространстве дана точка M(x, y, z). Найти точку, симметричную точке M
относительно:
1) начала координат;
2) оси Ox;
3) плоскости Oxy;
4) биссекторной плоскости координатных плоскостей Oxy и Oyz, проходящей через первый октант.

3. Даны две параллельные прямые ℓ1 и ℓ2, расстояние между которыми равно d, и три точки A, B и C. Точки A и B симметричны относительно прямой ℓ1, а точки B и C — относительно ℓ2. Найти расстояние
между точками A и C.

4. Зная радиус-векторы r1, r2, r3 трех последовательных вершин параллелограмма, найти радиус-вектор r4 четвертой вершины.

5. Даны радиус-векторы rA, rB, rC трех последовательных вершин
трапеции ABCD и отношение оснований |AD|/|BC| = k. Найти радиус-вектор rD четвертой вершины.

6. Говорят, что точка C делит отрезок AB в отношении λ, если имеет
место равенство
−→
AC = λ
−−→
CB.

Зная радиус-векторы rA и rB точек A и B, найти:
1) радиус-вектор r середины отрезка AB;
2) радиус-вектор rC точки C, делящей отрезок AB в отношении λ.

7. В каких пределах находится число λ, равное отношению, в котором
точка M делит отрезок AB, если M лежит:
1) внутри отрезка;
2) на его продолжении за точку A;
3) на его продолжении за точку B?

8. Даны радиус-векторы rA, rB, rC вершин треугольника ABC. Найти
радиус-вектор r точки пересечения его медиан.