Основы теории вероятностей и математической статистики

К.В. Балдин, В.Н. Башлыков, А.В. Рукосуев

ОСНОВЫ ТЕОРИИ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
СТАТИСТИКИ

Москва
Издательство «Флинта»
НОУ ВПО «МПСИ»
2010

Под общей редакцией доктора экономических наук,
профессора К.В. Балдина

Учебник

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ ОБРАЗОВАНИЯ
НОУ ВПО «МОСКОВСКИЙ ПСИХОЛОГО-СОЦИАЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ»

Рекомендовано Редакционно-издательским Советом
Российской академии образования к использованию
в качестве учебника

© Балдин К.В., Башлыков В.Н., 
Рукосуев А.В., 2010
© Издательство «Флинта», 2010
ISBN 978-5-9765-0314-4 (Флинта)
ISBN 978-5-9770-0375-9 (НОУ ВПО «МПСИ»)

УДК 519.2(075.8)
ББК 22.17я73
 
Б20

Б20
Балдин К.В. 
Основы теории вероятностей и математической ста ти сти ки : учеб ник / К.В. Бал дин, В.Н. Башлыков, А.В. Ру ко суев. — М. : Флин та : НОУ ВПО «МПСИ», 2010. — 488 с.
ISBN 978-5-9765-0314-4 (Флинта)
ISBN 978-5-9770-0375-9 (НОУ ВПО «МПСИ»)

Учебник написан на базе лекционных курсов, прочитанных авторами 
в ряде вузов столицы. Рассмотрены все ас пек ты дис цип ли ны «Основы 
теории вероятностей и математической ста ти с ти ки» Го су дар ствен но го 
об ра зо ва тель но го стандарта высшего про фес си о наль но го образования 
и учебных программ по специальностям «Фи нан сы и кредит», «Бухгалтерский учет, анализ и аудит», «Менеджмент организации» и др. Учебник 
содержит два раздела «Основы теории вероятностей» и «Основы математической статистики». Включены вопросы для самоконтроля, примеры 
ис поль зо ва ния классических ме то дов и заданий для самостоятельной 
работы обу ча е мых.
Для студентов, аспирантов и молодых преподавателей, а также для 
на уч ных сотрудников, предпринимателей и менеджеров.

Г л а в н ы й  р е д а к т о р   д-р псих. н., проф., акад. РАО Д.И. Фельдштейн
З а м.  г л а в н о г о  р е д а к т о р а   д-р псих. н., проф., акад. РАО С.К. Бондырева
Ч л е н ы  р е д а к ц и о н н о й  к о л л е г и и:
д-р псих. н., проф., акад. РАО Ш.А. Амонашвили; д-р пед. н., член-корр. РАО
В.А. Болотов; д-р псих. н., проф., акад. РАО А.А. Деркач; д-р псих. н., проф.,
акад. РАО А.И. Донцов; д-р псих. н., проф., акад. РАО И.В. Дубровина;
д-р псих. н., проф.  В.П. Зинченко; д-р филол. н., проф., акад. РАО
В.Г. Костомаров; д-р пед. н., проф., акад. РАО Н.Н. Малофеев;
д-р физ.-мат. н., проф., акад. РАО В.Л. Матросов; д-р пед. н., проф.,
акад. РАО Н.Д. Никандров; д-р псих. н., проф., акад. РАО В.В. Рубцов;
д-р пед. н., проф., акад. РАО М.В. Рыжаков; д-р ист. н., проф. Э.В. Сайко

УДК 519.2(075.8)
ББК 22.17я73

Оглавление

Введение ...................................................................................................8

Раздел I. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ...............................15

Глава 1. Случайные события ..................................................................16
1.1. Предмет теории вероятностей ....................................................16
1.2. Основные понятия и определения .............................................21
1.3. Частота и вероятность. Способы нахождения
вероятностей случайных событий ...............................................27
1.3.1. Аксиоматическое построение теории вероятностей ........29
1.3.2. Классический способ определения вероятности ..............30
1.4. Понятие условной вероятности. Стохастическая
зависимость случайных событий ................................................32
1.5. Правила действий с вероятностями ...........................................33
1.6. Повторение независимых испытаний. Схема Бернулли ...........39
1.7. Формула полной вероятности .....................................................42
1.8. Формула Байеса  ..........................................................................44
Вопросы для самопроверки  .....................................................................47
Задачи для самостоятельного решения  .......................................................47

Глава 2. Случайные величины ...............................................................53
2.1. Случайные величины и их классификация ................................53
2.2. Закон распределения случайной величины
и формы его представления ........................................................54
2.2.1. Понятие распределения случайной величины ..................54
2.2.2. Функция вероятности ........................................................56
2.2.3. Функция распределения ....................................................57
2.2.4. Плотность распределения ..................................................63
2.3. Числовые характеристики скалярных случайных величин .......66
2.3.1. Характеристики положения ...............................................66
2.3.2. Характеристики рассеивания ............................................71
2.3.3. Моменты случайной величины .........................................75
2.4. Основные теоретические распределения
скалярных случайных величин ...................................................78
2.5. Распределение случайного вектора ............................................91
2.6. Частные и условные распределения компонент
случайного вектора ......................................................................97

2.6.1. Частные распределения .....................................................97
2.6.2. Условные распределения. Стохастическая
зависимость случайных величин .....................................101
2.7. Числовые характеристики векторных случайных величин .....106
2.8. Нормальное распределение двумерного случайного вектора ...111
Вопросы для самопроверки  ....................................................................115
Задачи для самостоятельного решения  .....................................................116

Глава 3. Функции случайных аргументов ............................................122
3.1. Общая характеристика задач исследования функций
случайных аргументов ...............................................................122
3.2. Теоремы о числовых характеристиках случайных величин .....123
3.3. Определение числовых характеристик функций
случайных аргументов ...............................................................129
3.4. Распределение однозначного преобразования
случайных величин ....................................................................138
3.5. Распределение неоднозначного преобразования
случайных величин ....................................................................143
3.6. Распределение функции двух случайных величин ..................145
3.7. Композиция распределений .....................................................147
3.7.1. Композиция нормального и равномерного
распределений ..................................................................147
3.7.2. Композиция нормальных распределений .......................150
Вопросы для самопроверки  ....................................................................152
Задачи для самостоятельного решения  .....................................................153

Глава 4. Случайные процессы ..............................................................157
4.1. Понятие случайного процесса. Классификация
случайных процессов .................................................................157
4.2. Вероятностные характеристики случайных функций .............162
4.3. Основные типы случайных процессов .....................................172
4.4. Основное уравнение Маркова для марковских
случайных процессов .................................................................177
4.5. Дискретный марковский случайный процесс
с дискретным временем .............................................................180
4.6. Потоки событий ........................................................................187
4.7. Дискретный марковский случайный процесс
с непрерывным временем ...........................................................191
4.8. Процесс гибели и размножения ...............................................200
4.9. Системы массового обслуживания ...........................................202

4.9.1. Система массового обслуживания с отказами ................204
4.9.2. Система массового обслуживания с ожиданием ..............212
Вопросы для самопроверки  ....................................................................218
Задачи для самостоятельного решения  ................................................220

Раздел II. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ ..........223

Глава 5. Статистические методы оценивания характеристик
продукции ........................................................................................224
5.1. Общая характеристика статистических методов
оценивания характеристик продукции .....................................224
5.2. Общая схема эксперимента ......................................................227
5.3. Сущность выборочного метода .................................................229
5.4. Понятие о законе больших чисел и центральной
предельной теореме ...................................................................235
Вопросы для самопроверки  ....................................................................242
Задачи для самостоятельного решения  .....................................................243

Глава 6. Методы статистической обработки результатов
испытаний ........................................................................................245
6.1. Постановка задачи оценивания вероятностных
характеристик случайных величин ...........................................245
6.2. Основные требования к оценкам .............................................246
6.3. Оценивание законов распределения случайных величин .......250
6.4. Точечное оценивание числовых характеристик
случайных переменных .............................................................257
6.4.1. Оценивание вероятности наступления
случайного события .........................................................257
6.4.2. Оценивание математического ожидания
случайной величины ........................................................259
6.4.3. Оценивание дисперсии и стандартного
отклонения случайной величины ...................................263
6.4.4. Определение числовых характеристик случайных
величин при большом объеме измерений ......................265
6.5. Интервальное оценивание числовых характеристик
случайных переменных .............................................................265
6.5.1. Понятие доверительной вероятности
и доверительного интервала ............................................265

6.5.2. Оценивание вероятности наступления
случайного события .........................................................270
6.5.3. Оценивание математического ожидания ........................274
6.5.4. Оценивание стандартного отклонения ...........................280
Вопросы для самопроверки  ....................................................................285
Задачи для самостоятельного решения  .....................................................286

Глава 7. Статистическая проверка гипотез ..........................................290
7.1. Сущность проверки статистических гипотез ...........................290
7.2. Методы проверки гипотез о законах распределения ...............298
7.2.1. Постановка задачи ...........................................................298
7.2.2. Проверка гипотез о законе распределения .....................301
7.3. Методы проверки гипотез о параметрах законов
распределения ............................................................................310
7.3.1. Проверка гипотез о равенстве математических
ожиданий ..........................................................................310
7.3.2. Проверка гипотез о равенстве дисперсий .......................316
7.4. Проверка гипотез методом последовательного анализа ..........322
7.4.1. Сущность метода последовательного анализа ................322
7.4.2. Проверка гипотезы о вероятности наступления
случайного события .........................................................325
7.4.3. Проверка гипотезы о математическом ожидании ..........327
Вопросы для самопроверки  ....................................................................329
Задачи для самостоятельного решения  .....................................................330

Глава 8. Методы статистического анализа результатов испытаний .....334
8.1. Общая характеристика методов статистического
анализа результатов испытаний ................................................334
8.2. Основы дисперсионного анализа .............................................336
8.2.1. Сущность дисперсионного анализа .................................336
8.2.2. Однофакторный дисперсионный анализ ........................338
8.2.3. Проверка существенности влияния фактора
в однофакторном дисперсионном анализе .....................343
8.2.4. Выявление уровня фактора, влияющего
на результаты испытаний ................................................347
8.2.5. Примеры однофакторного дисперсионного анализа .....350
8.2.6. Особенности проведения двухфакторного
дисперсионного анализа .................................................354
Вопросы для самопроверки  ....................................................................359
Задачи для самостоятельного решения  ................................................360

Глава 9. Основы регрессионного анализа ............................................362
9.1. Сущность регрессионного анализа ...........................................362
9.2. Задача регрессионного анализа ................................................365
9.3. Метод наименьших квадратов ..................................................367
9.4. Предпосылки регрессионного анализа ....................................375
9.5. Статистический анализ уравнения регрессии ..........................377
9.6. Спецификация регрессионной модели ....................................405
9.7. Регрессионные модели с гетероскедастичными остатками ......409
9.8. Метод взвешенных наименьших квадратов (МВНК) ..............419
9.9. Нелинейные регрессионные модели и их линеаризация ........423
9.10. Оценки коэффициентов нелинейных регрессионных
моделей ....................................................................................432
9.10.1. Оценки коэффициентов параболы второго порядка ....432
9.10.2. Определение коэффициентов функций,
отличных от полинома  ................................................433
Вопросы для самопроверки  ....................................................................435
Задачи для самостоятельного решения  .....................................................436

Глава 10. Основы корреляционного анализа  ......................................439
10.1. Сущность корреляционного анализа ......................................439
10.2. Классификация методов корреляционного анализа .............441
10.3. Однофакторный корреляционный анализ .............................441
10.4. Анализ тесноты связи ..............................................................446
10.5. Многофакторный корреляционный анализ ...........................448
10.6. Автокорреляция .......................................................................454
Вопросы для самопроверки  ....................................................................457
Задачи для самостоятельного решения  ................................................457

Литература ............................................................................................460

Приложение .........................................................................................462

Введение

Теория вероятностей – математическая наука, изучающая 
закономерности в случайных явлениях массового характера неза ви си мо от их конкретной природы.
Под случайным понимается явление, которое при нео днократ ном воспроизведении одного и того же опыта (испытания) 
каждый раз может протекать по-разному и точное про гно зи ро вание результатов которого невозможно.
Различные результаты ряда одинаковых опытов всегда свя заны с наличием второстепенных факторов, влияющих на исход 
опыта, но не заданных в числе его основных условий. Основные 
условия опыта определяют протекание явления в общих чертах 
и сохраняются неизменными, а второстепенные от опыта к опыту меняются и вносят случайные различия в результаты.
Со случайными явлениями приходится сталкиваться во многих практических задачах, которые требуют изучения не толь ко 
основных закономерностей, определяющих явление в глав ных 
чертах, но и анализа случайных возмущений, свя зан ных с наличием второстепенных факторов и придающих исходу опыта при 
заданных условиях элемент неопределенности.
Очевидно, должна существовать принципиальная разница 
в методах учета основных факторов, определяющих течение явле ния в главных чертах, и второстепенных факторов, влияющих 
на течение явления в качестве возмущений. Элемент нео пре делен но с ти, присущий случайным явлениям, требует создания 
спе ци аль ных методов для изучения этих явлений.
Такие методы и разрабатываются в теории вероятностей. 
Ее предметом являются специальные закономерности, на блюда е мые в случайных явлениях. Закономерности, свойственные 
слу чай ным явлениям, проявляются тем отчетливее, чем больше 
проведено опытов. Практика показывает, что подобные за ко номер но с ти или своего рода устойчивости присущи массовым случай ным явлениям. Именно эта устойчивость за ко но мер но с тей, 
проявляющаяся в массовых случайных явлениях, служит базой 
для применения вероятностных методов исследования.

Вероятностный метод в науке не противопоставляется класси чес ко му детерминистскому методу точных наук, а является 
его дополнением, позволяющим изучать явление с учетом прису щих ему элементов случайности.
В настоящее время многие науки, кроме классического детер ми ни с т с ко го подхода, широко используют вероятностные 
ме то ды исследования. 
Большое значение для инженеров, экономистов, со ци о логов и других специалистов имеют такие практические при ло жения теории вероятностей, как математическая статистика, те ория надежности сложных систем, теория массового об слу жи вания и др. 
Исторически теория вероятностей, как и любая другая область науки, развивалась из потребностей практики. Начало ее 
становления относится к ХVII веку. Необходимость разработки 
специального математического аппарата, приспособленного для 
анализа случайных явлений, диктовалась потребностью обоб щения и обработки большого объема статистического ма те ри а ла, 
накопленного во многих областях науки. Однако эти за да чи на 
начальном этапе развития теории вероятностей были слиш ком 
сложными, а законы, управляющие случайными яв ле ни я ми, 
проступали недостаточно отчетливо. Необходимо было изучить 
закономерности случайных явлений на более простых задачах. 
Такими задачами оказались задачи из области азартных игр. 
Схемы азартных игр являются простыми моделями слу чай ных 
явлений, позволяющими в простой и доступной фор ме изу чать 
закономерности случайных явлений. В на сто я щее вре мя при меры из области азартных игр часто используют при изу че нии и 
уяснении сущности основных правил и законов теории ве ро ятно с тей.
Основой и началом теории вероятностей явились работы 
Паскаля, Ферма и Гюйгенса, появившиеся в середине ХVII века 
и посвященные области азартных игр. В этих работах были впервые введены такие понятия, как вероятность и ма те ма ти чес кое 
ожидание, установлены основные свойства и приемы вы чис ления этих характеристик.

Дальнейшее развитие теории вероятностей связано со ста новле ни ем, развитием и обобщением так называемого закона боль ших 
чисел. Так, Яков Бернулли во второй половине XVII века впер вые 
показал, что с увеличением числа испытаний ча с то та (ча с тость) 
какого-либо случайного события приобретает ус той чи вость и 
определенным образом приближается к не ко то ро му без раз мер ному числу, которое объективно отражает воз мож ность появления 
случайного события, и называл его ве ро ят но с тью.
Математик Муавр в начале XVIII столетия впервые рас смотрел простейший случай нормального закона, который в на сто ящее время имеет широкое применение при решении прак ти ческих задач.
Большое значение в развитии теории вероятностей имели 
работы таких математиков, как Лаплас, Гаусс и Пуассон, живших в XVIII–XIX веках. В своих трудах они продолжили ис следо ва ние нормального закона, закона больших чисел и раз ра ботку вопросов приложения теории вероятностей к исследованию 
результатов испытаний.
Для всего XVIII и начала ХIХ века характерно бурное раз витие теории вероятностей. В этот период наблюдается ис клю читель но большая заинтересованность в этой науке. В России созда ет ся знаменитая Петербургская математическая школа, труда ми которой теория вероятностей была поставлена на прочную 
логическую и математическую основу и сделана надежным, точным и эффективным методом познания.
В середине XIX века вышел первый в России полный учебник теории вероятностей, созданный профессором В.Я. Бу няков с ким.
Великий русский математик П.Л. Чебышев и его ученики 
А.А. Марков и А.М. Ляпунов последовательно работали над расши ре ни ем и обобщением закона больших чисел. П.Л. Че бы шев 
ввел в теорию вероятностей понятие случайной величины и метод моментов, что привело к созданию  мощного со вре мен но го 
аппарата теории вероятностей.
А.А. Марков в своих трудах заложил основу для новой об ла сти теории вероятностей – теории случайных процессов.

А.М. Ляпунов известен своим доказательством так на зы ва емой центральной предельной теоремы и разработкой метода харак те ри с ти чес ких функций.
В советский период русская школа теории вероятностей продол жа ла оставаться на ведущих позициях. Запросы ряда наук 
и появление новых видов технических систем (ра дио ло ка ция, 
связь и др.) явились мощным толчком для дальнейшего бур но го 
развития теории вероятностей.
Среди многих ученых – виднейших математиков нашей 
стра ны, занимавшихся разработкой вопросов теории ве ро ят нос тей, необходимо отметить С.Н. Бернштейна, А.Я. Хинчина, 
А.Н. Колмогорова, В.И. Романовского, Б.В. Гнеденко, Е.С. Вен тцель, В.С. Пугачева, Н.В. Смирнова, Ю.А. Розанова и др.
С.Н. Бернштейн одним из первых разработал аксиоматику 
теории вероятностей, а также существенно расширил область 
применения предельных теорем.
А.Я. Хинчин известен исследованиями в области обоб щения и усиления закона больших чисел, но главным образом – в 
области стационарных случайных процессов.
Ряд важнейших основополагающих работ в различных об лас тях теории вероятностей и математической статистики при надле жит А.Н. Колмогорову. Он дал первое законченное ак си о ма тичес кое построение теории вероятностей, внес большой вклад в 
развитие теории случайных функций (стохастических процессов). Работы Колмогорова, относящиеся к оценке эф фек тив нос ти стрельбы, легли в основу целого научного на прав ле ния в 
теории стрельбы, переросшего затем в более широкую науку об 
эффективности боевых действий.
В области математической статистики своими работами изве с т ны В.И. Романовский и Н.В. Смирнов, исследованиями в 
области теории массового обслуживания – Б.В. Гнеденко.
Огромный вклад в развитие теории стрельбы и прицельного 
бом бо ме та ния, основанного на применении методов теории ве роят но с тей, внесла Е.С. Вентцель. А наиболее широко она из ве с т на 
как автор одного из лучших и полных учебников по теории ве ро ятно с тей, одного из первых учебников по исследованию опе ра ций.

В.С. Пугачев разработал ряд общих методов в теории слу чайных функций, охватывающих как стационарные, так и не ста ци онар ные процессы.
В настоящее время не только естественные, технические, но 
и гуманитарные науки занимаются накоплением и обработкой 
статистических данных. Сбор, описание и обработка на блю дений и измерений производятся методами математической ста тис ти ки, которая базируется на теории вероятностей.
Современные физика, электротехника и радиотехника имеют дело со случайными процессами, изучение которых не возмож но без основательного освоения такого раздела теории ве роят но с тей, как случайные функции.
Современные сложнейшие приборы управления про цес сами производства, приборы телеуправления и автоматического 
контроля основаны на учете целого ряда случайных процессов 
в виде помех или в виде различного рода сложных функций, учиты ва е мых и перерабатываемых в приборах.
Изучение и освоение подобных приборов, а тем более кон ст руи ро ва ние их невозможны без изучения ряда разделов теории вероятностей.
Установление разумных допусков при изготовлении раз личных деталей в зависимости от их назначения и допускаемых 
пре де лов ошибок на выходе всего агрегата, выработка и при мене ние наиболее действенных, экономически целесообразных и 
надежных методов контроля качества продукции при массовом 
ее производстве устанавливаются на основе рекомендаций, выра бо тан ных с использованием теории вероятностей.
Из всего сказанного достаточно отчетливо видно, что квали фи ци ро ван но му специалисту, имеющему дело с весьма разно об раз ны ми отраслями знаний, не обойтись без необходимых 
знаний в области теории вероятностей и математической ста тис ти ки.
В соответствии с названием учебник состоит из двух вза и мосвя зан ных разделов.
Раздел 1 «Теория вероятностей» состоит из четырех глав. В 
главе 1 «Случайные события» излагаются основные понятия те

о рии вероятностей, способы нахождения вероятностей слу чайных событий, правила действий с вероятностями и основные 
те о ре мы.
В главе 2 «Случайные величины» представлена клас си фи кация случайных величин (СВ), законы распределения СВ и формы их представления, а также их числовые характеристики.
В главе 3 «Функции случайных аргументов» рас смат ри ва ются теоремы и методы определения числовых характеристик функ ций случайных аргументов, а также функциональные пре об разо ва ния систем случайных величин.
Глава 4 «Случайные процессы» посвящена рассмотрению 
слу чай ных функций и процессов, их характеристик, а также случай ных потоков, на изучении которых базируется изучение систем массового обслуживания.
Раздел 2 «Математическая статистика» состоит из шести 
глав. В главе 5 «Статистические методы оценивания ха рак те рис тик продукции» раскрыта сущность выборочного метода оцени ва ния и основных теорем, входящих в закон больших чисел. 
Оценивание законов распределения, точечное и интервальное 
оценивание числовых характеристик случайных величин со ставля ют содержание главы 6 «Методы статистической об ра бот ки 
результатов испытаний». Глава 7 «Статистическая проверка гипотез» раскрывает сущность классического метода, метода после до ва тель но го анализа Вальда и условия их применения. Гла вы 
8, 9 и 10 посвящены методам статистического анализа ре зульта тов испытаний. В них дается общая характеристика ме то дов 
и достаточно подробно рассмотрены основы дис пер си он но го 
(глава 8), регрессионного (глава 9) и корреляционного (глава 10) 
анализов.
Для удобства работы в приложении приведены все не об ходи мые при проведении расчетов таблицы, на которые в со от ветству ю щих главах сделаны ссылки.
Представленный курс теории вероятностей и ма те ма ти ческой статистики охватывает все разделы, изучаемые студентами, 
обучающимися по специальностям  «Финансы и кредит», «Бухгал тер с кий учет, анализ и аудит», «Менеджмент организации» и 

др. При написании учебника авторы придерживались со вре менных точек зрения на понятия, о которых идет речь, и не от ступа ли от общепринятых взглядов. Авторы стремились из ло жить 
материал в доступной для студентов форме, чему спо соб ству ет 
большое количество примеров, иллюстрирующих со от вет ству ющие теоретические положения. Однако авторы не претендуют 
на исчерпывающую полноту охвата учебного ма те ри а ла.
Вклад авторов в данный учебник распределился следующим 
образом:
В.Н. Башлыков – главы 2, 5, 6, 7, приложения;
К.В. Балдин – введение, главы 8, 9, 10;
А.В. Рукосуев – главы 1, 3, 4.

Р а з д е л  I

ОСНОВЫ
ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ