Механика

В.Л. НИКОЛАЕНКО

МЕХАНИКА

2011

 
Минск 
Москва
 
«Новое знание» 
«ИНФРАМ»

Допущено 
Министерством образования Республики Беларусь 
в качестве учебного пособия 
для студентов высших учебных заведений 
по техническим специальностям

УДК 531(075.8)
ББК 22.2я73
 
Н63

Николаенко, В.Л.
Механика : учеб. пособие / В.Л. Николаенко. — Минск : 
Новое знание ; М. : ИНФРА-М, 2011. — 636 с. : ил. — (Высшее 
образование).

ISBN 9789854754482 (Новое знание)
ISBN 978516004865-9 (ИНФРАМ)

Пособие содержит большое количество типовых задач по курсу 
механики, объединенных тематически в разделы и главы. Каждая 
глава включает краткое изложение теоретического материала по рассматриваемой теме, многочисленные примеры задач с решениями, 
а также задачи для самостоятельного решения (каждая в 10 вариантах). Большинство задач, вошедших в пособие, составлено самим 
автором.
Для студентов дневных и заочных отделений высших учебных 
заведений, изучающих механику, преподавателей, а также для тех, 
кто изучает механику самостоятельно.

УДК 531(075.8)
ББК 22.2я73

Н63

 
© Николаенко В.Л., 2011
 
© ООО «Новое знание», 2011
ISBN 978-985-475-448-2 (Новое знание)
ISBN 978516004865-9 (ИНФРАМ)

Рецензенты:
кафедра «Сопротивление материалов и детали машин» Белорусского 
государственного аграрного технического университета (зав. кафедрой — 
доктор технических наук, доцент А.Н. Орда); 
доктор технических наук, профессор В.М. Сурин (Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники)

Оглавление

Предисловие ............................................................................. 6

Раздел I. Статическое взаимодействие элементов конструкций

1. Плоская система сходящихся сил (ПССС) .............................. 8
1.1. Основные положения статики ......................................... 8
1.2. Определение усилий в стержнях фермы способом
вырезания узлов .......................................................... 14
Вопросы и задания для самопроверки .................................. 15
Примеры ........................................................................... 18
Задачи к заданиям ............................................................. 52

2. Теория пар сил .................................................................. 57
Вопросы и задания для самопроверки .................................. 58
Примеры ........................................................................... 59
Задачи к заданиям ............................................................. 84

3. Плоская система произвольно расположенных сил (ПСПРС) ... 87
3.1. Момент силы относительно точки ................................. 87
3.2. Равновесие твердых тел под действием ПСПРС .............. 88
3.3. Статически определимые и статически
неопределимые задачи .................................................. 91
3.4. Определение усилий в стержнях по способу Риттера ....... 92
Вопросы и задания для самопроверки .................................. 94
Примеры ........................................................................... 95
Задачи к заданиям ........................................................... 166

4. Пространственная система сил (ПрСС) ............................... 172
4.1. Момент силы относительно оси ................................... 172
4.2. Приведение силы к центру ......................................... 173
4.3. Равновесие твердых тел под действием
пространственной системы сил .................................... 174
Вопросы и задания для самопроверки ................................ 175
Примеры ......................................................................... 175
Задачи к заданиям ........................................................... 225

Раздел II. Основы построения и исследования механизмов

5. Структура механизмов ...................................................... 234
5.1. Основные понятия ...................................................... 234
5.2. Структурный синтез и анализ механизмов ................... 241
5.3. Конструктивнофункциональная классификация
механизмов ............................................................... 245

6. Основы кинематического анализа механизмов ................... 249
6.1. Задачи и методы кинематического анализа
механизмов ............................................................... 249
6.2. Кинематический анализ рычажных механизмов
аналитическим методом .............................................. 250
6.3. Передаточное отношение ............................................ 252
Вопросы и задания для самопроверки ................................ 253
Примеры ......................................................................... 253
Задача к заданиям ............................................................ 270

7. Основы динамики механизмов ........................................... 275
7.1. Силы, действующие в механизмах ............................... 275
7.2. Силовой расчет механизмов ........................................ 277
7.3. Кинетостатический силовой расчет плоских
механизмов ............................................................... 280
7.4. Теорема Жуковского .................................................. 284
7.5. Динамическое исследование механизма с помощью
уравнения в форме интеграла энергии ......................... 285
7.6. Динамическое исследование механизма с помощью
дифференциального уравнения движения ..................... 292
7.7. Определение закона движения начального звена ........... 296
7.8. Уравновешивание вращающихся звеньев ..................... 298
Вопросы и задания для самопроверки ................................ 300
Примеры ......................................................................... 301
Задачи к заданиям ........................................................... 364

8. Основы расчета и проектирования механизмов .................. 375
8.1. Общие сведения о передачах ....................................... 375
8.2. Основные виды зубчатых передач ................................ 375
8.3. Кинематика зубчатых механизмов с неподвижными
осями вращения ......................................................... 378
8.4. Кинематика зубчатых механизмов с подвижными
осями вращения ......................................................... 383
Вопросы и задания для самопроверки ................................ 387
Примеры ......................................................................... 387
Задача к заданиям ............................................................ 401

Раздел III. Основы расчетов элементов конструкций

9. Основные понятия прочностной надежности типовых
элементов конструкций ..................................................... 410
9.1. Общие понятия .......................................................... 410
9.2. Напряжения .............................................................. 412
9.3. Перемещения и деформации ....................................... 413
9.4. Общие принципы расчета ........................................... 414

4
Оглавление

10. Однородное растяжение бруса как пример реализации
одноосного напряженного состояния материала ................. 415
10.1. Продольные силы и напряжения в поперечных
сечениях стержней. Упругие деформации ................... 415
10.2. Расчет на прочность ................................................. 417
10.3. Статически неопределимые системы .......................... 418
10.4. Расчет проводов на прочность .................................... 420
Вопросы и задания для самопроверки ................................ 423
Примеры ......................................................................... 424
Задачи к заданиям ........................................................... 463

11. Напряженнодеформированное состояние при прямом
поперечном изгибе ............................................................ 469
11.1. Общие сведения ....................................................... 469
11.2. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов ........ 472
11.3. Расчет балок на прочность и жесткость ...................... 475
Вопросы и задания для самопроверки ................................ 479
Примеры ......................................................................... 479
Задачи к заданиям ........................................................... 525

12. Изгиб с кручением ............................................................ 530
12.1. Определение эквивалентных напряжений
при сложнонапряженном состоянии ........................... 530
12.2. Совместное действие изгиба и кручения ..................... 531
Вопросы и задания для самопроверки ................................ 532
Примеры ......................................................................... 532
Задачи к заданиям ........................................................... 577

13. Устойчивость сжатых элементов конструкций .................... 584
Вопросы и задания для самопроверки ................................ 588
Примеры ......................................................................... 588
Задачи к заданиям ........................................................... 606

Приложение .......................................................................... 612

Литература ............................................................................ 634

Оглавление
5

Предисловие

Это пособие предназначено для студентов, изучающих курс механики по соответствующей программе.
Кроме задач для самостоятельного решения и типовых примеров, знакомящих студентов с методикой решения задач, в каждой
главе пособия помещено краткое изложение теории и приведены
вопросы и задания для самопроверки.
На основании личного многолетнего опыта ведения занятий автор
настоятельно рекомендует всем, кто начинает изучать механику,
следующий порядок работы:
1) изучить теорию соответствующего раздела по другим учебным пособиям;
2) прочитать краткое изложение теории, приведенное в прорабатываемой главе сборника, выполнить задания и ответить на вопросы для самопроверки;
3) самостоятельно проделать все подсчеты по примерам, решенным в данной главе, придерживаясь текста пособия;
4) приступить к систематическому решению задач по указанию
преподавателя или по личному выбору.
Издание также могут использовать лица, изучающие механику
самостоятельно или обучающиеся на заочных отделениях в институтах, университетах, академиях. Наличие в сборнике значительного числа задач облегчает выбор материала для семестровых, контрольных, домашних и экзаменационных заданий, в чем особенно
нуждаются начинающие преподаватели.
Большинство задач, вошедших в книгу, составлено самим автором. Многие задачи рекомендованы ему коллегами, некоторые
публиковались ранее. Тематика и схемы части типовых задач заимствованы из учебной литературы, список которой приведен в конце
книги.
Автор стремился к тому, чтобы тексты условий задач были лаконичны, а большинство необходимых данных было указано на
чертежах. Кроме того, наименования заданных и искомых величин во многих случаях заменены соответствующими буквенными
обозначениями.
Автор выражает благодарность доктору технических наук, профессору А.Т. Скойбеде, оказавшему помощь в подборе и проверке
задач, принявшему деятельное участие в подготовке книги. Автор
будет также благодарен за все замечания об этом пособии.

Раздел
I

СТАТИЧЕСКОЕ
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ

1. Плоская система сходящихся сил (ПССС)

2. Теория пар сил

3. Плоская система произвольно
расположенных сил (ПСПРС)

4. Пространственная система сил (ПрСС)

ПЛОСКАЯ СИСТЕМА
СХОДЯЩИХСЯ СИЛ (ПССС)

Основные положения статики

Решение задач статики возможно лишь после того, как будут
хорошо изучены аксиомы статики.
Аксиомы статики — это основные положения, на которых основана теория равновесия. Они устанавливают основные свойства сил, приложенных к телу.
Особое внимание следует обратить на аксиому о равенстве
сил действия и противодействия. Она рассматривает взаимодействие двух сил. Сила действия приложена к одному телу, а сила
противодействия — к другому, поэтому они не могут уравновешиваться, так как эффект действия сил различен для каждого
тела. На основании аксиомы о равенстве действия и противодействия опоры тел, или, как говорят, их связи, можно заменить
силами. Одной из важнейших задач при этом является умение
правильно определить направление силы реакции опоры. Для
этого нужно внимательно разобраться в устройстве той или иной
опоры и схематически изобразить опорные поверхности.
Гибкая нерастяжимая нить (трос, канат, цепь, ремень). Реакции RA и RB направлены вдоль нити к точке подвеса (рис. 1.1).

Невесомый жесткий стержень. Невесомым называется стержень, массой которого можно пренебречь. Связь осуществляется с помощью жесткого стержня, концы которого закреплены

11

1.1.

Рис. 1.1
Рис. 1.2

шарнирно, например, как стержни АВ и CD на рис. 1.2. Реакции RA и RС направлены вдоль прямой, соединяющей центры
шарниров.
Гладкая поверхность. Поверхности называют гладкими, если
силами трения, возникающими в точках их контакта, можно
пренебречь. Реакция R гладкой поверхности или опоры направлена по общей нормали к поверхностям тел в точке их касания
и приложена в той же точке (рис. 1.3, а).
Если одна из соприкасающихся поверхностей является точкой, имеет заострение или ребро, то реакция RA (RB или RC) направлена по нормали к другой поверхности (рис. 1.3, б).

Шероховатая поверхность (рис. 1.4). Направление реакции R
такой связи заранее неизвестно, поэтому обычно определяют две
ее составляющие: нормальную реакцию Rn и касательную — силу
трения Ff:
R
R
F
n
f
.

Сила трения действует в плоскости, касательной к соприкасающимся поверхностям в точке их контакта, и направлена в сторону,
противоположную той, куда активные силы стремятся сдвинуть

1. Плоская система сходящихся сил (ПССС)
9

Рис. 1.3

Рис. 1.4

тело. Сила трения может принимать любые значения от нуля до
максимального значения, которое достигается в момент выхода
тела из положения равновесия:

0 F
F
f
f max.

Максимальная сила трения скольжения равна произведению
статического коэффициента трения f на нормальную реакцию:

F
fR
f
n
max .
(1.1)

При скольжении одного тела по поверхности другого сила трения направлена в сторону, противоположную направлению движения, и равна произведению динамического коэффициента трения fна нормальную реакцию:

F
f R
f
n
.

Значения коэффициентов трения для различных материалов
приводятся в справочниках.
При практических расчетах рассматривают предельное равновесие тела, когда сила трения равна Ff max. При этом уравнения равновесия дополняют равенством (1.1).
Определив реакции связей из уравнений равновесия тела, получают исходные данные, необходимые, например, для расчета
элементов конструкции на прочность.
Заделки. Глухая заделка, или жесткое защемление (рис. 1.5, а),
исключает любые перемещения тела. Примером такой связи является соединение двух стержней с гарантированным натягом.
При действии на балку плоской системы сил в заделке возникают
пара сил с реактивным моментом MA и произвольно направленная реакция RA с составляющими RAX и RAY.
Скользящая заделка (рис. 1.5, б) допускает осевое перемещение стержня, система реакций состоит из силы RA и пары сил
с моментом MA.
Свободная заделка (рис. 1.5, в) не препятствует перемещениям стержней вдоль своих осей, но исключает возможность их
поворота. Поэтому, если не учитывать массу балки, в такой заделке возникает только реактивный момент MA.
Подвижный шарнир (шарнирноподвижная опора). Нижняя
обойма в опоре А (рис. 1.6, а) установлена на цилиндрические
катки. Поэтому балка АВ имеет возможность поворачиваться

10
Раздел I. Статическое взаимодействие элементов конструкций

1. Плоская система сходящихся сил (ПССС)
11

Рис. 1.5

Рис. 1.6

относительно оси шарнира и перемещаться вдоль опорной плоскости катков. Реакция связи RA направлена перпендикулярно
к опорной плоскости катков. Условные изображения шарнирноподвижной опоры показаны на рис. 1.6, б.
Неподвижный шарнир (шарнирнонеподвижная опора). Такая
опора состоит из двух обойм, между которыми расположен цилиндрический стержень. Одна обойма (рис. 1.7, а) закреплена
на балке АВ, а другая — на неподвижном основании. Кроме
того, шарнирное соединение может выполняться с помощью
пальца О, вставленного в цилиндрические отверстия стержня С
и опоры D (рис. 1.7, б). Балка АВ и стержень С могут только поворачиваться относительно оси шарнира. Другие перемещения
исключены.
Направление реакции связи заранее неизвестно. Реакция
связи действует в плоскости, перпендикулярной к оси шарнира.
Для неподвижного шарнира она может быть представлена двумя составляющими по координатным осям:
R
R
R
A
AX
AY
.

Условные изображения шарнирнонеподвижной опоры показаны на рис. 1.7, в.
Задачи на равновесие можно решать несколькими методами.
Основные из них — геометрический, аналитический, графический и графоаналитический.

12
Раздел I. Статическое взаимодействие элементов конструкций

Рис. 1.7

Решение задач на равновесие геометрическим методом — построением силовых многоугольников — целесообразно лишь
в том случае, если к телу приложено не более трех сил. Более
удобным и универсальным является аналитический метод. Он
основан на составлении и решении уравнений равновесия. Для
равновесия плоской системы сходящихся сил достаточно, чтобы алгебраическая сумма проекций сил на каждую ось координат равнялась нулю:

X 0;
Y 0.

В различных учебниках можно встретить и другие формы записи этих же уравнений. Например:

FiX
i

n

1
0
и
FiY
i

n
0

1
.

В Международной системе единиц сила измеряется в ньютонах (Н). В ряде учебников и другой технической литературе встречается и другая единица измерения — килограммсила (кгс).
В этом случае, при необходимости, приходится делать перевод
старых единиц измерения в единицы СИ, пользуясь следующими
соотношениями: 1 кгс 9,81 Н; 1 тс 9,81 кН (1 кН 1000 Н).
Проекция силы на ось равна произведению модуля силы на
косинус ее острого угла с осью (рис. 1.8). Знак проекции определяется совпадением направлений проекции и оси (направление
проекции — от а к b).

Обращаем внимание на возможность упростить решение подобных задач путем рационального выбора направления координатных осей.

1. Плоская система сходящихся сил (ПССС)
13

Рис. 1.8