Министерство образования и науки Российской Федерации НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ





В. М. НЕДЕЛЬКО


ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия








НОВОСИБИРСК
2011

УДК 519.2(075.8) Н421





Рецензенты:
д-р техн. наук, профессор А. А. Попов, д-р техн. наук В.Б. Бериков




            Неделько В. М.


Н421 Основы теории вероятностей: учеб. пособие / В.М. Неделько. - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2011.-116 с.

         ISBN 978-5-7782-1701-0

          Учебное пособие соответствует программе базового курса теории вероятностей для технических вузов и может использоваться как для проведения учебных практических занятий, так и для самостоятельного изучения дисциплины.
          Отличительной особенностью издания является доступность изложения в сочетании с математической строгостью, а также минимизация объема сообщаемой информации за счет выбора тем, наиболее важных для понимания предмета и для решения практических задач.
          Пособие организовано в форме сборника задач, включающего подробное руководство к их решению, а также необходимый справочный минимум теоретической информации.







УДК 519.2(075.8)


ISBN 978-5-7782-1701-0

                     © Неделько В.М.,2011
                     © Новосибирский государственный

технический университет, 2011

ОГЛАВЛЕНИЕ


Предисловие...................................................
Глава 1. Вероятности на событиях..............................
   1.1. Алгебра событий.......................................
   1.2. Случай равновероятных исходов. Элементы комбинаторики.
   1.3. Геометрические вероятности............................
   1.4. Сложение вероятностей.................................
   1.5. Условные вероятности. Независимость событий...........
   1.6. Формула полной вероятности. Формула Байеса............
   1.7. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли. Полиномиальное распределение..................................
Глава 2. Случайные величины...................................
   2.1. Дискретные случайные величины.........................
   2.2. Непрерывные случайные величины........................
   2.3. Характеристики случайных величин......................
   2.4. Распределение Пуассона................................
   2.5. Нормальный закон......................................
Глава 3. Системы случайных величин............................
   3.1. Основные понятия......................................
   3.2. Многомерное нормальное распределение..................
   3.3. Функции случайных величин. Композиция законов распределения..........................
   3.4. Виды сходимости.......................................
   3.5. Предельные теоремы....................................
   3.6. Характеристические функции............................
   3.7. Условные распределения................................
   3.8. Случайные процессы....................................
Указания......................................................
Ответы........................................................
Решения.......................................................
Библиографический список......................................

  4
  5

  5
10
17
21
23
30

34
37
37
41
47
53
55
57
57
60

63
68
71
77
80
82
88
92
101
115

ПРЕДИСЛОВИЕ

   Учебное пособие соответствует программе базового курса теории вероятностей для технических вузов, а также нематематических специальностей университетов.
   Отличительной чертой настоящего издания является примерное равенство теоретической и практической составляющих, что обеспечивает определенную самодостаточность в качестве пособия для изучения основ теории вероятностей и обучения решению задач. Вместе с тем изложенного материала не вполне достаточно для изучения теоретических аспектов дисциплины, поэтому для полноценной подготовки необходимо использовать классические учебники, например [2, 3, 7, 8, 9], а также учебные пособия [4, 5], сочетающие строгость и доступность изложения. Поскольку изучение теории вероятностей обычно подразумевает последующее знакомство с математической статистикой, в список рекомендованной литературы включены источники [10-13].
   Прообразом настоящего издания является учебное пособие [6], по сравнению с которым материал очень существенно переработан и дополнен. Значительная часть задач заимствована из сборника [1], для таких задач рядом с номером в квадратных скобках указан их оригинальный номер в первоисточнике.
   Каждый раздел пособия посвящен определенной теме и включает теоретический материал и задачи для самостоятельного решения. Некоторые задачи внесены в текст изложения теоретического материала в качестве упражнений, при этом для них также могут быть приведены указания, ответы и решения.
   Раздел «Указания» содержит подсказки к решению для многих задач; раздел «Ответы» - ответы ко всем задачам, постановка которых подразумевает определенный ответ; раздел «Решения» - полные решения значительной части задач, в том числе большинства задач на доказательство.
   Введение таких разделов преследует цель максимизировать обучающий эффект при самостоятельном решении задач. При возникновении затруднений в решении задачи рекомендуется обратиться к разделу «Указания» и продолжить решение. В качестве следующей подсказки можно использовать ответ. Если и после этого задачу не удается решить в разумное время, то следует обратиться к решениям, после чего попробовать решить аналогичную задачу.

4

Глава 1





                ВЕРОЯТНОСТИ НА СОБЫТИЯХ





            § 1.1. АЛГЕБРА СОБЫТИЙ


   ПОНЯТИЕ СОБЫТИЯ

   Первым понятием, с которым нужно познакомиться, является понятие элементарного исхода. Элементарный исход есть некоторый вариант того, что может произойти. При этом, конечно, нужно понимать, что вариантов того, что может произойти, на самом деле можно выделить сколько угодно и различными способами.
   Например, мы бросаем монету на стол, поверхность которого чертой разделена на две половины. Можно указать следующие возможные варианты: монета упадет гербом, монета упадет решеткой, монета попадет в левую половину, монета попадет в правую половину, монета попадет на черту, монета упадет со стола, мы вообще промахнемся мимо стола и так далее. Если измерять координаты упавшей на стол монеты, то каждая пара значений координат - тоже вариант исхода, причем таких вариантов бесконечное (континуальное) множество.
   Чтобы применять аппарат теории вероятностей, необходимо из всех подобных вариантов выбрать некоторое множество Q, оно будет называться множеством элементарных исходов. При этом Q нужно составлять так, чтобы при любом развитии событий случился ровно один исход о е Q.
   Это означает две вещи. Во-первых, что бы ни случилось, этот вариант должен быть предусмотрен в списке исходов. Во-вторых, не должно быть ситуаций, удовлетворяющих одновременно двум исходам.
   Например, множество {монета упадет гербом, монета упадет решеткой} является множеством элементарных исходов (считаем, что монета на ребро встать не может), поскольку указанные нами варианты несовместны и один из них непременно случится.


5

   Наоборот, множество {монета упадет гербом, монета попадет в правую половину, монета упадет со стола} множеством элементарных исходов не является, поскольку ситуация, когда монета ложится гербом в правую половину стола, удовлетворяет сразу двум вариантам, а ситуация, когда монета ложится решеткой в левую половину, не предусмотрена вовсе.
   Заметим, что множество элементарных исходов всегда можно выбрать настолько «подробным», насколько нужно. Например: {монета гербом ляжет на стол, монета гербом ляжет на пол, монета решеткой ляжет на стол, монета решеткой ляжет на пол}.
   Исход называется элементарным, потому что более подробные (более мелкие) исходы мы договариваемся не рассматривать. Например, если решили исходом считать, в какую из половин стола попала монета, то конкретные координаты монеты уже не измеряем.
   С точки зрения математики все сказанное эквивалентно одной фразе: рассмотрим некоторое множество Q элементарных исходов со.
   Событиями называются некоторые подмножества из 0, причем если 0 конечно или счетно, то любое А с Q есть событие. Если же £1 континуально, то событиями будет только часть его подмножеств.
   Пример континуального множества - это множество точек возможного положения центра монеты на поверхности стола. При этом событиями будут только те множества точек поверхности стола, которые имеют площадь (в том числе нулевую).
   Пустое множество 0 будем называть невозможным событием, а множество 0 - достоверным событием.

   ОПЕРАЦИИ НАД СОБЫТИЯМИ

   Поскольку события являются множествами, над ними определены все операции, определенные для множеств. При этом для некоторых операций вводятся синонимы. Так, пересечение множеств А П В называется произведением АВ событий А и В, а объединение А U В обозначается как сумма А + В. Отрицанием А события А называется дополнение множества А до 0.
   Перечисленные операции являются основными. Реже используются различные производные операции, такие как разность А \ В = АВ и симметрич+ская_разность А АВ = АВ + АВ.


6

   Важно отметить, что «разность», несмотря на название, никоим образом не является операцией, обратной сложению. Это, в частности, означает, что при доказательстве тождеств нельзя «сокращать слагаемые».
   Утверждение. АВ = А + В , А + В = АВ .
   Доказательство. Заметим, что достаточно доказать лишь одно из приведенных тождеств, так как другое получается простым переобозначением и взятием отрицания.


Таблица 1

Таблица истинности

А В АВ АВ А В А + В
0 0 0  1  1 1 1    
0 1 0  1  1 0 1    
1 0 0  1  0 1 1    
1 1 1  0  0 0 0    

   Построим таблицу истинности (табл. 1) для первого тождества. Сравнивая значения в столбцах для АВ и А + В, обнаруживаем их совпадение, откуда делаем заключение о тождественности сравниваемых выражений.
   Строго говоря, правомерность такого метода нуждается в обосновании, однако такое обоснование выходит за рамки курса и интересующиеся могут самостоятельно найти его в литературе.
   Отношение А ^ В читается как «из А следует В» и обозначает А с В .
   Говорят, что некоторое множество событий образует полную группу, если сумма этих событий дает О. События А и В называются несовместными, если АВ = 0 .
   Определение. Множество событий Л с 2° называется алгеброй событий, если оно удовлетворяет условиям:
   1)0 еЛ; _
   2)  А е Л ^ А еЛ ;
   з)  А еЛ, В еЛ^ А + В еЛ.
   Последние два условия называют требованием замкнутости относительно операций отрицания и сложения соответственно.

7

   Упражнение l.l.a. Доказать, что если Л - алгебра, то выполнены свойства:
   1) ОеЛ;
   2) А еЛ, В е Л ^ АВ еЛ .
   Определение. Алгебра Л называется ъ-алгеброй, если

А е Л ^ U А е Л .
i=1

   Заметим, что не любая алгебра является о-алгеброй, т. е. из того, что алгебра включает все конечные объединения из некоторого набора множеств, не следует, что она включает бесконечные объединения.
   Проиллюстрируем сказанное примером.
   Пусть ®'- алгебра над двумерными интервалами на плоскости. Иными словами, множество ®' включает всевозможные объединения из конечного числа прямоугольников, стороны которых параллельны координатным осям. Очевидно, что круги в множество ®' не входят, хотя для любого заданного круга в ®’ можно найти множество, сколь угодно мало от этого круга отличающееся (в смысле меры симметрической разности), поскольку круг можно сколь угодно точно аппроксимировать прямоугольниками достаточно малого размера. Однако если образовать о-алгебру ®, включающую не только конечные, но и все счетные объединения всевозможных интервалов, то в нее войдут и круги (см. задачу 1.1.17).

   ЗАДАЧИ

   l.l.l [1.1]. Что означают события А+А и АА ?
   1.1.2 [1.2]. Когда возможно равенство АВ = А ?
   l.l.3    [1.4]. События: А - хотя бы один из трех проверяемых приборов бракованный, В - все приборы доброкачественные. Что означают события А + В и АВ ?
   l.l.4    . Из таблицы случайных чисел наудачу взято одно число. Событие А - выбранное число четное; событие В - данное число оканчивается нулем. Что означают события АВ иА\В ?


8

    1.1.5    [1.7]. События: А - хотя бы одно из четырех изделий бракованное, В - бракованных изделий не менее двух. Что означают противоположные события А и В ?
    1.1.6 [1.8]. Упростить выражение А - (В + С)(В + С)(В + С).
    1.1.7    [1.9]. Когда возможны равенства: а) А + В - А ; б) АВ - А ; в) А + В - АВ ?
    1.1.8 [1.10]. Найти случайное событие У из равенства
    X + А + X + А - В.                    ___
    1.1.9 [1.11]. Доказать, что АВ + АВ + АВ - АВ.
   1.1.10 [1.12]. Доказать эквивалентность и справедливость следую-
п     п   п   п
щих двух неравенств: £ Ак - Ц Ак , £ Ак - Ц Ак .
к-1   к-1    к-1    к-1
    1.1.11 [1.13]. Совместны ли события А и А + В ?
    1.1.12    [1.14]. Доказать, что события А, АВ, А + В образуют полную группу.
    1.1.13    [1.15]. Два шахматиста играют одну партию. Событие А-выигрывает первый игрок, В - выигрывает второй игрок. Какое событие следует добавить к указанной совокупности, чтобы получилась полная группа событий?
    1.1.14    . Два стрелка по одному разу стреляют в мишень. Событие А - попадает первый стрелок и промахивается второй, событие В - попадает второй стрелок и промахивается первый. Какие события следует добавить к указанной совокупности, чтобы получилась полная группа событий?
    1.1.15    . Дано множество исходов Q - {а, b, с, d, е], является ли множество событий S -{{а, b, с, d], {с, d ]] алгеброй? Если нет, то дополнить до алгебры (минимальной мощности).
    1.1.16    . Дано множество исходов Q-{а, b, с, d, е, f ], является ли множество событий S = {{b,с,d], {а,с, f ],{с]] алгеброй? Если нет, то дополнить до минимальной алгебры.
    1.1.17    . Доказать, что любой круг принадлежит о-алгебре ®, порожденной двумерными интервалами на плоскости. Под интервалом понимается прямоугольник (в частности, отрезок или точка) со сторонами, параллельными осям координат.

9

            § 1.2. СЛУЧАЙ РАВНОВЕРОЯТНЫХ ИСХОДОВ. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ



   НЕПОСРЕДСТВЕННЫЙ ПОДСЧЕТ ВЕРОЯТНОСТИ

   В некоторых случаях вероятность Р (А) заданного события А можно вычислять как долю исходов, принадлежащих данному событию, т. е. Р (А ) = '^А - В этом случае исходы называются равновероятными.
   Это так называемое классическое определение вероятности, возникшее из исследований азартных игр. На самом деле (в современной теории) это вовсе не определение вероятности, а один из способов ее задания. Более того, в данном параграфе мы будем решать задачи и практически пользоваться понятием вероятности, вообще пока не давая ее определения. Достаточно будет понимать, что вероятность это некоторое число от 0 до 1, поставленное в соответствие событию.
   Как правило, в компетенцию математики не входит решать, применим ли некоторый математический аппарат к какой-то задаче, и в ней не содержится правил, дающих ответ на этот вопрос. Вопрос об адекватности математического аппарата изучаемым объектам находится в ведении прикладных наук. Например, какие средства функционального анализа выбрать для описания взаимодействия элементарных частиц, решает физика. Математика лишь изучает свойства этих средств.
   Исключением из этого правила является теория вероятностей, которая, будучи математической дисциплиной, опирается также на некоторые эмпирические факты, что свойственно естественным наукам. Естественно-научный аспект теории вероятностей состоит в том, что она позволяет прогнозировать результаты экспериментов. Однако эмпирических законов теории вероятностей очень немного.
   Эмпирический факт. Вероятность имеет «физический смысл». Под этим понимается, что в практических ситуациях возможно адекватное задание вероятностной меры, при котором следует в большей степени ожидать (рассчитывать на наступление) тех событий, вероятность которых больше. При этом событие, имеющее вероятность 1, произойдет гарантированно (подробнее об этом в §1.3).


10

   Если дана математическая постановка задачи, то вопрос об адекватности математических средств уже решен, поскольку в математической постановке нет реальных объектов (и нет даже идеальных физических объектов), а есть только объекты математические (а именно -множества). Но задачи по теории вероятностей часто формулируются в их практической постановке.
   В рамках темы параграфа при решении практических задач возникает одна принципиальная сложность, состоящая в определении, являются ли исходы равновероятными, либо в выборе подходящего множества равновероятных исходов.
   Обычно этот вопрос решается из соображений симметрии (игральная кость, монета) или однородности (шары в урне, колода карт).
   Эмпирический факт. Симметричные или однородные исходы являются равновероятными.


   ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ

   Во многих задачах часто приходится иметь дело с необходимостью подсчета всех возможных способов расположения некоторых предметов или числа всех возможных способов осуществления некоторого действия (числа элементарных исходов, принадлежащих данному событию).
   Основное правило комбинаторики. Пусть требуется выполнить к действий. Если первое действие можно выполнить п₁ способами, второе- п₂ способами, i-e действие - п, способами, и так далее до к-го действия, которое можно выполнить пк способами, то все к действий вместе могут быть выполнены пi. п2... пк способами.
   Комбинаторика - теория конечных множеств. Основной характеристикой конечного множества является число его элементов или мощность множества.
   Большинство задач подсчета мощности множества, образованного к-элементными подмножествами некоторого множества А, можно интерпретировать схемой выбора. Пусть в урне содержится п пронумерованных шаров (множество А) и производится выбор к шаров. При этом необходимо определить способ выбора (возвращается шар в урну или нет) и способ оценивания результата (учитывается порядок извлечения шаров из урны или нет).


11