Аппроксимация и корректность краевых задач для дифференциальных уравнений

Министерство образования и науки Российской Федерации
Сибирский федеральный университет

Ю. Я. Белов, Р. В. Сорокин, И. В. Фроленков

АППРОКСИМАЦИЯ
И КОРРЕКТНОСТЬ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ

Допущено УМО по классическому университетскому образованию в
качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по направлениям подготовки 010100 «Математика» и
010200 «Математика и компьютерные науки», 28.12.2010 г.

Красноярск
СФУ
2012

УДК 517(07)
ББК 22.161я73
Б435

Рецензент — В. М. Садовский, д-р физ.-мат. наук, проф. зам.
директора Института вычислительного моделирования СО РАН

Белов, Ю.Я.
Б435
Аппроксимация и корректность краевых задач для дифференциальных уравнений : учеб. пособие / Ю. Я. Белов, Р. В. Сорокин,
И. В. Фроленков. – Красноярск : Сиб. федер. ун-т, 2012. – 172 с.
ISBN 978-5-7638-2499-5

Учебное пособие посвящено изучению вопросов корректности и аппроксимации некоторых классов краевых задач для дифференциальных уравнений. Рассматриваются постановки прямых и обратных задач для уравнений в частных
производных. Исследуются дифференциальные свойства решений и их поведение при больших значениях времени.

Предназначено для студентов направлений подготовки 010100 «Математи
ка», 010200 «Математика и компьютерные науки», 010400 «Прикладная мате
матика и информатика».

УДК 517(07)
ББК 22.161я73

ISBN 978-5-7638-2499-5
c⃝ Сибирский федеральный университет, 2012

Оглавление

Предисловие
5

Глава 1. Вспомогательные утверждения
7
1.1. Неравенства. Функциональные пространства . . . . . . . . . .
7
1.2. Линейное уравнение в частных производных первого порядка .
10
1.3. Принцип максимума и априорные оценки первых производных для параболического уравнения второго порядка . . . . .
11

Глава 2. Метод слабой аппроксимации
16
2.1. Понятие метода слабой аппроксимации . . . . . . . . . . . . .
16
2.2. Общая формулировка метода слабой аппроксимации . . . . .
19
2.3. Теорема сходимости метода слабой аппроксимации
. . . . . .
21
2.4. Линейное уравнение в частных производных . . . . . . . . . .
24
2.5. Задача Коши для уравнения Бюргерса . . . . . . . . . . . . . .
30

Глава 3. Метод ε-аппроксимации
40
3.1. Эволюционные системы уравнений первого порядка с малым
параметром при производной по времени . . . . . . . . . . . .
42
3.2. Аппроксимация полуэволюциионных систем уравнений первого порядка эволюционными
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
3.3. Эволюционные системы уравнений второго порядка с малым
параметром при старшей производной . . . . . . . . . . . . . .
53
3.4. Аппроксимация полуэволюционных систем уравнений
второго порядка эволюционными . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
3.5. Аппроксимация параболических уравнений гиперболическими
59
3.6. Некоторые примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
3.7. Линейная стационарная задача динамики океана . . . . . . . .
67

Глава 4. Разрешимость обратных задач в классах гладких
функций. Задача Коши
80
4.1. Обратные задачи математической физики . . . . . . . . . . . .
80
4.2. Задача идентификации функции источника многомерного параболического уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
4.3. Задача идентификации коэффициента при младшем члене многомерного параболического уравнения . . . . . . . . . . . . . .
97

3

4.4. Задача идентификации коэффициентов при производной по
времени и нелинейном выражении двумерного
параболического уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

Глава 5. Краевые задачи идентификации входных данных
117
5.1. Разрешимость первой и второй краевых задач идентификации
коэффициента при младшем члене многомерного
параболического уравнения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.2. Задача идентификации функции источника. Интегральное переопределение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.3. Задача идентификации функции источника.
Финальное переопределение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.4. Задача идентификации функции источника в случае неизвестного коэффициента, зависящего от времени . . . . . . . . . . . 134

Глава 6. Стабилизация и устойчивость решения
137
6.1. Поведение при t → +∞ решения задачи идентификации функции источника в уравнениии теплопроводности . . . . . . . . . 137
6.2. Оценка устойчивости решения задачи идентификации
функции источника по входным данным . . . . . . . . . . . . . 151

Заключение
163

Библиографический список
164

4

Предисловие

Многочисленные приложения дифференциальных уравнений в различных
областях науки и техники требуют эффективных методов их решения. Большой интерес представляют вопросы корректности начально-краевых задач
для дифференциальных уравнений и способы их аппроксимации корректными, как правило, хорошо изученными задачами.
В пособии рассмотрены некоторые современные методы исследования
прямых и обратных задач для уравнений в частных производных. Значительное внимание уделено методу расщепления уравнений на дифференциальном
уровне, который сформировался в основном в работах выдающихся российских математиков Н.Н. Яненко, А.А Самарского, их учеников и последователей. Один из подходов к расщеплению Н.Н. Яненко назвал методом слабой аппроксимации (МСА), широко применяемому к исследованию задач,
рассматриваемым в данном учебном пособии. Изучены ε-аппроксимации
различных задач, зависящие от малых параметров. Даны различные примеры использования указанных методов.
Пособие состоит из шести глав.
В первой главе приведены сведения из области функционального анализа
и дифференциальных уравнений.
Во второй главе дана общая формулировка метода слабой аппроксимации. Для достаточно общих систем уравнений в частных производных в случае данных Коши сформулированы теоремы сходимости решений расщепленых задач к решению исходной системы при стремлении параметра расщепления к нулю. В качестве примеров предложены линейное параболическое уравнение в частных производных и квазилинейное уравнение типа
Бюргерса.
В третьей главе рассмотрены аппроксимации, зависящие от малого параметра (ε-аппроксимации). Многие задачи механики сплошной среды описываются системами уравнений в частных производных смешанного и составного типа, при изучении которых важную роль играют их аппроксимации,
зависящие некоторым образом от малых параметров. Класс задач, для решения которых тем или иным образом применяются аппроксимации, содержащие малые параметры, велик. Отметим два из основных, на наш взгляд, и
взаимосвязанных вопроса: аппроксимацию в целях доказательства корректности краевых задач и аппроксимацию исходных задач для построения более

5

эффективных численных алгоритмов [8, 9, 22, 55, 69]. Указанные вопросы
исследуются для некоторых классов систем уравнений в частных производных и дифференциальных операторных уравнений, имеющих многочисленные приложения (например, в задачах механики сплошной среды).
В четвертой и пятой главах исследованы задачи идентификации входных
данных — корректность, аппроскимация, устойчивость.
В шестой главе рассмотрены вопросы стабилизации решения при
стремлении временной переменной к бесконечности задачи идентификации
функции источника в параболических уравненииях и системах смешанного
типа. Исследование проведено методом слабой аппроксимации.

6

Глава 1. Вспомогательные утверждения

1.1.
Неравенства. Функциональные пространства

Пусть Ω — ограниченная область в n-мерном евклидовом пространстве
En. Точка в En обозначается символом x = (x1, . . . , xn). Символ ∂Ω обозначает границу области Ω.
Замыкание Ω обозначим через Ω. Через QT обозначим цилиндр (0, T)×Ω.
Пусть α – мультииндекс, то есть α = (α1, . . . αn), где αi – целые неотрицательные числа, и |α| = n
i=1 αi. Обозначим Dαi
xi =
∂αi
∂xiαi , Dα
x = Dα1
x1 . . . Dαn
xn.
Символом Ck(Ω) (Ck(Ω)) будем обозначать совокупность всех k раз
непрерывно дифференцируемых функций, определенных на Ω (Ω).
Если ввести в Ck(Ω) норму

∥f∥ =
0≤|α|≤k
max
x∈Ω |Dαf(x)|,

то пространство Ck(Ω) становится банаховым пространством. При k = 0
вместо Co(Ω) будем писать C(Ω).
Lp(Ω), где 1 ⩽ p < ∞, — банахово пространство, состоящее из классов интегрируемых по Лебегу в p-й степени функций, определенных на Ω (в
один класс включаются функции, равные почти всюду в Ω). Норма в этом
пространстве определяется по формуле

∥f∥ = (
Ω

|f(x)|p dx)1/p.

Hk(Ω) (k – целые числа) — гильбертово пространство, состоит из всех
элементов L2(Ω), имеющих все обобщенные производные до порядка k
включительно, интегрируемые с квадратом [48, 67]. Через (·, ·)H (∥ · ∥H) обозначим скалярное произведение (норму) в гильбертовом пространстве H.

7

Неравенства
В дальнейшем часто используются известные неравенства Юнга, Гёльдера, Шварца, Гронуолла [5, 46, 43, 48].
Н е р а в е н с т в о
Ю н г а:
для любых чисел a ⩾ 0, b ⩾ 0

ab ⩽ 1

pεpap + 1

qε−qbq
(1.1.1)

при любых ε, p, q, удовлетворяющих условиям

ε > 0,
p > 1,
q > 1,
1
p + 1

q = 1.

Н е р а в е н с т в о
К о ш и
c
ε
(неравенство Юнга при p = q = 2):
для любых чисел a ⩾ 0, b ⩾ 0, ε > 0

ab ⩽ 1

2(εa2 + 1

εb2),
ε > 0.
(1.1.2)

Н е р а в е н с т в о
Г ё л ь д е р а:

∥uv∥L1(Ω) ⩽ ∥u∥Lp(Ω)∥v∥Lq(Ω),
p > 1, q > 1,
1
p + 1

q = 1.
(1.1.3)

Н е р а в е н с т в о
Ш в а р ц а:
для любых элементов u, v гильбертова пространства H

|(u, v)H| ⩽ ∥u∥H∥v∥H.
(1.1.4)

В (1.1.4) (u, v)H — скалярное произведение и ∥u∥H — норма в H.
Лемма 1.1.1 (Неравенство Гронуолла). Пусть неотрицательная,
измеримая и ограниченная на отрезке [0, t∗] функция χ(t) удовлетворяет неравенству

χ(t) ⩽ C +

t
0
[A + Bχ(Θ)]dΘ,

где постоянные A, B, C ⩾ 0. Тогда если B > 0, то при 0 ⩽ t ⩽ t∗ имеет
место оценка

χ(t) ⩽ CeBt + A

B(eBt − 1).
(1.1.5)

Если B = 0, то
χ(t) ⩽ C + At.
(1.1.6)

8

Некоторые понятия функционального анализа
Ниже сформулируем некоторые понятия и теоремы функционального анализа, которые понадобятся в дальнейшем. Предполагается, что читатель знаком с понятиями нормированного, банахова, гильбертова пространств, с
определением линейного оператора, функционала, их норм [46, 67].
Рассмотрим ограниченную в En область Ω с кусочно-гладкой границей ∂Ω
и C(Ω) – пространство непрерывных на Ω функций f(x) с нормой
∥f∥C(Ω) = max
x∈Ω |f(x)|. Пусть M — некоторое бесконечное множество непре
рывных на Ω функций (M ⊂ C(Ω)).
Определение. Множество M нормированного пространства X называется компактным, если из каждой последовательности {xn} ⊂ M можно
выделить фундаментальную подпоследовательность.
Интересен вопрос о компактности множества M в C(Ω). Для этого введем понятия равномерной ограниченности и равностепенной непрерывности
функций и сформулируем теорему Арцела о компактности [67].
Определение. Говорят, что функции множества M равномерно ограничены в C(Ω), если существует постоянная K, такая что ∥f∥C(Ω) ⩽ K для всех
f ∈ M.
Определение. Говорят, что функции множества M равностепенно
непрерывны в Ω,
если для любого
ε > 0
существует
δ = δ(ε) > 0
такое, что для любых x′, x′′ ∈ Ω, удовлетворяющих неравенству |x′ − x′′| < δ,
имеет место неравенство
|f(x′) − f(x′′)| < ε,
выполняющееся сразу для
всех f ∈ M.

Tеорема 1.1.1 (Арцел). Для того чтобы множество M ⊂ C(Ω) было
компактно в C(Ω), необходимо и достаточно, чтобы функции из M
были равномерно ограничены в C(Ω) и равностепенно непрерывны в
Ω.

Пусть X – нормированное пространство, X′ – сопряженное пространство,
то есть пространство линейных ограниченных функционалов, определенных
на X.
Значение функционала F ∈ X′ на элементе x ∈ X будем обозначать F(x)
или < F, x >. Если в X′ ввести норму

∥F∥X′ =
sup
x∈X,x̸=0

| < F, x > |

∥x∥
,

9

то пространство X′ превращается в банахово. Сопряженное к пространству
Lp(Ω) при p > 1 можно отождествить с пространством Lq(Ω), где 1

p + 1

q = 1.
Это значит, что если F ∈ (Lp(Ω))′, то существует такой элемент y ∈ Lq(Ω),
что для любого x ∈ Lp(Ω) выполняется равенство

< F, x >=
Ω

x(t)y(t)dt

и ∥F∥X′ = ∥y∥Lq(Ω). Имея в виду это соответствие, говорят, что (Lp(Ω))′ =
Lq(Ω). Аналогично можно показать, что (L1(Ω))′ = L∞(Ω).
Пусть X′′ = (X′)′, то есть пространство всех линейных непрерывных
функционалов, определенных на X′. Определим следующим образом отображение пространства X в X′′: для x ∈ X поставим в соответствие такой
элемент x′′ ∈ X′′, что для любого x′ ∈ X′ выполняется равенство
< x′′, x′ >=< x′, x >. В том случае, когда область значений этого отображения совпадает со всем пространством X′′, пространство X называется
рефлексивным.
Пространство Lp(Ω) при p > 1 рефлексивно. Пространства L1(Ω), L∞(Ω),
Ck(Ω) не являются рефлексивными.
Определение. Последовательность {xn} элементов из X называется
слабо сходящейся, если существует такой элемент x ∈ X, что для каждого
фунционала F ∈ X′ выполняется равенство < F, x >= lim
n→∞ < F, xn >. При
этом говорят, что x является слабым пределом последовательности xn,
и обозначают это следующим образом: xn
сл.
−→ x.
Если xn сходится слабо к x, то справедливо неравенство ∥x∥ ⩽ lim

n→∞∥xn∥.

1.2.
Линейное уравнение в частных производных первого порядка

Рассмотрим линейное уравнение в частных производных первого порядка:

zt +

n
i=1
fi(t, x, λ)zxi + f0(t, x, λ)z = f(t, x, λ),
(1.2.1)

где x = (x1, . . . , xn), а λ = (λ1, . . . , λm) — параметр.
Условие 1.2.1. Пусть в области Π[t0,t1] = {(t, x)|t0 ⩽ t ⩽ t1, x ∈ En}
функции fi, i ⩾ 1, ограничены при каждом фиксированном λ. Функции fi и
f непрерывны, а частные производные fixj, fiλr, i = 0, 1, . . . , n и fxj, fλr существуют, непрерывны и k − 1 раз непрерывно дифференцируемы по всем

10

своим n+m+1 аргументам (k ⩾ 1). Функция ω(x, λ) непрерывно дифференцируема k раз по всем n + m аргументам в области −∞ < x1, . . . , xn < +∞,
−∞ < λ1, . . . , λm < +∞.
Tеорема 1.2.1 ([34]). При выполнении условия 1.2.1 для любых τ, λ
из интервалов t0 ⩽ τ ⩽ t1, −∞ < λ1, . . . , λm < +∞ уравнение (1.2.1)
имеет в Π[t0,t1] единственный интеграл z = ψ(t, x; τ, λ) с начальным
значением ψ(τ, x; τ, λ) = ω(x, λ). Этот интеграл k раз непрерывно дифференцируем по всем m + n + 2 аргументам.

Если xi = ϕi(t, τ, η1, . . . ηn, λ) — характеристические функции системы

x′
i(t) = fi(t, x, λ),
i = 1, . . . , n,
(1.2.2)

(то есть интегральные кривые системы (1.2.2), которые проходят через точку
(τ, η1, . . . , ηn)), то параметрическое представление интеграла имеет
следующий вид:

xi = ϕi(t, τ, η1, . . . ηn, λ),
i = 1, . . . , n,

z = exp{−F0}{ω(η1, . . . ηn, λ) +

t
τ
f(t, ϕ1, . . . , ϕn, λ) exp{F0}dt},
(1.2.3)

где F0 = F0(t, τ, η1, . . . ηn, λ) =
tτ
f0(t, ϕ1, . . . , ϕn, λ)dt.

1.3.
Принцип максимума и априорные оценки первых производных
для параболического уравнения второго порядка

Принцип максимума

Пусть T > 0 – const,
ST = [0, T]×∂Ω,
ΓT = ST ∪Ω,
QT = (0, T)×Ω
и Ω — ограниченная область пространства En с кусочно-гладкой границей
∂Ω.
Рассмотрим в QT линейное уравнение

L(u) = f,
(1.3.1)

где дифференциальный оператор L имеет вид

L(u) =

n
i,j=1
aij
∂2u

∂xi∂xj
+

n
i=1
bi
∂u
∂xi
+ cu − ∂u

∂t

11