Теоретическая механика. Часть 1. Статика, кинематика


Министерство образования и науки Российской Федерации НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ




Н.В. КРАМАРЕНКО




                ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА




            Часть 1
            СТАТИКА, КИНЕМАТИКА


Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве конспекта лекций







НОВОСИБИРСК
2012

УДК 531.01(075.8) К 777



Рецензенты: канд. техн. наук, доцент А.А. Рыков д-р техн. наук, профессор В.П. Гилета


Работа подготовлена на кафедре теоретической механики и сопротивления материалов для студентов немашиностроительных специальностей


     Крамаренко Н.В.

К 777 Теоретическая механика. Ч. 1. Статика, кинематика: конспект лекций / Н.В. Крамаренко. - Новосибирск: Изд-во НГТУ,

     2012.-83 с.


         ISBN 978-5-7782-2159-8

         Издание подготовлено на основе электронного конспекта лекций, выполненного в виде программы-презентации, которая прошла государственную регистрацию в НТЦ «Информрегистр» как издание НГТУ.









УДК 531.01(075.8)


ISBN 978-5-7782-2159-8

                     © Крамаренко Н.В., 2012
                     © Новосибирский государственный

технический университет, 2012

ОГЛАВЛЕНИЕ


Введение..................................................... 4
Статика ..................................................... 6

   Тема 1. Основные понятия и аксиомы статики .............. 6

   Тема 2. Система сходящихся сил............................... 9
   Тема 3. Плоская произвольная система сил.................... 13
   Тема 4. Статически определимые и неопределимые задачи ...... 21
   Тема 5. Трение ............................................. 24
   Тема 6. Центр тяжести ...................................... 30

Кинематика.............................................. 39

   Тема 1. Кинематика точки ................................. 39

   Тема 2. Поступательное движение твердого тела ............... 48
   Тема 3. Кинематика вращательного движения твердого тела ..... 51
   Тема 4. Кинематика плоскопараллельного движения твердого тела 60
   Тема 5. Кинематика сложного движения точки .................. 75
Библиографический список........................................ 82

        ВВЕДЕНИЕ


   Механика является разделом физики. В соответствии с агрегатными состояниями вещества механика делится на механику твердых тел, механику жидкости и механику газа. В зависимости от целей исследования твердые тела представляют либо в виде абсолютно твердых, либо в виде деформируемых тел.
   Механика абсолютно твердых тел (МАТТ) называется теоретической механикой, или сокращенно - «термех». Механика деформируемых твердых тел (МДТТ) состоит из нескольких дисциплин, из которых базовая - сопротивление материалов, или на языке инженеров - «сопромат». При выводе основных математических соотношений в сопромате используются формулы из термеха. Точно так же базовые понятия и формулы термеха используются в механике жидкости и газа.
   На теоремах и формулах, выведенных в термехе и сопромате, базируются прикладные дисциплины, такие как теория механизмов и машин (ТММ), детали машин (ДМ) и другие.

4

   Блок из четырех дисциплин - термех, сопромат, ТММ, ДМ - объединяют общим названием «механика», которую изучают в вузе студенты младших курсов машиностроительных специальностей. Иногда последние три дисциплины объединяют названием «прикладная механика».
   Традиционно базовый курс теоретической механики подразделяется на четыре модуля-раздела: статика, кинематика, динамика и аналитическая механика. Данное издание представляет собой первую часть лекций и включает разделы статика и кинематика для односеместрового курса. Издание подготовлено на основе электронного конспекта лекций [4], выполненного в виде программы-презентации, которая прошла государственную регистрацию в НТЦ «Информрегистр» как издание НГТУ.

СТАТИКА

   Статикой называется раздел механики, в котором излагается общее учение о силах и изучаются условия равновесия материальных тел, находящихся под действием сил.

Тема 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И АКСИОМЫ СТАТИКИ

1. ПОНЯТИЯ СТАТИКИ

   Сила - мера механического взаимодействия. Сила моделируется вектором, характеризуемым направлением и величиной (модулем).
   Кинематическое состояние тела - состояние покоя или движения с неизменными скоростями (v = const, <в = const).
   Система сил - совокупность сил, приложенных к рассматриваемому объекту.
   Равнодействующая - сила, эквивалентная системе сил, т. е. не изменяющая кинематическое состояние тела.
   Эквивалентная система сил заменяет данную систему сил без изменения кинематического состояния объекта.
   Взаимно уравновешенная система сил. Под ее действием объект находится в равновесии.

2. АКСИОМЫ СТАТИКИ

   А1. Аксиома инерции. Под действием взаимно уравновешенной системы сил тело находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения.
   А2. Аксиома двух сил. Если тело под действием двух сил находится в равновесии, то эти силы равны по модулю и направлены по

6

одной прямой в противоположные стороны. Такие две силы представляют собой простейшую взаимно уравновешенную систему сил.

   АЗ. Аксиома присоединения. Если к заданной системе сил присоединить (или изъять) взаимно уравновешенную систему сил, то кинематическое состояние тела не изменится.

   АЗ.1. Следствие из аксиомы присоединения. Кинематическое состояние тела не изменится, если силу перенести по линии ее действия.




F = -F.



   А4. Аксиома параллелограмма. Равнодействующая двух пересекающихся сил равна диагонали параллелограмма, построенного на этих силах как на сторонах.

   А5. Аксиома действия и противодействия. Всякому действию соответствует равное и противоположное противодействие (III закон Ньютона).

   Аб. Аксиома отвердевания. Равновесие деформируемого тела сохраняется при его затвердевании (обратное справедливо не всегда).


7

3. СВЯЗИ И РЕАКЦИИ СВЯЗЕЙ


   Свободное тело - тело, свобода перемещений которого не ограничивается никакими другими телами.
   Несвободное тело - тело, движение которого ограничено другими телами.
   Связь - тело, ограничивающее свободу перемещений объекта.
   Реакция связи - сила, действующая на объект со стороны связи.
   Принцип освобождаемое™ от связей: несвободное тело можно рассматривать как свободное, если отбросить связи и заменить их действие соответствующими реакциями.


    Виды связей и их реакции




    Нить, либо невесомый шарнирный стержень.
    Реакция нити (стержня) направлена по нити (по стержню).





    Абсолютно гладкая поверхность.
    Реакция гладкой поверхности направлена перпендикулярно общей касательной плоскости, проведенной к соприкасающимся поверхностям тела и связи.



ЗИ

       Неподвижный цилиндрический шарнир.
Реакция неподвижного шарнира проходит через центр шарнира перпендику
                          лярно оси шарнира и имеет произвольное направление. Реакцию неподвижного шарнира можно разложить на две составляющие (например, Rₓ и Ry), параллельные координатным

осям.

8

   Подвижный цилиндрический шарнир.
   Реакция подвижного шарнира проходит через центр шарнира перпендикулярно оси шарнира и плоскости опирания.


   Неподвижный сферический шарнир.
   Реакция неподвижного сферического шарнира проходит через центр шарнира и имеет произвольное направление в пространстве. Реакцию неподвижного сферического шарнира можно разложить на три составляющие, например R,, Ry, R_, параллельные координатным осям.


    Жесткая плоская заделка.
    В жесткой плоской заделке возникает три реактивных усилия: две составляющие реактивные силы Rₓ и R, а также реактивный момент (пара сил) МА .


   Общее правило для связей любого вида.
   Если связь препятствует одному или нескольким перемещениям (максимальное число перемещений - три поступательных и три вращательных), то по направлению именно этих и только этих перемещений возникают соответствующие реакции (силы и моменты).



Тема 2. СИСТЕМА СХОДЯЩИХСЯ СИЛ


   Система сходящихся сил - такая система сил, линии действия которых пересекаются в одной точке.


1. РАВНОДЕЙСТВУЮЩАЯ. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ ПОДХОД

   План исследования любой системы сил соответствует последовательному решению трех вопросов.


9

   А. Как упростить систему?

   Перенесем все силы по линии их действия в точку пересечения


(кинематическое состояние тела при этом не изменится - следствие из


аксиомы присоединения).

       Сложим первые две силы Fₗ и F₂ (аксиома параллелограмма). Количество сил уменьшилось на единицу:
Rl,2 ⁻ Fi + F2 •

       Сложим полученную равнодействующую R₁₂ со следующей силой Fз. Количество сил вновь уменьшилось на единицу:
Rl,2,3 ⁻ Rl,2 + F2 •

       Повторим эту же операцию со следующей силой F₄:

Rl,2,3,4 - Rl,2,3 + F4 •


    Осталась всего одна сила, эквивалентная исходной системе сил.
    Сложение сил построением параллелограммов можно заменить силовым треугольником, при построении которого выбирается одна из сил (или изображается параллельно самой себе с началом в любой произвольной точке), все другие силы изображаются параллельными самим себе с началом, совпадающим с концом предыдущей силы. Результатом такого сложения является вектор, направленный из начала первой силы к концу последней из сил.


   Б. Каков простейший вид системы?
   Простейший вид системы - сила, приложенная в точке пересечения исходных сил. Таким образом, сходящаяся система сил приводится к одной силе - равнодействующей (силе, эквивалентной исходной системе сил), равной геометрической сумме сил системы,
R - Fi + F2 + F3 + F4 +... -^ Fi.


io

    В. Каковы условия равновесия системы!
    Если равнодействующая системы оказывается не равной нулю, тело под действием такой системы сил будет двигаться в направлении равнодействующей (система сил не уравновешена). Для того, чтобы уравновесить систему, достаточно прило

жить силу, равную полученной равнодействующей и направленной в противоположную сторону (аксиома о двух силах). Таким образом, условием равновесия системы сходящихся сил является обращение равнодействующей в ноль:



R <Е = 0.

    Это условие эквивалентно замкнутости силового треугольника определенным образом, а именно: направление всех сил при обходе по контуру не изменяется по направлению.



2. ТЕОРЕМА О ТРЕХ СИЛАХ


    Если тело под действием трех непараллельных сил находится в равновесии, то линии действия этих сил пересекаются в одной точке.


                                 Доказательство.

    Перенесем две силы по линии их действия в точку их пересечения (кинематическое состояние тела при этом не изменится - следствие из аксиомы присоединения).
    Сложим эти силы (аксиома параллелограмма). Теперь система состоит всего из двух сил. Такая система находится в равновесии, если эти силы равны между собой и направлены по од

ной линии в противоположные стороны. Таким образом, все три силы

пересекаются в одной точке.
    Теорема доказана.
    Теорема о трех силах может эффективно применяться для определения направления одной из двух реакций тела.



11