Физика линейных и нелинейных волновых процессов в избранных задачах. Электромагнитные и акустические волны

А.Н. ПАРШАКОВ

ФИЗИКА ЛИНЕЙНЫХ И НЕЛИНЕЙНЫХ 
ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ В ИЗБРАННЫХ ЗАДАЧАХ

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ И АКУСТИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ

А.Н. Паршаков
Физика линейных и нелинейных волновых процессов в избранных задачах. Электромагнитные и акустические волны:
Учебное пособие / А.Н. Паршаков – Долгопрудный: Издательский Дом «Интеллект», 2014. – 144 с.
ISBN  9785915591706

Учебное пособие является введением в физику линейных и нелинейных волновых процессов на примере распространения электромагнитных и акустических волн.
Описаны механизмы дисперсии волн. Рассмотрены особенности
распространения нелинейных волн, практически не отраженные на
современном уровне во вводной учебной литературе.
Выбранные задачи носят принципиальный характер и создают основу для дальнейшего изучения предмета.
Необходимое дополнение к базовому курсу теории волн для студентов технических и физических специальностей.

 © 2014, А.Н. Паршаков
© 2014, ООО Издательский Дом
«Интеллект», оригиналмакет,
оформление

ISBN  9785915591706

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5

Глава 1. Колебательные процессы в распределенных
системах. Дисперсия волн . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8

1.1. Фазовая и групповая скорость волн . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.2. Волны в одномерной цепочке атомов . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.3. Гравитационные волны на поверхности жидкости . . . . . .
21
1.4. Уравнение Клейна–Гордона. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
1.5. Плазменные волны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
1.6. Природа дисперсии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40

Глава 2. Акустические волны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44

2.1. Скорость распространения звуковых волн . . . . . . . . . . . .
46
2.2. Акустическое давление и интенсивность звуковых волн . .
54
2.3. Акустическая кавитация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
2.4. Стоячие волны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
2.5. Отражение и преломление звука . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
2.6. Трансформация звуковых волн . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
2.7. Рассеяние и поглощение звука . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
2.8. Физиологическая акустика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
2.9. Применение акустических методов . . . . . . . . . . . . . . . .
80

Глава 3. Распространение электромагнитных сигналов . . .
82

3.1. Волны в линиях передачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
3.2. Волноводы. Граничная частота и скорость волн в волноводе
89
3.3. Генерация сверхкоротких лазерных импульсов . . . . . . . .
93

Оглавление

Глава 4. Нелинейные волны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
110

4.1. Эталонные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
110
4.2. Распространение простых волн . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
118
4.3. Волны с дисперсией и диссипацией . . . . . . . . . . . . . . . .
124
4.4. Стационарные нелинейные волны. Солитоны . . . . . . . . . .
129
4.5. Стационарные волны для уравнения sin-Гордона . . . . . . .
134

Приложение. Невозможность сферически симметричных
электромагнитных волн . . . . . . . . . . . . . . . .
136

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
142

ВВЕДЕНИЕ

Подобно тому, как колебания являются одним из наиболее
характерных и всепроникающих процессов, встречающихся в природе
при анализе движения отдельных тел или частиц, так и волновые процессы берут на себя роль типичных явлений в различных средах. Задание состояния отдельной частицы может быть определено с помощью
конечномерного вектора z = z(t) в фазовом пространстве. Состояние
же среды требует некоторого количества полей Fµ = Fµ(⃗r, t), заданных
в каждой точке пространства ⃗r в момент времени t. Это порождает
огромное разнообразие новых явлений.
Одно из лучших определений волны есть у Эйнштейна и Инфельда1): волна — перенос состояния. При этом происходит изменение
состояния среды или физического поля, сопровождающееся переносом
энергии. В связи с этим волновой процесс может иметь самую различную физическую природу: механическую, химическую, электромагнитную, гравитационную, спиновую, плотности вероятности и др. Важное
свойство волновых движений — наличие локальной (близкодействующей) связи между возмущениями в соседних точках пространства.
Среди всего многообразия волн выделяют их простейшие типы, которые возникают во многих физических ситуациях из-за математического сходства описывающих их законов. Об этих законах говорят как о
волновых уравнениях. Для непрерывных систем это обычно дифференциальные уравнения в частных производных в фазовом пространстве
системы. Важным частным случаем волн, для которых выполняется

1) Эйнштейн А., Инфельд Л. Эволюция физики. — М.: Наука, 1965. — 328 с.

Введение

принцип суперпозиции, являются линейные волны, описываемые уравнением (в одномерном случае)

∂2ξ
∂x2 = 1

v2
∂2ξ
∂t2 .

Это уравнение описывает волны, движущиеся как вдоль оси x, так и
против. Волны, распространяющиеся только вдоль оси x, описываются
так называемым одноволновым уравнением

∂ξ
∂t + v ∂ξ

∂x = 0.

В этих уравнениях v — скорость волны, ξ — изменяющаяся во времени
и пространстве величина, характеризующая волновое движение, например, плотность вещества, напряженность электрического и магнитного
полей и т. д.
В основном физические волны не переносят материю, но возможны
варианты, когда происходит перенос именно материи, а не только энергии. Такие волны способны распространяться и без наличия материальной среды: нестационарное излучение газа в вакуум, волны горения,
волны химической реакции, плотности транспортных потоков и др.
Исходя из физической природы, существуют различные классификации волн. В зависимости от характера среды распространения: упругие волны, волны в плазме, электромагнитные волны, гравитационные
и др. По законам, описывающим волновой процесс: линейные, подчиняющиеся принципу суперпозиции, и нелинейные, для которых принцип суперпозиции не выполняется. По зависимости скорости волны от
ее частоты: диспергирующие и недиспергирующие. По признаку распространения различают бегущие, стоячие волны, а также уединенные (солитоны). По характеру колебаний относительно направления
распространения волны: поперечные, продольные и смешанного типа.
По наличию границ среды: объемные и поверхностные. По характеру
волновых поверхностей: плоские, цилиндрические и сферические.
В твердых телах могут распространяться как продольные, так и
поперечные волны. В объеме жидкостей и газов — только продольные волны. Электромагнитные волны, способные распространяться и
в вакууме, являются поперечными волнами, причем, можно доказать,
что не существует сферически симметричных электромагнитных волн
(см. приложение).
Задачей данного пособия является иллюстрация всего вышеупомянутого спектра характеристик и особенностей волнового движения на
примере электромагнитных и акустических волн. При этом предполагается, что читатель знаком с предварительными сведениями о волновом
движении в рамках стандартного курса физики в техническом вузе.

Введение
7

Глава первая посвящена рассмотрению колебательных процессов в
распределенных системах и описанию механизма дисперсии волн. Во
второй главе описываются особенности распространения акустических
волн в различных средах. Третья глава посвящена распространению
электромагнитных сигналов в линиях передач и волноводах. Рассмотрен также механизм генерации сверхкоротких лазерных импульсов. В
заключительной четвертой главе рассмотрены особенности распространения нелинейных волн, при прохождении которых из-за большой интенсивности изменяются свойства среды, и проявляется взаимодействие
волн. Нелинейность — неотъемлемое свойство любой системы, эволюционирующй во времени. Общность нелинейных явлений различной
природы, общность их моделей и методов рассмотрения в настоящее
время стали почти очевидными, что привело к зарождению таких самостоятельных дисциплин как нелинейная физика плазмы, нелинейная
оптика и акустика, физика высоких энергий (включая физику взрыва
и ударных волн), нелинейная термодинамика, описывающая переходы
в системах, далеких от термодинамического равновесия и др.

Г Л А В А
1

КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ
В РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМАХ.
ДИСПЕРСИЯ ВОЛН

1.1.
ФАЗОВАЯ И ГРУППОВАЯ СКОРОСТЬ ВОЛН

Основным уравнением, описывающим распространение колебаний, является волновое уравнение, которое для одномерных задач
выглядит как

∂2ξ
∂t2 = v2 ∂2ξ

∂x2 .
(1.1)

Здесь ξ = ξ(x, t) — некоторая изменяющаяся во времени и пространстве
величина. Например, для упругих волн это может быть смещением частиц от положения равновесия; для электромагнитных волн это может
быть проекцией напряженности электрического (или магнитного) поля;
v — так называемая фазовая скорость волны (скорость перемещения
в пространстве постоянного значения фазы волны). Значение фазовой
скорости v не следует путать со скоростью изменения величины ξ. Как
правило, v ≫ ∂ξ/∂t. Очень наглядным примером, поясняющим отличие v и ∂ξ/∂t, является трогание с места состава из большого числа
вагонов. Каждый из вагонов, начиная с первого, трогается с места с
небольшой скоростью (аналог ∂ξ/∂t), а вдоль состава с гораздо большей
скоростью бежит звук трогающихся вагонов (аналог v).
Общее решение уравнения (1.1), как легко убедиться, можно записать в виде

ξ(x, t) = f (t ± x/v) ,
(1.2)

где f — некоторая произвольная функция аргумента t ± x/v. Если источник волны совершает гармонические колебания с частотой ω, то

1.1. Фазовая и групповая скорость волн
9

выражение (1.2) приобретает вид так называемой бегущей монохроматической волны

ξ(x, t) = A cos(ωt ± kx + α).
(1.3)

Здесь k = 2π/λ — волновое число, λ — длина волны. Знак минус перед
kx относится к волне, распространяющейся вдоль оси X, знак плюс —
против оси X. Данное выражение часто представляют в комплексном
виде

ξ(x, t) = Re{A exp[i(ωt ± kx + α)]},

где знак Re означает вещественную часть комплексной экспоненты
и его обычно опускают. При подстановке выражения (1.3) в уравнение (1.1) между параметрами ω, k и v обнаруживается связь

ω = kv.
(1.4)

Выражение (1.4) называется дисперсионным соотношением или законом дисперсии и его можно воспринимать как определение фазовой
скорости волны

v = ω

k .

Если величины ω и k пропорциональны друг другу, то фазовая скорость
от них не зависит и определяется только свойствами среды. Волны,
удовлетворяющие простому дисперсионному соотношению ω/k = const,
называются недиспергирующими волнами и подчиняются волновому
уравнению (1.1). В общем случае закон дисперсии (1.4) может быть
более сложным, т. е. частота ω является нелинейной функцией волнового числа ω = ω(k), а это приводит к тому, что фазовая скорость
начинает зависеть от частоты. Нелинейная зависимость частоты волны
от волнового числа (дисперсия) имеет большое значение при распространении негармонических волн. Связано это с тем, что гармоническое
колебание определенной частоты и амплитуды не может нести никакой
информации о передаваемом сигнале, так как каждый последующий
цикл колебаний является точной копией предыдущего. Чтобы передать
определенную информацию с такой волной, ее нужно промодулировать, т. е. изменить какой-либо параметр волны в соответствии с изменением смыслового сигнала. В бегущей волне такими изменяющимися
параметрами могут быть амплитуда, частота и фаза. Соответственно
различают амплитудную, частотную и фазовую модуляцию. Во всех
этих случаях волны распространяются в виде так называемых волновых
пакетов, образованных из гармоник с близкими частотами, каждая из
которых распространяется со своей фазовой скоростью. В связи с этим

Гл. 1. Колебательные процессы в распределенных системах

возникает естественный вопрос, а с какой же скоростью распространяется волновой пакет? Для того чтобы это понять, рассмотрим простейший случай распространения в одном направлении двух бегущих
монохроматических волн с близкими значениями частоты ω, волнового
числа k и одинаковой амплитуды a

ξ1(x, t) = a cos[ωt − kx],
ξ2(x, t) = a cos[(ω + δω)t − (k + δk)x],

причем δω ≪ ω, δk ≪ k. В соответствии с принципом суперпозиции
результирующее колебание ξ(x, t) запишем в виде

ξ(x, t) = ξ1 + ξ2 = 2a cos
δω

2 t − δk

2 x
cos(ωt − kx).

При достаточно малых δω и δk последнее выражение можно интерпретировать как бегущую волну cos(ωt − kx) с переменной амплитудой

A =
2a cos
δω

2 t − δk

2 x
.

Если для монохроматической волны амплитуда постоянна, то теперь
она изменяется как во времени, так и в пространстве, т. е. максимум амплитуды перемещается в пространстве с некоторой скоростью. Разумно
принять за скорость движения волнового пакета скорость перемещения максимальной амплитуды, т. е. скорость перемещения постоянного
значения фазы амплитуды. Это и есть так называемая групповая скорость u. Для ее определения зафиксируем постоянное значение фазы
амплитуды (δω/2)t − (δk/2)x = const и найдем его дифференциал

d
δω

2 t − δk

2 x
= 0.

Отсюда получаем
dx
dt = u = δω

δk ,

или в пределе (δω → 0, δk → 0)

u = dω(k)

dk .
(1.5)

Определенное таким образом понятие групповой скорости для двух
бегущих монохроматических волн с близкими значениями частоты и
волнового числа можно обобщить на случай распространения волнового пакета, образованного наложением гармонических волн с мало
отличающимися частотами в интервале ∆ω ≪ ω0, ω0 — частота гармо

1.1. Фазовая и групповая скорость волн
11

нической составляющей с максимальной амплитудой (доминирующая
частота). Аналитическое выражение для такой группы волн имеет вид

ξ(x, t) =

ω0+∆ω/2
ω0−∆ω/2
Aω cos(ωt − kωx + αω) dω,

или в комплексном виде

ξ(x, t) =

ω0+∆ω/2
ω0−∆ω/2

Aω exp[i(ωt − kωx)] dω.
(1.6)

Здесь индекс ω при A, k и α указывает на то, что эти величины для
разных частот различны, Aω = Aω exp(iαω) — комплексная амплитуда.
Разложим функцию kω = k(ω) в ряд в окрестности ω0

kω = k0 + dk

dω

0(ω − ω0) + . . . ,
(1.7)

где k0 = k(ω0). Перейдем к переменной η = ω − ω0. Тогда (1.6) запишется в виде

ξ(x, t) = exp[i(ω0t − k0x)]

∆ω/2
−∆ω/2

Aω exp
i
t − dk

dω

0x
η
dη.

Это выражение описывает плоскую волну с частотой ω0, волновым
числом k0 и комплексной амплитудой

A(x, t) =

∆ω/2
−∆ω/2

Aω exp
i
t − dk

dω

0x
η
dη.

Отсюда следует, что уравнение

t − dk

dω

0x = const
(1.8)

связывает время t и координату x той плоскости, в которой комплексная
амплитуда имеет фиксированное значение, в частности и такое значение, при котором модуль комплексной амплитуды, т. е. обычная амплитуда A(x, t) достигает максимума. Тогда условие (1.8) можно записать
как

xmax = dω

dk

0t − const,

Гл. 1. Колебательные процессы в распределенных системах

т. е. место, в котором амплитуда группы волн максимальна (xmax), перемещается со скоростью (dω/dk)0.
Таким образом, мы приходим к следующему выражению для групповой скорости

u = dω

dk

0.

Если индекс «0» опустить за ненадобностью, то это выражение совпадает с (1.5).
Напомним, что в разложении (1.7) мы пренебрегли членами высоких
порядков малости по ω − ω0. В этом приближении форма волнового
пакета со временем не изменяется. Если же учесть следующие члены
разложения, то для амплитуды получается выражение, из которого следует, что ширина пакета со временем растет или, как говорят, волновой
пакет расплывается.
Так как максимум интенсивности приходится на центр волнового
пакета, то значение групповой скорости определяет не только скорость
распространения информации, но и скорость распространения энергии в немонохроматической волне с произвольным законом дисперсии.
Нетрудно показать, что групповая скорость u связана с фазовой скоростью v соотношением Рэлея

u = v − λ dv

dλ,
либо
u = v + k dv

dk.

Значения u и v совпадают только в том случае, если фазовая скорость
не зависит от длины волны (или волнового числа). Это имеет место,
например, при распространении света в вакууме. Для электромагнитных волн в вакууме (пустом пространстве) всегда выполняется соотношение ω = ck, где c = 3 · 108 м/с — скорость света в вакууме. Тогда
v = u = c независимо от длины волны. Заметим, что подобное соотношение выполняется только для электромагнитных волн в вакууме, для
волноводов это уже не выполняется.
Для большинства сред фазовая скорость зависит от длины волны v(λ). Если dv/dλ > 0, то u < v, т. е. групповая скорость меньше
фазовой, это соответствует нормальной дисперсии. Если dv/dλ < 0, то
u > v и групповая скорость больше фазовой. Это соответствует аномальной дисперсии. Понятие групповой скорости применимо только
при условии, что поглощение энергии волны в данной среде невелико. При значительном затухании волн понятие групповой скорости не
применимо. Именно этот случай имеет место в области аномальной дисперсии. Для сред с аномальной дисперсией зависимость ω(k) настолько
нелинейна, что само понятие групповой скорости теряет смысл.