Текстовые фрагменты публикации
МатеМатика
в приМерах и задачах
Допущено
Министерством образования и науки
Российской Федерации в качестве
учебного пособия для студентов высших
учебных заведений, обучающихся
по техническим специальностям
Москва
ИНФРА-М
2017
Учебное пособие
о.М. дегтярева, Л.н. Журбенко,
Г.а. никонова, н.в. никонова,
с.н. нуриева
Дегтярева О.М.
Математика в примерах и задачах : учеб. пособие /
О.М. Дегтярева, Л.Н. Журбенко, Г.А. Никонова, Н.В. Никонова,
С.Н. Нуриева. — М. : ИНФРАМ, 2017. — 372 с. — (Высшее
образование: Бакалавриат).
ISBN 978-5-16-011256-5 (print)
ISBN 978-5-16-102288-7 (online)
Учебное пособие для студентов технических высших учебных
заведений, обучающихся по программе бакалавров в соответствии
с Федеральным государственным образовательным стандартом выс-
шего образования последнего поколения.
УДК 51(075.8)
ББК 22.11я73
Д26
УДК 51(075.8)
ББК 22.11я73
Д26
ISBN 978-5-16-011256-5 (print)
ISBN 978-5-16-102288-7 (online)
© Коллектив авторов, 2009
Р е ц е н з е н т ы:
д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры высшей математики Казанского
государственного архитектурно-строительного университета Б.А. Кац;
д-р физ.-мат. наук, профессор, заведующий кафедрой прикладной
математики Казанского государственного университета Н.Б. Плещинский
Подписано в печать 14.04.2017.
Формат 60×90/16. Бумага офсетная. Печать цифровая.
Гарнитура Newton. Усл. печ. л. 23,25.
ППТ20. Заказ № 00000
ТК 102550-896720-200708
ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М»
127282, Москва, ул. Полярная, д. 31В, стр. 1.
Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86. Факс: (495) 280-36-29.
E-mail: books@infra-m.ru http://www.infra-m.ru
ФЗ
№ 436-ФЗ
Издание не подлежит маркировке
в соответствии с п. 1 ч. 4 ст. 11
Отпечатано в типографии ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М»
127282, Москва, ул. Полярная, д. 31В, стр. 1
Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86. Факс: (495) 280-36-29
Предисловие
Содержание учебного пособия позволяет получить практиче-
ские навыки в соответствии с требованиями государственных об-
разовательных стандартов высшего профессионального образова-
ния для бакалавров направления «Технические науки».
Данное учебное пособие и учебное пособие «Математика»
Ю.М. Данилова, Л.Н. Журбенко, Г.А. Никоновой, Н.В. Никоно-
вой, С.Н. Нуриевой [1] образуют единый учебно-методический
комплект для студентов технических вузов, составленный в соот-
ветствии с модульной технологией.
Связывающим элементом пособий служат опорные конспекты
к разделам (подмодулям), входящим в каждый модуль. Они отра-
жают в сжатой форме основной смысл подмодуля и содержат не-
обходимые сведения для практического применения материала
подмодуля. Вместе с тем учебное пособие может использоваться и
самостоятельно.
Подмодули включают учебные и практические задачи с реше-
ниями и задачи для самостоятельного решения с ответами. В каж-
дом подмодуле приведены варианты контрольных работ и типовых
расчетных заданий. Компоновка задач проводится по схеме: от
простого (стандартного) ⇒ к сложному (нестандартному) ⇒ к за-
дачам с практическим содержанием. Типовые расчетные задания
составлены по дедуктивному методу: задания в них формулируют-
ся в виде задач с параметрами или записаны в виде общей форму-
лы, куда необходимо подставить индивидуальные для каждого
студента значения.
Пособие содержит достаточное количество задач для аудитор-
ных занятий и для самостоятельной работы вне аудитории. В нем
заложена структура дидактического процесса по схеме: 1) осмыс-
ление опорного конспекта, анализ задач с решениями ⇒ 2) само-
стоятельное решение задач с ответами, выполнение типового рас-
чета ⇒ 3) в случае затруднения возвращение к 1) ⇒ 4) решение
вариантов контрольных работ. Применение схемы делает возмож-
ным самостоятельное овладение практическими навыками по изу-
ченным темам, большое внимание уделено прикладным задачам.
сПисок исПользуемых обозначений
⇔
— равносильность (эквивалентность)
∧
— и (конъюнкция)
∨
— или (дизъюнкция)
∀
— любой
∃
— существует
∃!
— существует и единственно
/∃
— не существует
⇒
— следует
:
— такое что
→
— стремится выполнять равенство
↑↑
— параллельны и одинаково направлены
↑↓
— параллельны и противоположно направлены
⊥
— перпендикулярность
∆, det — определитель
∞
— бесконечность, бесконечное множество
N, Z, Q, R, C — множества соответственно натуральных, целых,
рациональных, действительных, комплексных чисел
Rn
— n-мерное векторное пространство с положительными
значениями элементов
R+
— множество неотрицательных действительных чисел
≡
— тождественно
~
— эквивалентно
⊂
— включает
⊆
— включает или равно
∈
— принадлежит
∉
— не принадлежит
∅
— пустое множество
∪
— объединение множеств
∩
— пересечение множеств
\
— разность множеств
→:
— отображение множеств, соответствие
↔:
— взаимно-однозначное соответствие
О:
— определение
Т: ... — теорема
Л: ...
— лемма
т.
— точка
гмт
— геометрическое место точек
— свойство 1
[ ]
— целая часть числа
{ }
— элементы множества, неопределенность
1, n
— все значения от 1 до n
б.м.
— бесконечно малая функция
б.б.
— бесконечно большая функция
э.
— экстремум
α = о(β) — б.м. более высокого порядка малости по сравнению с β
D( f )
— область определения функции
E( f )
— область допустимых значений функции
Uδ(a) — дельта-окрестность т. а, Ǔδ(a) = Uδ(a)\{a}
C[X]
— класс функций, непрерывных на множестве Х
C1[X] — класс функций, непрерывно дифференцируемых на мно-
жестве Х
C[a,b]
— класс функций, непрерывных на отрезке [a, b]
М
— наибольшее значение функции на множестве
m
— наименьшее значение функции на множестве
f°ϕ
— суперпозиция функций f и ϕ
т.р.
— точка разрыва
т.п.
— точка перегиба
— возрастает
— убывает
∩
— выпуклый вверх (выпуклый)
∪
— выпуклый вниз (вогнутый)
λ
— диаметр ограниченной фигуры (тела)
OM
— радиус-вектор
∑
— сумма
!
— факториал
rang A — ранг матрицы A
Re
— действительная часть комплексного числа
Im
— мнимая часть комплексного числа
gradU — градиент скалярного поля U
div a
— дивергенция векторного поля a
Глава 1
Элементы линейной алГебры
и аналитической Геометрии
1. линейнаЯ алГебра
опорный конспект № 1
1.1. Определители, их свойства
A
a
a
a
a
=
11
12
21
22
— квадратная матрица II порядка
∆ ≡
=
=
-
det A
a
a
a
a
a a
a a
11
12
21
22
11 22
21 12 — определитель II порядка
∆ =
=
-
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
11
12
13
21
22
23
31
32
33
11
22
23
32
33
12
21
23
31
a
a
a
a
a
a
33
13
21
22
31
32
+
—
определитель III порядка
Свойства:
10. Транспонирование.
20. Разложение по ∀ ряду: det A = ai1Ai1 + ai2Ai2 + ai3Ai3,
Aij = (-1)i+jMij — алгебраическое дополнение;
Mij — минор элемента aij.
30. Перестановка двух строк (столбцов) ⇒ смена знака ∆.
40. Условия равенства ∆ = 0.
50. Вынесение общего множителя ряда за знак ∆.
60. Прибавление к строке (столбцу) другой строки (столбца), ум-
ноженной на число k ≠ 0, не меняет ∆.
1.2. Системы линейных уравнений. Методы Гаусса и Крамера
a x
b
i
m
ij
j
j
n
i
=∑
=
=
1
1
,
,
совместна
несовместна
определена
неопределена
(∃! решение)
(∞ много решений)
Метод Гаусса — последовательное исключение неизвестных
Расширенная матрица
(
)
...
...
...
...
...
...
...
...
A B
a
a
a
b
a
a
a
b
a
a
n
n
m
m
\
=
11
12
1
1
21
22
2
2
1
2
a
b
mn
m
~ матрице ступенчатого вида, чис-
ло ее ненулевых строк = rang(A\B).
Формулы Крамера: m = n,
∆ ≡
=
≠
det
...
...
...
...
...
...
...
,
A
a
a
a
a
a
a
a
a
a
n
n
n
n
nn
11
12
1
21
22
2
1
2
0
x
j
n
j
j
=
=
∆
∆ ,
, ;
1
∆j получается из ∆ заменой j-го столбца столбцом свободных
членов
1.3. Действия над матрицами. Матричный способ решения СЛАУ
А = (аij),
B = (bij),
i
m
j
n
=
=
1
1
, ,
, ,
A = B ⇔ аij = bij
Сложение матриц: С = А + В = (аij + bij)
Умножение матрицы на число µ: В = µА = (µаij)
Умножение матриц: А — размерности m×p, В — размерности p×n
C = A ⋅ B = (аi1b1j + аi2b2j + ... + аipbpj), (AB ≠ BA)
E =
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
...
...
...
...
...
...
...
...
,
А = (аij), i, j
n
= 1, ⇒ AE = EA = A
A-1 — обратная к А = (аij), i, j
n
= 1, ⇔ АА-1 = Е
Т: А = (аij), i, j
n
= 1, ,
det A ≠ 0 ⇔ ∃А-1
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
n
n
n
n
nn
- =
1
11
21
1
12
22
2
1
2
1
det
...
...
...
...
...
...
...
,
Aij — алгебраическое дополнение аij
Матричная форма записи СЛАУ:
AX = B, А = (аij), i, j
n
= 1, , X = (xj), B = (bi) — матрицы-столбцы,
det A ≠ 0 ⇒ X = A-1B
Задачи к разд. 1.1
Задача 1. Вычислить определители II порядка:
а) -
-
1
4
5
2 ; б) sin
cos
sin
cos
.
2
2
2
2
α
α
β
β
Решение: По определению:
а) -
-
=
1
4
5
2
(-1)2 - 4(-5) = 18;
б)
sin
cos
sin
cos
2
2
2
2
α
α
β
β
= sin2α cos2β - sin2β cos2α =
= (sinα cosβ - sinβ cosα) ⋅ (sinα cosβ + cosα sinβ) =
= sin(α - β)sin(α + β).
Задача 2. Вычислить определитель III порядка
2
3
1
4
0
3
5
1
1
-
-
-
: а) по
определению; б) разложением по второму столбцу.
Решение: а) по определению
2
3
1
4
0
3
5
1
1
2 0
3
1
1
3 4
3
5
1
1 4
0
5
1
-
-
-
=
-
-
- -
-
+
-
=
(
)
= 2(-3) + 3 ⋅ 19 - 4 = -6 + 57 - 4 = 47;
б) по свойству 20
2
3
1
4
0
3
5
1
1
1
3 4
3
5
1
1
1 2
1
4
3
3
5
-
-
-
= -
-
-
+ -
-
-
=
(
) (
)
(
) (
)
= 3 ⋅ 19 + (-10) = 47.
Задача 3. Упростить и вычислить определитель III порядка
∆ =
1
2
5
3
4
7
3
12
15
-
-
-
.
Решение: Пользуясь свойством 50, вынесем множитель 3 из
третьей строки за знак определителя, множитель 2 — из второго
столбца, затем, пользуясь свойством 60, умножим первую строку
на (-3) и сложим со второй строкой, прибавим первую строку к
третьей, полученный определитель разложим по первому
столбцу:
∆ =
-
-
-
=
-
-
-
=
-
-
=
3
1
2
5
3
4
7
1
4
5
6
1
1
5
3
2
7
1
2
5
6
1
1
5
0
5
8
0
3
0
=
⋅ ⋅ -
-
-
=
⋅
=
6 1
1
5
8
3
0
6 24
144
2
(
)
.
Задача 4. Упростить и вычислить определитель IV порядка
∆ =
2
1
3
1
1
4
2
3
3
1
1
2
5
2
2
3
-
-
-
-
.
Решение: Получим нули во втором столбце определителя. Для
этого умножим первую строку на (-4), (-1), (-2), и сложим соот-
ветственно со второй, третьей, четвертой строками. Полученный
определитель разложим по второму столбцу:
∆ =
-
-
-
-
-
-
=
⋅ -
-
-
-
-
-
=
= -
-
-
2
1
3
1
7
0
10
7
1
0
4
3
9
0
8
5
1
1
7
10
7
1
4
3
9
8
5
2
7
5
7
1
3
(
)
-
-
-
= -
- -
-
+
-
+
-
-
-
=
= - -
-
+
+
2
3
9
4
5
2
7 2
3
4
5
5 1
3
9
5
7 1
2
9
4
2
7
10
12
[
(
)
5 5
27
7
4
18
16
(
)
(
)]
.
+
+
- -
=
Задачи для самостоятельного решения
Вычислить определители II порядка:
1) 3
10
2
6 ;; 2)
2
3
1
2
-
; 3) sin
cos
cos
sin
α
α
α
α
-
; 4) 1
1
1
2
x
x
; 5)
a
a
a
-1 .
Вычислить определители двумя способами: пользуясь опреде-
лением и разложив их по элементам указанного ряда:
6) 4
2
1
5
3
2
3
2
1
-
-
-
по элементам 2-го столбца;
7) 0
1
1
1
0
1
1
1
0
по элементам 3-й строки;
8)
1
1
1
4
5
9
16
25
21
по элементам 1-го столбца;
9) 3
4
5
8
7
2
2
1
8
-
-
-
по элементам 2-й строки.
Упростить и вычислить определители:
10) a
a
a
a
a
a
a
a
a
-
-
-
-
; 11) 2
3
4
5
2
1
1
2
3
-
; 12) 12
6
4
6
4
4
3
2
8
-
; 13) 1
2
3
4
5
6
7
8
9
.
Найти x из уравнений:
14) 2
4
1
4
0
x -
= ; 15) x
x
x
+
-
+
=
1
4
1
0;
16) x
x
2
4
9
2
3
1
1
1
0
= ;
17)
3
2
1
3
10
1
1
0
x
x
x
-
-
+
=
.
.
Упростить и вычислить определители IV порядка:
18)
2
5
4
3
3
4
7
5
4
9
8
5
3
2
5
3
-
-
-
-
-
; 19) 3
1
5
3
5
3
4
2
7
5
1
1
1
3
7
5
-
-
-
-
-
-
;
20) 2
1
1
0
0
1
2
1
3
1
2
3
3
1
6
1
-
-
-
; 21)
8
7
2
10
8
2
7
10
4
4
4
5
0
4
3
2
-
-
.
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
