Избранные научные труды. Математика

УДК 517.53, 517.968, 917.983,
517.988.8
ББК 22.16
И 20

Издание осуществлено при поддержке
Российского фонда фундаментальных
исследований по проекту 08-01-07040

Р е д к о л л е г и я :
В. В. Васин (ответственный редактор), А. Л. Агеев,
В. В. Арестов, К. Н. Гурьянов, И. В. Мельникова

И в а н о в В. К. Избранные научные труды. Математика. — М.: ФИЗМАТЛИТ,
2008. — 552 с. — ISBN 978-5-9221-0980-2.

Настоящее издание представляет собой сборник избранных работ выдающегося
российского математика, члена-корреспондента РАН В. К. Иванова (1908–1992).
В нем представлены работы по основным направлениям научной деятельности
В. К. Иванова: теории приближения функций, обратной задаче потенциала, некорректно поставленным задачам, теории обобщенных функций.
Труды представляют интерес для математиков и геофизиков, работающих в данных направлениях, а также для студентов и аспирантов, специализирующихся в этих
дисциплинах.

ИВАНОВ Валентин Константинович

ИЗБРАННЫЕ НАУЧНЫЕ ТРУДЫ. МАТЕМАТИКА

Редактор С.А. Тюрина
Оригинал-макет: Е.Н. Водоватова
Оформление переплета: Н.В. Гришина

Подписано в печать 13.05.08. Формат 70
100/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 44,85. Уч.-изд. л. 44,85. Тираж 400 экз. Заказ №

Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru, fmlsale@maik.ru;
http://www.fml.ru

Отпечатано с готовых диапозитивов
в ОАО «Чебоксарская типография № 1»
428019, г. Чебоксары, пр. И. Яковлева, 15

ISBN 978-5-9221-0980-2

c⃝ ФИЗМАТЛИТ, 2008

c⃝ В. К. Иванов, 2008

ОГЛАВЛЕНИЕ

От редколлегии. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Иванов Валентин Константинович . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7

Р А З Д Е Л
I

АЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ

О свойствах коэффициентов неприводимых уравнений деления круга. .. . . . .
13
О понижении степени аффинорных полиномов (cовместно c Я. С. Дубновым)
18
Задача о минимаксе системы линейных функций. .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .
23
О равномерных приближениях непрерывных функций . .. . . . . . . . . . . . . . . .
45

Р А З Д Е Л
II

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ПОТЕНЦИАЛА
И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

Об определении гармонических моментов возмущающих масс по производной
гравитационного потенциала, заданной на плоскости . .. . . . . . . . . . . . . . .
62
Интегральное уравнение обратной задачи логарифмического потенциала . .. .
75
Распределение особенностей потенциала и пространственный аналог теоремы
Полиа . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
Обратная задача потенциала для тела, близкого к данному . .. . . . . . . .. . . . .
98
О разрешимости обратной задачи логарифмического потенциала в конечном
виде . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
125
Связь между ростом целой функции многих переменных и распределением
особенностей ассоциированной с ней функции. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
127
Теорема единственности обратной задачи логарифмического потенциала для
звездных множеств . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .
140
Об устойчивости обратной задачи логарифмического потенциала . .. . . . . . . .
149
Характеристика роста целой функции двух переменных и ее приложение
к суммированию двойных степенных рядов . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
153
Об одной краевой задаче, связанной с аналитическими функциями двух
комплексных переменных . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
167
Об индикатрисе роста целой функции двух комплексных переменных . .. . . .
179
Обобщение тождества Вороного–Харди . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .
187
Интегральные уравнения первого рода и приближенное решение обратной
задачи потенциала. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
208

Об одном приложении аналитических функций к обратной задаче потенциала
(совместно с Л. Э. Казаковой) . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
211
Многомерные обобщения сумматорной формулы Эйлера . .. . . . . . . . . . . . . .
219
Об устойчивости комплексной проблемы моментов. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
229
О существовании основной функции линейного дифференциального оператора с постоянными коэффициентами при условиях периодичности . .. . . . . .
240

Р А З Д Е Л
III

НЕКОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННЫЕ ЗАДАЧИ

О линейных некорректных задачах . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .
246
О некорректно поставленных задачах . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
249
Некорректные линейные уравнения и уравнения типа свертки (cовместно
с И. Н. Домбровской) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
263
Об одном типе некорректных линейных уравнений в векторных топологических пространствах . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .
269
Задача Коши для уравнения Лапласа в бесконечной полосе . .. . . . . . . . . . . .
277
О численном дифференцировании (cовместно с Т. Ф. Долгополовой) . . . . . .
283
К теории некоторых линейных уравнений в абстрактных пространствах (совместно с И. Н. Домбровской) . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
291
О приближенном решении операторных уравнений первого рода . .. . . . . . . .
300
О равномерной регуляризации неустойчивых задач . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .
307
Об интегральных уравнениях Фредгольма первого рода. .. . . . . .. . . . . . . . . .
321
О регуляризации линейных операторных уравнений первого рода. .. . . . . . . .
334
О применении метода Пикара к решению интегральных уравнений первого
рода . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
340
Об оценке погрешностей при решении линейных некорректно поставленных
задач (совместно с Т. И. Королюк) . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
346
Некорректные задачи в топологических пространствах. .. . . . . . . . . . . . . . . .
358
Линейные неустойчивые задачи с многозначными операторами . .. . . . . . . . .
368
О решении операторных уравнений, не удовлетворяющих условиям корректности . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
376
Задача квазиобращения для уравнения теплопроводности в равномерной метрике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
386
Об оценке устойчивости квазирешений на некомпактных множествах . .. . . .
394
О величине параметра регуляризации в некорректно поставленных задачах
управления . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
401
О возможности определения энергетического спектра бозе-системы по термодинамическим функциям (совместно с В. А. Коршуновым, Т. Н. Решетовой и В. П. Тананой) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
408
Improperly posed problems (совместно с А. Н. Тихоновым, М. М. Лаврентьевым) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
413
Один способ оценки погрешности при решении операторных уравнений первого рода в гильбертовом пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .
431

Оглавление
5

Р А З Д Е Л
IV

ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ

Обобщенное преобразование Фурье в операционном исчислении . .. . . . . . . .
437
Умножение распределений и регуляризация расходящихся интегралов . .. . . .
455
Гиперраспределения и умножение распределений Шварца . .. . . . . . . . . . . . .
465
Алгебра, порождаемая функцией Хевисайда и дельта-функциями. .. . . . . . . .
470
Об умножении обобщенных функций многих переменных с точечной особенностью . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
474
Алгебра одного класса обобщенных функций. .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .
488
Ассоциативная алгебра простейших обобщенных функций. .. . . . . . . . . . . . .
492
Об алгебре элементарных обобщенных функций . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
504
Асимптотическое приближение к произведению обобщенных функций . .. . . .
508
Об умножении однородных функций нескольких переменных. .. . . . . . . . . . .
518
Общая
схема
устранения
расходимостей
разного
рода
(совместно
с И. В. Мельниковой). .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
523
Об условиях корректности Адамара в пространствах обобщенных функций
532
Новые обобщенные функции и слабая корректность операторных задач (совместно с И. В. Мельниковой) . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
540
Список опубликованных работ члена-корреспондента РАН В. К. Иванова . .. .
547

ОТ РЕДКОЛЛЕГИИ

Настоящее издание содержит собрание избранных работ выдающегося российского математика члена-корреспондента АН СССР Валентина Константиновича Иванова (1908–1992).
Творческий диапазон В. К. Иванова был необычайно широк. Ему принадлежит
решение ряда важнейших задач алгебры и теории чисел, функционального анализа
и теории функций комплексного переменного, математической физики и теории
обобщенных функций, обратной задачи потенциала и общей теории некорректных
задач. В каждой из этих областей им были предложены оригинальные решения
актуальных проблем, а в некоторых из них заложены глубокие идеи и новые направления исследований, которые плодотворно развивались несколькими поколениями
математиков и геофизиков.
Будучи человеком глубоко эрудированным и обладая широким кругозором,
В. К. Иванов легко ориентировался не только в различных разделах математики, но
и в теоретической физике, механике, геофизике, что позволяло ему черпать новые
идеи и подходы из различных областей естествознания и находить содержательные
приложения для разработанных методов.
Валентин Константинович оставил богатое научное наследие, которое питает
и вдохновляет его многочисленных учеников и последователей.
Редколлегия ставила целью представить все основные направления исследований
В. К. Иванова. Однако в это издание не вошла серия прикладных работ, выполненных
в 1935–1947 г.г. в период работы Валентина Константиновича в Уралгипромаше
и Свердловском горном институте. Не включены некоторые работы по теории функций комплексного переменного, а также отдельные статьи, посвященные обобщенным
функциям и их связи с некорректно поставленными задачами.
Представленные в издании статьи сгруппированы в четыре раздела: «Алгебра
и теория приближения функций», «Обратная задача потенциала и теория функций комплексного переменного», «Некорректно поставленные задачи», «Обобщенные
функции». В пределах каждого раздела статьи расположены в хронологическом
порядке. В нескольких случаях мы сочли необходимым дать терминологические
пояснения.
При подготовке статей к печати авторский текст не подвергался какой-либо
правке за исключением очевидных опечаток и цитированной литературы, которая
оформлена в соответствии с современными требованиями.
Редколлегия глубоко признательна Российскому фонду фундаментальных исследований, при финансовой поддержке которого было осуществлено это издание.

ИВАНОВ ВАЛЕНТИН КОНСТАНТИНОВИЧ
(1908–1992)

Валентин Константинович родился 1 октября 1908 г. в Санкт-Петербурге в семье железнодорожного служащего. Начальное образование он получил в реальном
училище, а после переезда родителей в 1922 г. в Свердловск продолжил учебу
в советской школе им. Н. А. Некрасова.
Яркое математическое дарование Валентина Константиновича проявилось очень
рано. Вот как, например, об этом написано в его характеристике после окончания
школы в 1925 г.: «Иванов В. К., 17 лет, сын служащего до революции и в настоящее
время. Исключительно одарен в области математики при хорошем общем развитии,
обладает глубоко аналитическим умом, редкой способностью к синтезу, умением
систематически работать, богатой интуицией, глубиной восприятия, чисто нотовской
(НОТ — научная организация труда. — Прим. ред.) манерой выражения мыслей
в различных дисциплинах наук...».
После завершения учебы в школе Валентин Константинович оказался перед
трудным выбором. Дело в том, что тогда в Свердловске не было математического
факультета, а в столичный университет поступить было очень трудно. Существовал
так называемый соцотбор: в первую очередь — рабфаковцы, во вторую — дети
рабочих, а уже потом все остальные. Так что абитуриент из семьи служащего
оказывался в очень невыгодных условиях. Поэтому по совету родителей он поступил
в Уральский политехнический институт, который окончил в 1930 г.
После завершения учебы в институте он сначала в течение одного года работает
инженером-конструктором в Гипромезе, а затем вплоть до 1938 г. — в Уралгипромаше. К этому периоду относится и его первая научная публикация [1], связанная с его
профессиональной деятельностью. Одновременно (с 1933 г.) он заочно учится в Ленинградском государственном университете, который блестяще заканчивает в 1939 г.
В этом же году выходит его первая математическая работа [2], связанная с анализом
сходимости методов последовательных приближений и Зейделя для систем линейных
алгебраических уравнений.
По воспоминаниям Валентина Константиновича, в это время он с увлечением
занимался алгеброй, посещал алгебраический семинар, ведущую роль в котором играли П. Г. Конторович и С. Н. Черников. В итоге ему удалось решить ряд алгебраических проблем и подготовить кандидатскую диссертацию на тему «Некоторые вопросы
теории матричных полиномов», которую он успешно защитил в МГУ в 1941 г.
В этом же году выходит статья [4], в которой дано изящное решение задачи
Н. Г. Чеботарева о строении неприводимых делителей полинома xm − 1. А именно,
его гипотеза, что все такие делители имеют в качестве коэффициентов только −1, 0
и 1, подтверждена для случая, когда показатель m содержит не более двух простых
делителей, но в общем случае опровергнута соответствующим контрпримером.
В 1938 г. Валентин Константинович переходит в Свердловский горный институт,
где работает ассистентом, а затем доцентом на кафедре высшей математики до
1947 г. с перерывом в 1941–1942 г.г. для прохождения военной службы. В 1947 г.
выходят несколько его работ [6–8] (совм. с П. В. Гельдом и А. С. Микулинским) по
математической физике.
Примечательна совместная с Я. С. Дубновым работа [5], предвосхитившая один
важный результат теории алгебр над полем. Этот результат устанавливает при весьма
простых предположениях нильпотентность нильалгебры. Полученный в 50-х годах
и связанный с именами М. Нагаты и Г. Хигмэна, он нередко фигурирует в литературе
по теории колец как теорема Нагаты–Xигмэна. Лишь в 80-х годах обнаружилось, что
этот факт был, по существу (но в совершенно других терминах), установлен впервые

Иванов Валентин Константинович

в упомянутой работе [5], опубликованной в 1943 г. и долгое время остававшейся
незамеченной алгебраистами.
С сентября 1947 г. и до конца жизни Валентин Константинович работает в Уральском государственном университете им. А. М. Горького, с которым связан наиболее
плодотворный период его научной и педагогической деятельности. Здесь он работает
в должности доцента, затем профессора, а с 1951 по 1980 г.г., с небольшим перерывом во время пребывания в докторантуре, возглавляет кафедру математического
анализа.
В 1948 г. (за два года до выхода в свет первой части монографии Л. Шварца
по обобщенным функциям) выходит знаковая работа В. К. Иванова [10], где он
предложил конструкцию квазифункций и определил для них преобразование Фурье.
Как впоследствии оказалось, введенные В. К. Ивановым квазифункции совпадают
с распределениями медленного роста, для которых Л. Шварцем и было построено
обобщенное преобразование Фурье. Затем были опубликованы интересные работы [14, 15], в которых исследуется классическая для теории приближения задача
о равномерной аппроксимации комплекснозначной непрерывной на компакте функции квазиполиномами (линейной комбинацией системы функций) и рассматриваются тонкие свойства множества точек минимаксного уклонения квазиполинома от
функции. В этих работах, в частности, получен удобный для приложений критерий
квазиполинома наилучшего равномерного приближения, отличный от известного
критерия А. Н. Колмогорова.
Работая в Свердловском горном институте, Валентин Константинович заинтересовался проблемами, волновавшими тогда геофизиков. Их чисто геофизические
задачи показались ему интересными с математической точки зрения. Это предопределило его интерес к проблеме решения обратной задачи потенциала и другим
проблемам разведочной геофизики. В итоге в 1950-е годы вышел блестящий цикл его
работ по данной проблематике, в котором условно можно выделить три направления
исследований.
1. Проблемы единственности, эквивалентности и устойчивости в обратных задачах гравитационного потенциала.
2. Методы нахождения гармонических моментов аномальных масс по данным
гравитационных наблюдений.
3. Методы решения обратной задачи гравиметрии и аналитического продолжения
аномальных полей.
Из работ первого направления следует выделить статью [26], в которой дано
обобщение (для двумерного случая) классической теоремы П. С. Новикова о единственности решения обратной задачи потенциала для звездных тел известной постоянной плотности. А в статье [25] было показано, что в плоском случае для звездных
областей существуют естественные условия на границе области, обеспечивающие не
только единственность, но и устойчивость решения обратной задачи.
С 1953 по 1955 г.г. В. К. Иванов был докторантом Математического института
им. В. А. Стеклова АН СССР, где защитил докторскую диссертацию на тему «Исследования по обратной задаче потенциала» (1955 г.).
В работе [22], излагающей некоторые результаты докторской диссертации, приведено доказательство единственности решения обратной задачи ньютоновского потенциала для тела, близкого к заданному, в постановке более общей, чем у исследовавшего ее ранее Л. Н. Сретенского.
В работе [23], посвященной другому кругу задач, дано изящное доказательство
следующего основополагающего результата: для всякого распределения конечных
масс, заполняющих конечную область, существует эквипотенциальное распределение с постоянной плотностью.

Иванов Валентин Константинович
9

Этот результат дал мощный импульс большому числу исследований, выполненных в последующие годы А. В. Цирульским, В. Н. Страховым, С. В. Захаровым,
В. Г. Чередниченко, А. С. Моргулисом.
Из работ, относящихся ко второму направлению исследований, необходимо выделить работу [12], которая существенно обобщила и углубила исследования предшественников (Г. А. Гамбурцева, А. А. Заморева, А. П. Казанского и др.). В ней впервые
даны компактные и, самое главное, общие формулы для определения гармонических
моментов масс (относительно начала координат) внешнего гравитационного поля по
значениям внешнего потенциала V и его нормальной производной ∂V/∂z, заданным
на плоскости z = 0. Эти результаты В. К. Иванова послужили отправной точкой для
целого ряда работ других авторов, прежде всего геофизиков.
Очень важным для теории интерпретации гравитационных и магнитных аномалий являются две небольшие по объему публикации [17, 20], а также упомянутые
выше [25, 26], посвященные обратным задачам логарифмического потенциала, т. е.
третьему направлению. Они породили исключительно богатую литературу по данной
тематике других авторов, математиков и геофизиков. Эта литература содержит сотни наименований, где содержатся различные обобщения результатов В. К. Иванова
и развитие его идей (В. Н. Страхов, А. В. Цирульский, Ю. А. Шашкин, Л. Э. Казакова,
А. А. Чудинова, К. Н. Гурьянова, А. А. Козманова и др.).
В указанных работах В. К. Иванов впервые использовал идею характеризации
односвязной области D, занятой массами, с помощью конформного отображения
единичного круга на область D. Для определения этой функции в случае масс в D
постоянной плотности им было построено интегральное уравнение, названное уравнением обратной задачи логарифмического потенциала, и исследованы условия конечной разрешимости таких задач, когда интегральное уравнение редуцируeтся к системе нелинейных уравнений для определения параметров конформного отображения.
В уже упомянутой выше работе [23] получены очень важные для разведочной
геофизики формулы расстояния от плоскости z = 0 (прямой y = 0) до множества
особенностей потенциала в пространственном и плоском случае.
По мнению многих авторитетных ученых исследования В. К. Иванова в области
обратных задач потенциала имеют для геофизиков непреходяшее значение.
Занимаясь обратной задачей потенциала, В. К. Иванов получил ряд глубоких
результатов в теории аналитических и гармонических функций нескольких переменных [23, 24, 27–32, 34, 36], в частности, им доказаны аналоги теорем Пойа о связи
индикатрисы роста целой функции с опорной функцией выпуклой оболочки особенностей ассоциированной с ней функции [23, 24]. Предложен подход к изучению роста
целых функций многих комплексных переменных [27, 28] и рассмотрены приложения
к суммированию кратных степенных рядов. Столь же значимы его результаты в аналитической теории чисел, связанные с обобщением тождеств Вороного–Харди [31]
и многомерных сумматорных формул Эйлера [34, 36].
Обратные задачи потенциала, как правило, сводятся к решению линейных
и нелинейных уравнений Фредгольма первого рода, которые не удовлетворяют
классическим условиям корректности Адамара. Это обстоятельство, по-видимому,
и предопределило интерес Валентина Константиновича к исследованию общей теории
некорректно поставленных задач и методов их решения в начале 60-х годов.
С помощью введенного В. К. Ивановым понятия квазирешения (см. [33, 37]) как
элемента u, реализующего

min{||Au − f|| : u ∈ K} = ||Au − f||

на компактном множестве K, удалось решить проблему существования (квази) решения и построить первый вариационный метод (известный ныне как метод квазирешений Иванова) конструирования устойчивых приближенных решений операторных

Иванов Валентин Константинович

уравнений первого рода в гильбертовых и нормированных пространствах. Результаты этих работ были обобщены Валентином Константиновичем (см. [41, 44, 46, 58])
и другими авторами (И. Н. Домбровская, О. А. Лисковец) в различных направлениях,
в частности, был построен аналог метода квазирешений для топологических пространств и нелинейных операторов. Необходимо отметить, что метод квазирешений,
наряду с методом регуляризации А. Н. Тихонова, является наиболее востребованным
методом решения широкого класса задач естествознания.
В. К. Иванову также принадлежит обоснование еще одного вариационного метода — метода невязки, идея которого была предложена американским математиком
Д. Филлипсом. В работе [47] для уравнения с нелинейным непрерывным оператором
доказана теорема сходимости метода невязки с использованием идеи компактного вложения. Случай линейного оператора, как непрерывного, так и замкнутого,
был исследован в работах учеников В. К. Иванова (И. Н. Домбровская, В. В. Васин,
В. П. Танана). В. А. Морозовым был предложен связанный с этим методом принцип
невязки в качестве регулярного правила выбора параметра регуляризации в методе
Тихонова.
Дальнейшее направление исследований В. К. Иванова было сосредоточено на
проблеме характеризации множеств равномерной регуляризации и связанной с ней
проблеме оценок погрешности вариационных методов регуляризации.
Полное решение этой проблемы было дано в работе [48], где получен следующий
замечательный результат.
Пусть A — линейный вполне непрерывный оператор. Для того чтобы множество M было множеством равномерной регуляризации, необходимо и достаточно, чтобы оно было представимо в виде алгебраической суммы компакта
и конечномерного пространства.
Знание модуля непрерывности обратного оператора позволяет получить оценку погрешности метода решения операторного уравнения. В совместной работе
с Т. И. Королюк [57] для важного случая, когда оператор задачи коммутирует с информационным оператором, были получены конструктивные формулы для модуля
непрерывности, что позволило создать новый эффективный аппарат в теории оценок
погрешности методов решения некорректно поставленных задач, который широко
использовался в работах учеников Валентина Константиновича и его последователей.
Очень интересна работа [53], в которой для интегральных уравнений Фредгольма сформулированы необходимые и достаточные условия на выбор параметра
регуляризации (в зависимости от погрешности исходных данных) для сходимости
регуляризованных по Тихонову решений в пространствах L2[a, b], C[a, b].
Еще один подход, который развивал В. К. Иванов при построении регуляризованного семейства приближенных решений, основывался на использовании частичных
сумм Фурье при соответствующем выборе числа членов ряда, согласованном с погрешностью исходных данных [48, 55].
Не менее интересным и значительным был вклад В. К. Иванова в развитие устойчивых методов решения неклассических задач математической физики [40, 42, 65].
Исследования по некорректным задачам были подытожены в монографии [82] (в соавторстве с В. В. Васиным, В. П. Тананой), переизданной за рубежом [112].
В. К. Иванов, вместе с А. Н. Тихоновым и М. М. Лаврентьевым, является общепризнанным основоположником теории некорректно поставленных задач — теории,
существенно преобразившей облик современного естествознания. За цикл работ по
теории некорректных задач В. К. Иванову и А. Н. Тихонову в 1966 г. была присуждена
Ленинская премия.
В 1970 г. В. К. Иванов избирается членом-корреспондентом АН СССР по Отделению математики.
С 1961 г. в связи с созданием Свердловского отделения Математического института им. В. А. Стеклова Валентин Константинович Иванов — один из его первых

Иванов Валентин Константинович
11

сотрудников, в течение многих лет возглавляет отдел математического анализа,
основная тематика которого была связана с обобщенными функциями (называемыми
также распределениями). Теория обобщенных функций — это еще одно направление
исследований, которым В. К. Иванов занимался в течение всей своей творческой
жизни.
Начало этому направлению положили уже упомянутая пионерская работа [10],
затем [11], по обобщенному преобразованию Фурье, определенному на квазифункциях. Квазифункции введены как идеальные элементы, являющиеся образами некоторого семейства операторов на пространстве интегрируемых функций. Предложенная конструкция пространства квазифункций, содержащего интегрируемые функции,
медленно растущие функции и их «обобщенные производные», позволила определить
для них обобщенное преобразование Фурье. Данное определение корректно в том
смысле, что обобщенное преобразование Фурье совпадает с классическим на тех
элементах, где это преобразование определено. Эти работы расширили возможности
метода интегральных преобразований в теории линейных уравнений математической
физики.
Подавляющая часть работ В. К. Иванова в теории обобщенных функций посвящена проблеме умножения обобщенных функций, которая возникает при решении нелинейных дифференциальных уравнений. Суть этой актуальной проблемы заключается
в том, что на пространстве распределений нельзя ввести произведение со свой-

ством ассоциативности:
1

x · x
· δ = δ ̸= 1

x · (x · δ) = 0, что затрудняет применение
распределений в нелинейном анализе. В серии работ, выполненных В. К. Ивановым
в 70-е–80-е годы, были предложены различные подходы к определению произведения
распределений, среди которых можно выделить два основных.
Первый подход — это построение подалгебр пространства распределений,
содержащих наиболее важные для приложений обобщенные функции. В работах [63, 67, 77, 80, 83–85] предложена конструкция различных произведений и соответствующих (ассоциативных и коммутативных) подалгебр, содержащих такие
распределения как дельта-функция и ее производные, а также главные части по
Адамару функций f(x) = 1/xn, функцию Хевисайда и др.
Второй подход — это построение некоторой алгебры, являющейся расширением
пространства распределений. Впоследствии такой подход был успешно применен
Д. Ф. Коломбо в построенной им теории умножения. В работах [64, 81, 88–90] пространства распределений расширяются до алгебр, построенных на основе применения
различных методов: метода асимптотических разложений, метода аппроксимации
распределений бесконечно дифференцируемыми функциями и метода аппроксимации
комбинациями аналитических функций в верхней и нижней полуплоскостях.
Некоторые из результатов по умножению обобщенных функций и их приложениям изложены в монографии [106] (совместно с В. В. Перминовым).
Работы по обобщенным функциям последнего периода посвящены решению проблем устранения расходимостей разного рода, возникающих при исследовании задач,
некорректных по Адамару, в квантовой теории поля и других областях естествознания.
В работах [95, 96, 105, 107] предложена конструкция квазизначений, позволяющих выделить некоторую регулярную часть в расходящихся рядах, интегралах
и S-матрицах, подобно главной части по Адамару.
В работах [103, 108, 110] предложена конструкция обобщенных функций, к которым применимы неограниченные операторы, более общие, чем дифференциальные,
что обеспечило применение построенных обобщенных функций к исследованию
широкого класса операторных и дифференциально-операторных уравнений.
Эти результаты отражены в монографии [111] (совместно с И. В. Мельниковой и А. И. Филинковым).

Иванов Валентин Константинович

Следует особо отметить неповторимый стиль, характерный для работ Валентина
Константиновича: тщательность в исполнении замысла, ясность и лаконичность
изложения материала, простота и отточеность формулировок.
В. К. Иванова глубоко волновали не только актуальные проблемы математики, но
и философские аспекты взаимоотношений теоретических и прикладных исследований
в науке. По его мнению, в науке должен быть синтез теории и прикладных исследований. С одними прикладными задачами без серьезного математического обобщения
на высокий уровень не выйдешь. Но и одна «чистая» математика малопродуктивна.
Практика как бы оплодотворяет теорию, дает толчок для развития и подсказывает
проблематику исследований. Он образно сравнивал чистую математику с Антеем,
который будучи оторван от земли, теряет жизненную силу.
Дар ученого успешно сочетался у Валентина Константиновича с талантом педагога. За время работы в Уральском университете он прочитал практически все
математические курсы, в которых он всегда касался интересных моментов истории
математических идей и методов, их значимости в других областях и использования
в приложениях. Его лекции отличались необычайной эмоциональностью, элегантностью и цельностью, увлекали слушателей и производили глубокое впечатление.
Под руководством В. К. Иванова на кафедре математического анализа в Уральском университете в течение многих лет работал научный семинар, на котором
постоянно выступали начинающие молодые математики и маститые ученые из вузов
и научно-исследовательских институтов Свердловска и многих других городов СССР.
Все они неизменно отмечали атмосферу доброжелательности и заинтересованного
обсуждения, царившую на этом семинаре, и удивительную эрудицию Валентина
Константиновича, которая производила неизгладимое впечатление.
Научно-педагогическая деятельность В. К. Иванова в Уральском университете
в большой степени способствовала превращению университета в крупный центр математического образования и математической науки на Урале. Значительной и плодотворной для науки и образования была организаторская деятельность В. К. Иванова:
проректор университета по научной работе, председатель правления Уральского
математического общества, председатель Совета по защите диссертаций, член редколлегии ряда научных журналов, член Межведомственного Совета по координации
научных исследований при Президиуме УрО АН СССР, член научно-методического
Совета при Минвузе СССР по математике и др.
Несмотря на мягкость и изумительную скромность, Валентин Константинович
всегда проявлял принципиальность и твердость, когда дело касалось его убеждений.
Его жизненным кредо было — ни при каких обстоятельствах не терять своего
достоинства, не идти на сделки с совестью. Любил цитировать немецкую пословицу:

Gelden verloren — nichts verloren,
Zeit verloren — wenig verloren,
Freund verloren — viel verloren,
Sich verloren — alles verloren.
(Деньги потерять — ничего не потерять, время потерять — немного потерять, друга
потерять — много потерять, себя потерять — все потерять.)
Валентин Константинович был человеком широких интересов и незаурядных
способностей: он с увлечением занимался изучением языков, хорошо знал немецкий,
английский, французский и итальянский языки, имел глубокие знания в истории,
живописи и литературе.
Глубина и богатство научных идей, интеллигентность, исключительная щедрость
и доброжелательность сделали его для многих Учителем.

В. Н. Страхов, В. В. Васин, В. В. Арестов
К. Н. Гурьянова, И. В. Мельникова, Л. Н. Шеврин

Р а з д е л I
АЛГЕБРА
И ТЕОРИЯ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ

О СВОЙСТВАХ КОЭФФИЦИЕНТОВ
НЕПРИВОДИМЫХ УРАВНЕНИЙ ДЕЛЕНИЯ КРУГА*

Решение одной задачи, предложенной Н. Г. Чеботаревым в четвертом выпуске
«Успехов математических наук».

1. Обозначим через Xm неприводимый делитель полинома xm − 1, корнями которого являются первообразные m-е корни из единицы. При небольших
значениях m коэффициенты полинома Xm имеют лишь значения −1, 0 или 1.
Н. Г. Чеботаревым в четвертом выпуске «Успехов математических наук» [1]
поставлен вопрос: не является ли это свойство общим для всех полиномов
Xm при любом m? Мы даем на этот вопрос отрицательный ответ: указанное
свойство действительно справедливо для таких m, число различных простых
делителей которых не превышает двух. Но мы покажем, что при достаточно
большом числе различных простых делителей у числа m существуют полиномы Xm, некоторые из коэффициентов которых превосходят по абсолютной величине любое наперед заданное число. Наименьшее значение m, при котором
Xm обладает коэффициентом, отличным от −1, 0 и 1, есть m = 105 = 3 · 5 · 7;
для него Xm имеет вид

X105 = x48 + x47 + x46 − x43 − x42 − 2x41 − x40 − x39 + x36 + x35+

+ x34 + x33 + x32 + x31 − x28 − x26 − x24 − x22 + x17 + x16+

+ x15 + x14 + x13 + x12 − x9 − x8 − 2x7 − x6 − x5 + x2 + x + 1.
(1)

2. Степень полинома Xm есть

h = ϕ(m),
(2)

где ϕ(m) функция Эйлера. Положим

Xm(x) = xh + ah−1xh−1 + ... + a2x2 + a1x + 1
(3)

* Успехи мат. наук. 1941. Вып. 9. С. 313–317.