Лекции по функциональному анализу

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ 

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Технологический институт

Федерального государственного образовательного

учреждения высшего профессионального образования

«Южный федеральный университет»

А.И. Сухинов
И.П. Фирсов

Лекции

по функциональному анализу

Ростов-на-Дону

Издательство Южного федерального университета

2009

1

УДК 51(075.8)
 ББК 22.162я73
         С 91

Рецензенты:

доктор физ.-мат. наук, профессор, 

зав. кафедрой математического анализа ТГПИ Илюхин А. А.;

доктор физ.-мат. наук, профессор, 

зав. кафедрой физики ТТИ ЮФУ Куповых Г. В.

Учебное пособие подготовлено и издано в рамках 

национального проекта «Образование» 

по «Программе развития федерального государственного образовательного 

учреждения «Южный федеральный университет» на 2007–2010 гг.»

С 91

Сухинов А. И., Фирсов И. П.
Лекции по функциональному анализу: учеб. пособие / 
А. И. Сухинов, И. П. Фирсов. – Ростов н/Д: Изд-во ЮФУ, 
2009. – 189 с.

ISBN 978-5-9275-0671-2
Пособие состоит из семи глав. В первой из них дается мера и 

интеграл Лебега на линейном множестве. Во второй излагаются основные 
понятия топологического пространства. В третьей рассматриваются 
свойства метрических пространств. В частности полнота и пополнение, 
принцип сжимающих отображений, компактность и предкомпактность. В 
четвертой главе рассматриваются свойства топологических линейных 
пространств, 
в 
частности 
нормированные 
и 
локально 
выпуклые 
пространства, 

гильбертовы пространства, ряды Фурье. В пятой и шестой главах 
рассматриваются пространства линейных операторов и функционалов, 
сопряженные пространства и операторы, спектр оператора. Последняя 
глава посвящена пространствам с мерой.

Пособие содержит многочисленные примеры.
Предназначено 
для 
студентов 
второго 
курса 
ТТИ 
ЮФУ 

специальности 010500 «Прикладная математика и информатика» и 
студентов других специальностей, у которых программой предусмотрен 
этот курс.

ISBN 978-5-9275-0671-2
УДК 51(075.8)
ББК 22.162я73

© ТТИ ЮФУ, 2009

    © А.И. Сухинов, И.П. Фирсов, 2009

© Южный федеральный

        университет, 2009

2

СОДЕРЖАНИЕ

I. ВВЕДЕНИЕ. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ. МЕРА И 
ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА..................................................................................5

1. Отношение. Отношение эквивалентности..................................5
2. Отображение ..................................................................................8
3. Упорядоченные множества ........................................................10
4. Строение линейного множества.................................................13
5. Мера Лебега линейного множества...........................................14
6. Свойства меры Лебега. Критерий измеримости ......................19
7. Измеримые функции. Свойства измеримых функций ............24
8. Понятие интеграла Лебега. Основные свойства ......................26

II. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА.........................................32

1. Понятие топологического пространства. Примеры.................32
2. Окрестность и замыкание в топологическом
    пространстве. Топология подпространства..............................35
3. База топологии. Аксиомы счётности.........................................39
4. Предел последовательности в топологическом пространстве.

Аксиомы отделимости.................................................................42

5. Непрерывные отображения. Гомеоморфизм топологических

пространств...................................................................................46

6. Компактность в топологических пространствах......................49

III. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА ................................................53

1. Замечательные неравенства........................................................53
2. Примеры метрических пространств ..........................................56
3. Открытый шар. Топология метрического пространства.
    Метризуемость.............................................................................60
4. Полнота метрического пространства. Примеры ......................65
5. Теорема о вложенных шарах......................................................72
6. Теорема Бэра о категориях .........................................................76
7. Принцип сжимающих отображений и его приложения..........79
8. Пополнение метрических пространств .....................................86
9. Компактность в метрических пространствах...........................91
10. Предкомпактность в метрических пространствах.
     Теоремы Хаусдорфа и Арцела ..................................................96

IV. ЛИНЕЙНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА..............100

1. Понятие топологического векторного пространства.............100
2. Нормированные и топологические нормированные
    пространства...............................................................................103

3

3. Полунормы и локально выпуклые топологические
    пространства...............................................................................106
4. Пространства со скалярным произведением. Гильбертово

пространство...............................................................................110

5. Задача о наилучшем приближении. Ортогональное

дополнение..................................................................................116

6. Ряды Фурье в гильбертовом пространстве.............................120

V. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ..............................................................124

1. Примеры линейных операторов. Ограниченность и 

 непрерывность оператора.........................................................124

2. Пространство линейных ограниченных операторов. Норма
    оператора ....................................................................................129
3. Равномерная и сильная сходимости операторов. Ряды
    операторов ..................................................................................133
4. Обратимость линейного оператора .........................................136
5. Основные теоремы функционального анализа ......................138

VI. СОПРЯЖЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ОПЕРАТОРЫ...............142

1. Линейные функционалы. Теорема Хана-Банаха....................142
2. Примеры сопряжённых пространств. Теорема Рисса............146
3. Сильная и слабая сходимости. Рефлексивность ....................149
4. Обобщённые функции...............................................................152
5. Сопряжённые и самосопряжённые операторы.......................156
6. Компактные операторы.............................................................160
7. Разрешимость уравнения 

A
J x
y



. Понятие спектра

 и резольвенты линейного оператора .......................................163

8. Свойства резольвенты и спектра..............................................168

VII. ПРОСТРАНСТВА С МЕРОЙ ........................................................170

1. Мера в абстрактных множествах.............................................170
2. Пространства с мерой. Сходимость почти всюду и по мере 173
3. Интеграл Лебега в 
n
R ................................................................176

4. Пространства S  и 
p
L ................................................................179

5. Ряды Фурье в 
2
L .........................................................................182

БИБЛИОГАФИЧЕСКИЙ СПИСОК .....................................................185

4

ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ 
МНОЖЕСТВ. МЕРА И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА

§1. Отношение. Отношение эквивалентности

Напомним, что прямым (декартовым) произведением
X
Y


множеств X  и Y  называется множество упорядоченных пар 
( , ),
,
.
x y
x
X
y
Y


 Первый элемент 
x  упорядоченной пары 

называют первой проекцией (координатой), а второй элемент y –
второй проекцией (координатой).

Определение 1. Всякое подмножество прямого произведения 

X
Y

 называют бинарным отношением (или просто отношением), 

заданным в множествах X и Y  или в множестве X , если X
Y

. 

Всякое 
подмножество 
прямого 
произведения 
1
2
n
X
X
X



K

называют n-арным отношением.

Если   есть некоторое отношение, то выражения ( , )
x y


 и 

x y
   эквивалентны и означают, что x  находится в отношении   y.

Для наиболее распространенных отношений введены специальные 
обозначения. Например, для отношений равенства, принадлежности, 
меньше, больше, эквивалентности приняты следующие обозначения: 
=, ϵ, <, >, ~.

Пример 1. Множество 

(2,4),(7,3),(3,3),(2,1)


– бинарное 

отношение, заданное в множестве натуральных чисел N , так как 
является подмножеством декартового произведения N×N. Не 
выражая 
никакого 
конкретного 
свойства 
множества 
N, 
оно 

естественно и не имеет специального обозначения. 

Пример 2.


( ,
): ,
n n m
n m
Z
 


– бинарное отношение. Оно 

означает, что упорядоченная пара 



,
,
x y
n n m




тогда и 

только тогда, когда найдётся целое m такое, что y
n m


, то есть 

вторая координата будет делиться на первую. Это отношение 
называется отношением делимости в множестве целых чисел и имеет 
специальное обозначение, пишут y x
 .

Пример 3. Вычитание в множестве Z – пример тернарного 

отношения. Здесь упорядоченной паре 

,a b  целых чисел ставится в 

соответствие третье целое число c
a
b

 . Таким образом, мы имеем 

множество упорядоченных троек









,
, ):
,
, ,
, ,
:
,
, ,
a b
c
c
a
b a b c
Z
a b c
c
a
b a b c
Z
 







.

5

Пример 4. 





2
2

1
,
:
1,
,
x y
x
y
x y
R
 



– 
бинарное 

отношение во множестве действительных чисел R. Оно определяет 
множество точек замкнутого круга единичного радиуса.

Пример 5.


2
( , ):
3 ,
,
x y
y
x x y
R
 


– бинарное отношение, 

это множество точек прямой 
3
y
x

.

Определение 2. Множество первых координат отношения 

называют 
областью 
определения
oтношения 
и 
обозначают  





:
,
,
,
D
x x
X
y
Y
x y




 

, а множество вторых координат 

называют oбластью значений отношения ρ и обозначают 





:
,
,
,
R
Ran
y y
Y
x
X
x y






 

.

Например, в примере 1 




2,3,7 ,
1,3.4
D
R




; в примере 4 



1
1
1,1
D
R



 
; в примере 5  

2
2
D
R
R




.

Если отношение задано в R, то вводят понятие графика 

отношения. Например, графиком отношения в примере 1 являются 
четыре точки плоскости. Графиком отношения в примерах 4 и 5 
являются круг и прямая  
3
y
x

 соответственно.

Отношение 

 




1
,
:
,
y x
x y
Y
X


 



 
называют 

обратным для отношения  . Например, 


 
 
 








1
1
2
2

1
4,2 , 3,7 , 3,3 , 1,2
,
,
:
1
y x
x
y








, 






1

2
,
:
3
y x
y
x
  

– обратные отношения примеров 1, 4 и 5 

соответственно.

Произведением (композицией) отношений 
1
X
Z
 

 
и 

2
Z
Y
 

называют отношение  









2
1
1
2
,
:
,
,
,
,
.
x y
z
Z
x z
z y
X
Y







 




o

Пример 6. Найти композицию 
2
1


o
 отношений в примерах 4 

и 3.

Решение. В данном случае X
Y
Z
R



. Для 


1,1
x
  

существует пара 

1
,x z


, то есть 
2
2
1
x
z

 , и пара 

2
,z y


, то 

есть 
3 .
y
z

 Отсюда следует, что пара 

2
1
,x y



o
удовлетворяет 

неравенству  

2

2
1
3
y
x









, то есть композиция 
2
1

 
o
 это

6

множество точек, расположенных внутри и на эллипсе 

2

2
1
3
y
x









.

Упражнение. Убедиться, что 
1
2


o
– это множество точек, 

расположенных  внутри и на эллипсе  

2

2
1.
3
x
y

 






Определение 3. Отношение  , заданное в множестве X , 

называется рефлексивным, если 

,x x
x
D


 
; симметричным, 

если из 

,x y


 следует 

,
,
y x


то есть  
1

 

; транзитивным, 

если из 

,x y


 и 

,y z


 следует 

,
.
x z



Например, отношение равенства в R
x y
x
y



 является 

рефлексивным (так как x
x

), симметричным (так как из x
y


следует y
x

) и транзитивным (так как из x
y

 и y
z

следует 

x
z

). Отношение в примере 1 не является ни рефлексивным, ни 

симметричным, но транзитивным.

Определение 4. Рефлексивное, симметричное и транзитивное 

отношение
,
X
X
D
X

 


называется 
отношением 

эквивалентности 
на 
множестве 
X .
Пишут 
.
x y
x
y


:

Подмножество A
X

 называется классом эквивалентности, если 

оно состоит из всех эквивалентных между собой элементов.

Например, отношение равенства в системе множеств является 

примером отношения эквивалентности. Действительно, A
A

– это 

рефлексивность; если A
B

, то и B
A

– это симметричность; если 

A
B

, а B
C

, то A
C

– транзитивность. Приведем еще один 

пример.

Пример 7.
Зададим 
отношение 
  
в 
R 
равенством 





,
:
,
x y
x
y
Z
Z
 


– множество целых чисел. Проверим, что 

это отношение является отношением эквивалентности. Очевидно, 

0
x
x
Z



– это рефлексивность. Если x
y
Z


, то и y
x
Z


–

это 
симметрия. 
Транзитивность 
следует 
из 
равенства 


 
.
x
z
x
y
y
z





 Класс эквивалентности в этом случае состоит 

7

из всех действительных чисел, имеющих одинаковую дробную часть. 

Например, 5,17∼0,17.

Теорема. Отношение 
эквивалентности 
на 
множестве 
X

разбивает 
это 
множество 
на 
непересекающиеся 
классы 

эквивалентности.

Доказательство. Пусть x – произвольный элемент множества 

,
X
A
X

 некоторое множество элементов, эквивалентных 

элементу x . Тогда по свойству рефлексивности x
A

. Итак, любой 

элемент x  попадает в некоторый класс эквивалентности, то есть 
происходит разбиение множества X  на классы эквивалентности. 
Докажем теперь, что эти классы эквивалентности не пересекаются. 
От противного. Пусть пересечение классов эквивалентности A и B
не пусто, A
B

  , то есть существует 
.
z
A
B



Тогда 





и
,
,
и
,
.
x
A
y
B
x z
z y


 
 


 (по транзитивности),

что 



,
,
,
x y
x
y


:
  то есть классы A и B совпадают. Получили 

противоречие, которое и доказывает теорему.

Справедливо 
и 
обратное 
утверждение. 
Если 
некоторое 

множество X разбито на классы подмножеств 
,
X
A
  
, так что

выполняются условия: 

1) X
X



 , если 


,

2) 
 
*
,
X
X





U
 то отношение, определяемое 
 
* , есть 

отношение эквивалентности.

§2. Отображение

Определение 1. Бинарное отношение 
X
Y
 

 называется 

функциональным по y , если  


!
:
,
.
x
D
X
y
Y
x y


 





Функциональное отношение называют также отображением X в Y , 
функцией, заданной на Х, значение которой содержатся в Y .

Из определения следует, что утверждение «отношение 

функционально по у » эквивалентно следующим двум требованиям: 

1) D
X
 
; 

8

2) из 

1
,x y


 и 

2
,x y


  следует 
1
2.
y
y


Для функционального отношения существуют специальные 

обозначения: 


 
;
,
,
:
;
,
.

f

x f y
x y
f
f
X
Y
X
Y
y
f x





Пример 1. Бинарное отношение

 
 



1,2 , 2,3 ,
,
Иван Марья
 
 функция с областью определения 



1,2,
f
D
Иван

 и областью значений 


2,3,
.
f
R
Марья


А бинарное отношение


 
 



1
1,2 , 1,3 ,
,
Иван Марья
 

не является функцией, так как не выполняется единственность 
отображения.

Пример 2. Бинарное отношение в примере 5 предыдущего 

параграфа – функция, а в примере 4 – не функция по двум причинам: 

1) 
f
D
X

, 

2)


1,1
x
  
существует целый отрезок 
2
2
1
,
1
x
x










такой, что 

1
,x y


 (неоднозначность).

Пусть задано отображение
:
f
X
Y

 и пусть 
.

A
X

Множество 
 
 


:
,
f
A
y y
f x
Y x
A
B





 
называется 

образом множества A при отображении f . Для множества B
Y


множество 
 
 



1
:
,
f
B
x x
X
f x
B




 называется прообразом 

множества A при отображении f .

Отображение 
:
f
X
Y

 называется сюръективным, если 



.
f X
Y

 Сюръективное отображение называют отображением X

на Y , а не сюръективное – отображением X  в Y . 

Отображение называется инъективным, если каждому образу 

соответствует единственный прообраз, то есть из 
 


1
2
f x
f x


следует  
1
2.
x
x


Сюръективное и инъективное отображение называют биекцией, 

то есть это взаимно-однозначное отображение X на Y .

Если отношение  
X
Y
 

 является биективным отображением 

:
f
X
Y

, 
то 
обратное 
отношение 
1
Y
X
  

 
будет 

9

функциональным по , то есть для 
y
Y
 
 существует единственный 

x
X

 такой, что 
 
.
f x
y

 Отношение 
1
   определяет обратное 

отображение 
1 :
.
f
Y
X



Следует различать прообраз 
 

1
f
B

, определяемый для любого 

отображения, и обратное отображение 
1 :
,
f
Y
X


 существующее 

только для биективного отображения.

Определение 2. Множество Х называется конечным, если для 

некоторого 
фиксированного 
n
N

 
существует 
биекция 



:
1,2 ,...,
f
X
n

. В противном случае оно бесконечно.

Напомним, что множество X  называется счётным, если 

существует биекция  
:
f
X
N

.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 2. Объединение конечного или счётного множества 

счётных множеств является множеством счётным, а множество 

P X

всех 
подмножеств 
счётного 
множества 
X
несчётно 
(без 

доказательства).

Следствие. Прямое произведение счётных множеств X  и Y

счётное.

§3. Упорядоченные множества

Определение 1. Отношение 
X
X
 

 
называется 

антисимметричным, если из  



,
,
x y
и
y x




  следует  x
y

.

Примером антисимметричного отношения является отношение 

включения для множеств. Действительно, если А
В

 и В
А

, то 

А
В

.
Определение 2. Рефлексивное, 
антисимметричное 
и 

транзитивное отношение 
X
X
 

 называется отношением порядка 

на X .

Для отношения порядка вводится специальный знак  (или p , 

читается «предшествует»). Поэтому, если   отношение порядка, то 
вместо  x y
  пишут  x
y

 или  x
y
p
. 

10

Определение 3. Множество X  с отношением порядка, то есть 

пара (
, )
X p , называется упорядоченным (частично упорядоченным). 

Если для каждой пары 

,x y
X
X


 выполняется только одно из 

соотношений x
y
p
 или y
x
p
, то упорядоченное множество 

,
X p

называется линейно упорядоченным.

Пример 1. Множество R с отношением порядка  (то есть 

x
y

, если y
x

 неотрицательное) является линейно упорядоченным. 

Заметим, что отношение < (строго меньше) не является отношением 
порядка.

Пример 2. Отношение включения    в классе множеств  

P X

является отношением порядка (убедиться в этом). Поэтому 
пространство 


(
,
)
P X

– частично упорядоченное, поскольку  в 

нём есть несравнимые множества. Отношение делимости M в 
множестве Z
целых чисел также является отношением порядка, 

поэтому пространство ( , )
Z   частично упорядоченное.

Пусть 


,
X  – частично 
упорядоченное 
множество 
и 



,
Z
X

 – его подмножество (см. рисунок).

Элемент x
X

 называется мажорантой множества Z , если z
x

 для 

z
Z
 
. При этом множество Z  называют ограниченным сверху. 

Мажоранта, которая предшествует всем остальным мажорантам (если 
такая существует), называется верхней гранью множества Z  и 
обозначается  
sup
x
Z

.

Если элемент 
sup
x
Z
Z


, то он называется наибольшим 

элементом множества Z , то есть этот элемент следует за всеми 
остальными элементами множества Z .

Аналогично вводятся миноранта, ограниченное множество 

снизу, нижняя грань 
inf
x
Z

 множества Z  и наименьший элемент 

множества Z .

Определение 4. Если в линейно упорядоченном множестве 



,
X p  каждое непустое подмножество имеет наименьший элемент, 

то оно называется вполне упорядоченным, а отношение порядка 
называется полным порядком.

11

Пример 3. Множество действительных чисел отрезка  [0,1]  при 

естественном 
способе 
упорядочения 
является 
линейно 

упорядоченным, но не является вполне упорядоченным, так как не 
всякое его подмножество имеет наименьший элемент, например, 
(0,1). Множество натуральных чисел Z – вполне упорядоченное. 
Любая последовательность также вполне упорядоченное множество 
(порядок по индексу). Любое конечное линейно упорядоченное 
множество является вполне упорядоченным.

Теорема (Цермело). Во всяком множестве можно ввести 

полный 
порядок, 
то 
есть 
сделать 
это 
множество 
вполне 

упорядоченным (без доказательства).

Для доказательства этой теоремы Цермело принял так 

называемую аксиому выбора: можно составить новое множество, 
выбрав по одному элементу из каждого множества X  произвольного 
класса {
,
}
X
A
  
непустых и непересекающихся множеств. 

Заметим, что аксиома выбора – один из самых сложных и спорных 
вопросов в обосновании теории множеств. Она аналогична пятому 
постулату в геометрии Евклида (через точку вне прямой на плоскости 
проходит единственная прямая, не пересекающая данную). Если 
отказаться от пятого постулата, то получим неевклидову геометрию, 
например геометрию Лобачевского, Римана и др. Если отказаться от 
аксиомы выбора, то получим теорию множеств, в которой нет 
упорядоченных множеств.

Определение 5. Пусть 


,
X   
и 


,
Y p
– 
частично 

упорядоченные 
множества. 
Биекция 
:
f
X
Y

 
называется 

отображением, сохраняющим порядок, если из 
1
2
x
x

 следует 

1
2
(
)
(
)
f x
f x
p
. Если и 
1
f   сохраняет порядок, то отображение f

называется 
изоморфизмом, 
а 
множества 


,
X  и 

,
Y p

изоморфными.

Пример 4. Пусть 

,
N   и 

,
N   частично упорядоченные 

множества и между этими множествами задана биекция 
 
f n
n

. 

Будет ли отображение f  изоморфизмом?

Решение. Если 
1
2
n n

, то отсюда следует 
1
2
(
)
(
)
f n
f n

, то есть 

отображение сохраняет порядок. Если  
1
2
(
)
(
)
f n
f n

, то делимость 

1
2
n n

 выполняется не всегда. Следовательно, биекция f  не является 

изоморфизмом.

12