Вычисления на квазиравномерных сетках

Калиткин Н.Н.
Альшин А.Б.
Альшина Е.А.

Рогов Б.В.

Вычисления на

квазиравном ерных

сетках

МОСКВА

ФИЗМАТЛИТ ®

УДК 519.6
ББК 22.193
К 17

Издание осуществлено при поддержке
Российского фонда фундаментальных
исследований по проекту 04-01-14012д

К а л и т к и н Н. Н., А л ь ш и н А. Б., А л ь ш и н а Е. А., Р о г о в Б. В.
Вычисления на квазиравномерных сетках. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. —
224 с. — ISBN 5-9221-0565-5.

Монография посвящена изучению квазиравномерных сеток и их приложений. Сгущение таких сеток позволяет получать апостериорную асимптотическую оценку погрешности и повышать порядок точности так же, как это
делается на равномерных сетках. Квазиравномерные сетки можно строить в
неограниченных областях. Все это позволяет предложить методы решения
широкого круга задач: квадратурные формулы, разностные схемы для разных
типов уравнений в частных производных, интегральные уравнения, задачи на
собственные значения и т.п. Изложение иллюстрировано большим количеством
примеров.
Книга адресована математикам, научным сотрудникам и инженерам, ведущим прикладные расчеты, а также аспирантам и студентам старших курсов
соответствующих специальностей.

ISBN 5-9221-0565-5

c⃝ ФИЗМАТЛИТ, 2005

c⃝ Н. Н. Калиткин, А. Б. Альшин,
Е. А. Альшина, Б. В. Рогов, 2005

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
6

Г л а в а I. О численном анализе . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
9
§ 1. Математическое моделирование . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
9
Немного истории (9).
Математическая модель (10).
Модель–
алгоритм–программа (14).
§ 2. Источники погрешности . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
15
Величины и нормы (16).
Неустранимая погрешность (17).
Погрешность метода (18). Погрешность округления (19).

Г л а в а II.
Сгущение равномерных сеток. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
21
§ 1. Точность сеточных методов . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
21
Вычисление на сетках (21). Погрешность сеточных методов (24).
Гладкость и насыщение (28).
§ 2. Сгущение равномерных сеток. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
29
Апостериорная оценка точности (29).
Повышение точности (31).
Рекуррентное
сгущение (33).
Многомерность
и
наборы
сеток (34).
§ 3. Контроль и диагностика . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
38
Отладка программ (38). Контроль расчетов (41). Ошибки округления (46). Многомерность (48).
§ 4. Произвольные наборы сеток. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
50
Схема многократного сгущения (50).
Явное решение (52).
Рекуррентные формулы (54).
Диагностика (56).
Дополнение (59).
Приложение (61).

Г л а в а III.
Квазиравномерные сетки . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
65
§ 1. Построение квазиравномерных сеток. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
65
Семейства сеток (65).
Неограниченная область (71).
Адаптивность (75). Многомерность (79).
§ 2. Аппроксимация интегралов и производных. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
82
Аппроксимация интегралов (82).
Симметричные аппроксимации
производных (83). Несимметричные аппроксимации (86).
§ 3. Случай неограниченной области. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
87
Замена шага (87).
Аппроксимация (88).
Сравнение с методом
замены переменной (90).

Оглавление

§ 4. Аппроксимация функций в двумерной неограниченной области . .. .
90
Скалярное произведение (90). Базисные функции (91). Нелинейная среднеквадратичная аппроксимация (94).

Г л а в а IV. Квадратуры на квазиравномерных сетках . .. .. .. .. .. .. .. .. .
97
§ 1. Простейшие формулы . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
97
Формула трапеций (97). Формула средних (102).
§ 2. Коллокационно-сеточные формулы . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
105
Коллокация (105).
Погрешность коллокационно-сеточных формул (112). Примеры (115).
§ 3. Вычисление плазменных микрополей. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
119
Модель плазменного микрополя (119).

Г л а в а V. Спектральные задачи. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
122
§ 1. Известные методы . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
122
§ 2. Методы, пригодные в ограниченной области. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
123
Дополненный вектор фазы (123). Бесконечная область (126).
§ 3. Итерационные методы вычисления спектров в неограниченных
областях. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
127
Обратные итерации (127).
Обратные итерации со сдвигом (128).
Метод дополненного вектора (129).
§ 4. Сравнение итерационных методов. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
129
Сходимость по шагу (129). Границы сходимости (130).

Г л а в а VI. Классические уравнения в неограниченной области . .. .
132
§ 1. Параболические уравнения . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
132
Уравнение теплопроводности для прямой и полупрямой (132).
Уравнение нелинейной теплопроводности и горения (136). Двумерное параболическое уравнение; продольно-поперечная схема (138).
Устойчивость продольно-поперечной схемы (140).
Оценка спектра (144).
§ 2. Эллиптические уравнения . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
146
Счет на установление (146). Оптимальный шаг (146).
§ 3. Гиперболические уравнения . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
150
Одномерное волновое уравнение. Неявная схема с весами (150).
Двумерное волновое уравнение (158).
§ 4. Уравнение нелинейного переноса . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
160

Г л а в а VII. Неклассические уравнения соболевского типа. .. .. .. .. .. .
164
§ 1. Математические модели, приводящие к соболевским уравнениям. .
164
§ 2. Метод квазиравномерных сеток в одномерном случае. .. .. .. .. .. .. .. .. .
166
Уравнение ионно-звуковых волн (166). Результаты расчетов (169).

. .. .
90
ей
. .. .. .
97
. .. .. .
97

. .. .. .
105
фор
. .. .. .
119

. .. .. .
122
. .. .. .
122
. .. .. .
123

нных
. .. .. .
127
(128).

. .. .. .
129

. .. .
132
. .. .. .
132
132).
ер(138).
ек
. .. .. .
146

. .. .. .
150
150).

. .. .. .
160

. .. .. .
164
. .
164
. .. .. .
166
(169).

Оглавление
5

§ 3. Двумерный случай. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
176
Двумерные ионно-звуковые волны (176).
Консервативность схемы (182).
Примеры расчета ионно-звуковых волн (183).
Модификация метода для уравнения гравитационно-гироскопических
волн (184). Модельное псевдопараболическое уравнение (188).

Г л а в а VIII.
Двумерные вязкие течения . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
189
§ 1. Пограничный слой в сопле . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
189
Газодинамическая модель (189).
Квазиравномерные сетки (194).
Сеточная сходимость и точность схемы (195).
§ 2. Пограничный слой при обтекании. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
197
Газодинамическая модель (197).
Квазиравномерные сетки (202).
Сеточная сходимость и точность схемы (202).

Г л а в а IX.
Интегральные уравнения . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
205
§ 1. Метод квадратур . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
205
Алгоритм (205). Тестирование метода (207).
§ 2. Обтекание тела потоком стратифицированной жидкости. .. .. .. .. .. .. .
212
Модель (212).
Редукция к интегральному уравнению (213).
Построение численного решения (214).

Список литературы . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
217

ПРЕДИСЛОВИЕ

Эту книгу мы решили написать по трем причинам.
Во-первых, в практике вычислений метод сгущения сеток является
мощным средством для численного решения широкого круга задач с
гарантированной точностью. Однако даже математики-прикладники не
всегда знают возможности этого метода и как им грамотно пользоваться. Большинство же инженеров, рассчитывающих свои задачи на
компьютерах, почти не слышали о нем.
Во-вторых, среди сеток есть один важный класс — квазиравномерные сетки. Они легко адаптируются ко многим задачам, и при
этом позволяют использовать все возможности метода сгущения сеток.
Это дает возможность добиваться высокой точности при малом объеме
вычислений даже для весьма сложных задач. Но о такой возможности
знает сейчас лишь узкий круг наиболее квалифицированных специалистов.
В-третьих, квазиравномерные сетки с конечным числом интервалов
можно строить даже в неограниченной области: последний узел сетки
будет бесконечно удаленной точкой. Это позволило нам в последние
годы предложить эффективные методы решения многих классов задач
в неограниченной области: несобственных интегралов, краевых и начально-краевых задач для дифференциальных уравнений. Метод естественно переносится на интегральные и интегро-дифференциальные
уравнения, а также на любое число измерений.
Все это открывает широчайшие возможности, о которых пока почти
никто не подозревает. Например, можно естественно решать аэродинамические задачи дозвукового обтекания, где граничным условием
является невозмущенность набегающего потока на бесконечном удалении от обтекаемого тела (сейчас такие задачи решают громоздкими
искусственными приемами).
Насколько нам известно, впервые квазиравномерные сетки (и сам
этот термин) предложил А.А. Самарский около 1952 г. Его коллектив
выполнял тогда расчет мощности взрыва первой советской термоядерной бомбы. Задача была крайне сложная, а расчеты велись вручную,
на электроарифмометрах “Мерседес”: до пуска первой приличной отечественной ЭВМ “Стрела” оставалось еще больше года. Необходимо
было предельно экономизировать вычисления и брать сетку из небольшого числа узлов, иначе расчеты не уложились бы в сроки. Но и
точность требовалась высокая, а для этого в некоторых участках сле

вляется
задач с
ники не
пользодачи на

азиравночам, и при
я сеток.
объеме
зможности
специа
интервалов
ел сетки
следние
ов задач
х и натод естеиальные

а почти
аэродисловием
ом удаоздкими

(и сам
ллектив
ермоядерручную,
чной отебходимо
небольи. Но и
тках сле
Предисловие
7

довало брать малый шаг. Как же удовлетворить этим противоречивым
требованиям?
Тогда А.А. Самарский предложил неравномерную сетку с такими
шагами hn, чтобы разность соседних шагов была много меньше самих
шагов: hn+1 − hn = O(h2
n). Но далекие интервалы могут при этом
сильно различаться. Это позволяло строить сетки подробные в наиболее важных участках и редкие вдали от этих участков. Общее число
интервалов и объем расчетов оказывались небольшими, а точность
вычислений оставалась высокой. Он назвал эти сетки квазиравномерными.
В результате важные расчеты были проведены в срок, а взрыв
первой советской термоядерной бомбы в 1953 г. блестяще подтвердил
их точность.
Опубликована была эта идея много позднее. Но один из авторов
(Н.Н. Калиткин) работает в коллективе А.А. Самарского с 1958 г. и
познакомился с ней “из первых рук”. Он систематически использовал
ее в своей работе и включил в курс лекций, которые читал студентам
физического факультета МГУ в 1970-е годы, и книгу “Численные
методы” (1978 г.).
Для этого пришлось дать строгое математическое определение квазиравномерных сеток. Оказалось, что это определение обобщается на
неограниченную область. Это позволило тогда же построить новые
методы вычисления несобственных интегралов, а позднее — решения
интегральных уравнений. Но лишь около 2000 г. удалось понять, как
распространить эту идею на краевые задачи в неограниченной области.
Сразу возникло очень много приложений к задачам, которые ранее
с трудом решали искусственными приемами или вообще не умели
решать.
Эту книгу мы писали для двух категорий читателей. Одна — это
вычислители-практики, физики и инженеры, самостоятельно изучавшие численные методы, а также студенты и аспиранты, которым книга
может служить учебным пособием. Для них мы подробно изложили
метод сгущающихся сеток и практические приемы его использования.
Все изложение построено просто, не требует углубленного знания математики и иллюстрировано большим количеством примеров. При этом
подробно рассказывается и показывается, как надо строить алгоритм
и программу, чтобы они давали ответ с гарантированной точностью и
проводили диагностику ошибок.
Другая категория — это опытные математики-прикладники. Общие
аспекты, описанные выше, им знакомы, но даже они могут найти
полезное в той достаточно полной и тщательной методике решения
прикладных задач, которая изложена в книге. Но наиболее интересными для них будут новые перспективы метода квазиравномерных
сеток, особенно для случая неограниченной области. Здесь они найдут
ряд новейших результатов, не все из которых даже успели попасть

Предисловие

в журналы, и применить эти подходы к решению своих собственных
задач.
Книга разделена на главы, параграфы и пункты. Роль традиционного введения играет глава I. В каждой главе своя нумерация формул,
рисунков, таблиц, примеров, теорем и определений (не по параграфам,
а сплошная). Ссылки на формулы, рисунки и т. п. данной главы имеют
следующий вид: формула (32), рис. 15. Если нужно сослаться на
другую главу, то пишут: формула (IV, 32), рис. III.15. Если надо
сослаться на текст в данном параграфе, то пишут: см. п. 3, на другой
параграф этой же главы ссылаются так: см. § 1, п. 3; ссылка на другую
главу имеет вид: гл. IV, § 1, п. 3. При ссылках на литературу пишутся
фамилии всех или первого из авторов и год, например [Хайрер и др.;
1990].
В конце книги приведен список литературы. Для удобства он составлен в алфавитном порядке по фамилии первого автора. Список
содержит учебные пособия и монографии, в которых есть главы, специально посвященные сгущению сеток. Из них только [Марчук, Шайдуров; 1979] целиком посвящена этой теме. Однако квазиравномерные
сетки рассмотрены только в одной книге — [Калиткин; 1978]. Кроме
того, в список литературы вошли статьи в журналах, где опубликован
ряд оригинальных результатов, как уже ставших классическими, так и
новейших. Основные методы и идеи, изложенные в книге, мы “обкатывали” в лекционных курсах, которые читали студентам физического
факультета Московского государственного университета, Московского
физико-технического института и Московского института электронной
техники.
Некоторые интересные начально-краевые задачи в неограниченной
области предложили нам А.Г. Свешников и Ю.Д. Плетнер. Совместно
с авторами работали над приложениями и участвовали в расчетах
примеров аспиранты и студенты Московского физико-технического института и Московского института электронной техники А.А. Болтнев,
О.А. Качер, А.Б. Корягина, П.В. Корякин, К.И. Луцкий, А.С. Малистов, И.А. Панин, C.Л. Панченко, Н.М. Шляхов. В оформлении книги
ощутимую помощь оказали сотрудники ИММ РАН Т.Г. Ермакова и
Л.В. Кузьмина. Всем им мы выражаем искреннюю благодарность.
Многие методы, изложенные в этой книге, были разработаны в
ходе выполнения проектов, поддержанных грантами РФФИ №№ 9301-00861, 96-01-00305, 97-01-00005, 99-01-00082, 00-01-00151, 02-0100066, 02-10-00253, 03-01-00439, Президентской программой поддержки научных школ и молодых кандидатов наук НШ-1918.2003.1, МК1907.2004.9 и Фондом содействия отечественной науке.

Авторы

твенных

диционформул,
аграфам,
имеют
ться на
ли надо
другой
другую
пишутся
р и др.;

а он соСписок
вы, спечук, Шайомерные
1978]. Кроме
ликован
ими, так и
“обкаческого
овского
тронной

ниченной
вместно
расчетах
кого инолтнев,
А.С. Малинии книги
акова и
ть.
отаны в
№ 9300-01-00151, 02-01оддержШ-1918.2003.1, МК
Авторы

Г л а в а I

О ЧИСЛЕННОМ АНАЛИЗЕ

Это вводная глава. В ней рассматриваются стадии решения естественнонаучных и технических задач: построение математической модели, разработка численного метода, расчет и обоснование его точности. Детально рассматривается природа погрешности и различные
причины ее возникновения. Изложение сопровождается кратким историческим очерком.

§ 1. Математическое моделирование

1. Немного истории. Уже в глубокой древности считалось, что
наука занимается непреложными и неизменными истинами: естественные науки открывают законы природы, а математика придает этим
законам совершенную форму. Уже Архимед открыл закон рычага и выталкивающую силу (“Архимед открыл народу: тело, впернутое в воду,
выпирает оттуды масса выпертой воды”). Сильнейшее подтверждение
этой точки зрения дал Исаак Ньютон, опубликовавший в 1687 г. свой
труд “Математические начала натуральной философии”. Он сформулировал основные законы механики. Он же создал математический аппарат — дифференциальное и интегральное исчисления (одновременно с
ним и даже чуть раньше то же сделал Готфрид Вильгельм Лейбниц),
что позволило дать строгие математические формулировки задач и
многие из них точно решить. Триумфом механики стали выведенные
еще Ньютоном законы движения небесных тел.
С этого момента началось бурное развитие механики. Формулировались все новые частные задачи. Многие из них точно решались; для
иных создавались численные методы решения (но об этом позднее).
Стали развиваться другие разделы физики; для описания задач сплошной среды (теплопроводность, газодинамика и т. п.) был разработан
аппарат уравнений в частных производных. Блестящим завершением
этого периода стали уравнения Максвелла для электромагнитного излучения (их долго не хотели признавать, но эксперименты Генриха
Герца по обнаружению электромагнитных волн и Петра Николаевича
Лебедева по измерению давления света поставили здесь точку).
Так длилось до начала ХХ века. А затем...
Затем Хендрик Антон Лоренц, Анри Пуанкаре и Альберт Эйнштейн создали специальную теорию относительности. Классическая

Гл. I. О численном анализе

ньютоновская механика оказалась частным случаем релятивисткой механики, справедливым при скоростях много меньших скорости света.
То, что три века считалось точным законом природы, оказалось лишь
неким приближением.
Через два десятилетия последовал новый удар. Эрвин Шредингер и Вернер фон Гейзенберг заложили основы квантовой механики.
Ньютоновская механика оказалась частным случаем квантовой, когда размеры тел становятся много больше атомных. Наконец, Поль
Дирак создал еще более общую теорию —релятивистскую квантовую
механику, также немедленно подтвержденную экспериментами исключительно высокой точности. Кроме того, теория Дирака предсказала,
что помимо электрона должна существовать частица с той же массой,
но положительным зарядом — позитрон. И вскоре позитрон был обнаружен в экспериментах. Это убедило всех сомневающихся.
В результате ученые осознали, что абсолютно точных фундаментальных законов — истин в последней инстанции — нет. Любой закон
является лишь приближенным описанием природы, частным случаем
более общего закона (быть может, еще не открытого). Он достаточно
точно выполняется лишь в определенных условиях, например: не слишком больших скоростях, не слишком малых размерах тел и т. п. Надо
только четко сформулировать эти условия применимости и следить за
тем, чтобы не выходить за их границы.
Но ведь приближениями пользовались намного раньше. Например,
уравнения газодинамики (уравнения Эйлера) достаточно сложные; точно они не решаются, а решать их численно довольно трудоемко. Но
если нас интересуют не любые движения масс газа, а лишь небольшие
колебания давления, то удается приближенно заменить эти уравнения
гораздо более простым уравнением акустики. Его не трудно точно
решить, и оно превосходно описывает многие явления, такие как
распространение звука. Но для описания сильного взрыва уравнение
акустики уже не пригодно, т. к. здесь изменение давления велико, и
нарушены условия применимости.
Такие приближения строились с XVIII века, неспешными в те годы
темпами, проверялись и становились классическими, т. е. входили в
золотой фонд науки и всесторонне изучались. Однако с 1940-х годов
стремительное развитие техники, основанной на сложных физических
и химических принципах, потребовало аккуратного проектирования
и тщательного расчета новых конструкций. Пришлось разрабатывать
специальное приближение для каждой конкретной задачи или явления.
Такие приближения стали называть моделями данного явления.

2. Математическая модель. Различают две стадии построения
модели. Сначала обсуждают разные стороны и процессы данного явления. При этом оценивают, какие процессы и факторы обязательно
надо учесть, а какие — пренебрежимо малы и могут быть отброшены. Отобранные факторы составляют предметную (механическую,

ткой мети света.
сь лишь

рединханики.
вой, коц, Поль
антовую
исклюсказала,
массой,
ыл обна
ндаменй закон
случаем
статочно
е слишп. Надо
едить за

Например,
ые; точмко. Но
большие
авнения
о точно
кие как
уравнение
лико, и

те годы
одили в
1940-х годов
ических
рования
атывать
вления.
ния.

троения
анного явательно
отброческую,

§ 1. Математическое моделирование
11

физическую, химическую, биологическую, социологическую и т. п.) модель явления. Затем отобранные факторы описывают математическими
уравнениями (алгебраическими, дифференциальными, интегральными
и т. п.). Эту совокупность уравнений называют математической моделью.
Поясним это на примерах баллистических задач.

П р и м е р 1. Пусть камень брошен со скоростью v0 под углом α
к горизонту с высоты y0 (рис. 1). Учтем только силу притяжения,

Рис. 1. Полет молота (сплошная линия) и волана (пунктир)

действующую вертикально вниз, это и есть физическая модель. Тогда
согласно ньютоновской механике движение по горизонтали будет равномерным, а по вертикали — равноускоренным:

x = v0t cos α,
y = y0 + v0t sin α − gt2

2 ;
(1)

здесь t — время, g ≈ 10 м/с2 — ускорение свободного падения. Уравнения (1) являются математической моделью и одновременно дают
решение в параметрической форме (роль параметра играет t). Можно
исключить t из (1) и получить траекторию полета, которая оказывается
параболой:
y = y0 + x tg α −
gx2

2v2
0 cos2 α.
(2)

Полагая y = 0, найдем дальность броска:

xfin = v0 cos α
v0 sin α +
v2
0 sin2 α + 2gy0
g
−→
y0→0 v2
0
sin 2α

g
.
(3)

Дальность броска зависит от угла α. Можно даже явно найти оптимальный угол, обеспечивающий наибольшую дальность броска:

sin αopt =
1
2(1 + gy0/v2
0)
−→
y0→0
1
√

2
,
xopt =
v0
v2
0 + 2gy0
g
−→
y0→0
v2
0
g ; (4)

при y0 = 0 оптимальный угол αopt = 45◦ (что знают даже школьники),
а при y0 > 0 он меньше.

Гл. I. О численном анализе

Эта модель очень проста. Но где она применима? Она хорошо
описывает полет сравнительно небольших массивных тел с умеренными скоростями (бросок камня, толкание ядра, метание молота).
Обработка спортивных киносъемок показывает, что лучшие метатели
молота выпускают снаряд под углом 42–43◦ (бросок идет с высоты
плеча y0 ≈ 1.5 м), а начальная скорость v0 ≈ 20 м/с обеспечивает
дальность xopt ≈ 41–42 м.

П р и м е р 2. Попробуем применить модель (1) к другим объектам. Круглая пуля времен нашествия французов имела скорость v0 >
> 100 м/с и, согласно формуле (4), могла бы лететь на 1 км и более.
Однако дальнобойность ружей тогда не превышала 200 м. Очень нагляден полет волана в бадминтоне: с какой скоростью его ни посылай, он
дальше ∼ 36 м не полетит; вдобавок хорошо видно, что траектория его
полета не параболическая, а имеет более крутое снижение (пунктир на
рис. 1).
Причина легко угадывается — надо учесть сопротивление воздуха. Его сила F направлена обратно скорости v, а ее величина при
средних (дозвуковых) скоростях примерно пропорциональна квадрату
скорости, т. е. F ≈ −k(v)v, где k(v) ≈ k0v. Коэффициент k0 зависит от
размеров и формы тела и свойств воздуха (температуры и плотности).
Примем эту физическую модель и запишем математическую модель —
ньютоновские уравнения движения для координат x, y и компонент
скоростей vx, vy:

dx
dt = vx,
dy
dt = vy,
dvx
dt = −k(v)

m vx,
dvy
dt = −g − k(v)

m vy,
(5)

где m — есть масса тела,

k(v) = k0v,
v = v2
x + v2
y
1/2.
(6)

Уравнение надо дополнить начальными условиями при t = 0:

x(0) = 0,
y(0) = y0,
vx(0) = v0 cos α,
vy(0) = v0 sin α.
(7)

Новая модель существенно сложнее, и решить задачу (5)–(7) явно
уже не удается. Однако она существенно точнее. Нетрудно численно
решить ее на компьютере и увидеть все те эффекты (несимметричность
траектории и уменьшение дальности), о которых говорилось выше. Для
малых начальных скоростей k(v) ≈ 0, и модель (5)–(7) переходит в (1).
Заметим, что для модели (5)–(7) удается найти частный случай, где
строится точное решение. Рассмотрим полет вертикально брошенного
тела: α = 90◦. Тогда vxt ≡ 0 и xt ≡ 0, а оставшиеся уравнения принимают следующий вид:

dy
dt = v,
dv
dt = −g ∓ k0

mv2,
y(0) = y0,
v(0) = v0 > 0.
(8)

хорошо
умеренмолота).
етатели
высоты
ечивает

объекть v0 >
и более.
ь наглялай, он
ория его
ктир на

е воздуина при
вадрату
висит от
тности).
одель —
мпонент

,
(5)

(6)

α.
(7)

5)–(7) явно
численно
ичность
ше. Для
ит в (1).
лучай, где
шенного
прини
(8)

§ 1. Математическое моделирование
13

Здесь знак “−” соответствует стадии полета вверх, а знак “+” — стадии падения. Уравнение для скорости интегрируется точно: на стадии
подъема

v(t) = 1

σ · σv0 − tg(σgt)

1 + σv0 tg(σgt),
σ =
k0
mg ,
0 ⩽ t ⩽ tup,
(9)

где время подъема

tup = 1

σg arctg(σv0)
→
v0→∞
π

2σg .
(10)

На стадии падения

v(t) = − 1

σ th[σg(t − tup)],
t ⩾ tup,
v(+∞) = − 1

σ .
(11)

Время подъема оказалось конечным, сколь бы большой ни была начальная скорость, а скорость падения не превышает некоторой предельной, что кардинально отличается от модели (1). Высота подъема
находится интегрированием скорости:

y(t) = y0 +

t0

v(τ)dτ.
(12)

Этот интеграл также точно берется, но формулы различны для стадий
подъема 0 ⩽ t ⩽ tup и спуска tup ⩽ t; первая из этих формул довольно
громоздка. Значение ym = y(tup) определяет максимальную высоту
подъема.

П р и м е р 3. Современные винтовки и орудия изготавливают с высокой точностью. Обычная снайперская винтовка может поразить цель
на 800 м, крупнокалиберная — на 1.5–2 км, а дальнобойное морское
орудие при стрельбе на 30 км дает рассеивание ±3 м. Однако для точного попадания в цель надо правильно установить прицел, т. е. верно
определить угол α. Расчет этих углов делают по моделям типа (5), но
дополненных еще рядом эффектов:
— начальные скорости v0 достигают сейчас для пуль ∼ 1 км/с, а
для снарядов ∼ 2 км/с, поэтому зависимость k(v) становится гораздо
более сложной;
— коэффициент k0 зависит от плотности и температуры воздуха,
которые могут меняться вдоль трассы полета, что требует внесения
поправок;
— надо учитывать движение цели;
— надо вносить поправки на скорость и направление ветра;
— и еще много других поправок; так в морском бое вносят даже
поправку на вращение Земли!
Раньше такие поправки заранее рассчитывались и печатались книжечкой, которую артиллеристы носили с собой. Но уже в первую
мировую войну у моряков появились механические устройства для ав