Линейная алгебра и геометрия

УДК 512.64
ББК 22.143
Ш 30

Ш а ф а р е в и ч
И. Р.,
Р е м и з о в
А. О.
Линейная
алгебра
и
геометрия.
—
М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009. — 512 с. — ISBN 978-5-9221-1139-3.

Книга представляет собой курс линейной алгебры и геометрии, основанный на лекциях,
которые на протяжении многих лет читались одним из авторов на механико-математическом
факультете Московского государственного университета.
Изложение предмета начинается с теории линейных уравнений и матриц и далее ведется
на языке векторных пространств. В книге также изложена теория аффинных и проективных
пространств. Кроме того, включены некоторые темы, естественно примыкающие к линейной
алгебре, но обычно в таких курсах не рассматриваемые: внешние алгебры, геометрия Лобачевского, топологические свойства проективных пространств, теория квадрик в многомерных
аффинных и проективных пространствах, разложения конечных абелевых групп и конечнопорожденных периодических модулей (аналогичные теореме о жордановой нормальной
форме линейного преобразования). Изложение сопровождается примерами, иллюстрирующими
применение изучаемой теории. Рассматриваются ее связи с другими разделами математики,
включая теорию дифференциальных уравнений, дифференциальную геометрию и механику.
Книга рассчитана на студентов и преподавателей математических и физико-математических специальностей.
Рекомендовано Научно-методическим советом по математике Министерства образования
и науки Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов высших учебных
заведений, обучающихся по направлению 0101 — «Математика» и 0107 — «Физика».

ISBN 978-5-9221-1139-3

c⃝ ФИЗМАТЛИТ, 2009

c⃝ И. Р. Шафаревич, А. О. Ремизов, 2009

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .
6

Предварительные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
§ 1.
Множества и отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
§ 2.
Некоторые топологические понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Г л а в а 1.
Линейные уравнения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
§ 1.1.
Линейные уравнения и функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
§ 1.2.
Метод Гаусса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
§ 1.3∗.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Г л а в а 2.
Матрицы и определители . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
§ 2.1.
Определители второго и третьего порядков . . . . . . . . . . . . . . . 40
§ 2.2.
Определители произвольного порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
§ 2.3.
Характеристика определителя его свойствами . . . . . . . . . . . . . 51
§ 2.4.
Разложение определителя по столбцу . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
§ 2.5.
Правило Крамера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
§ 2.6.
Перестановки, симметрические и антисимметрические функции . . . 58
§ 2.7.
Полное развертывание определителя
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
§ 2.8.
Ранг матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
§ 2.9.
Операции над матрицами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
§ 2.10.
Обратная матрица . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Г л а в а 3.
Векторные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
§ 3.1.
Определение векторного пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
§ 3.2.
Размерность и базис . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
§ 3.3.
Линейные преобразования векторных пространств . . . . . . . . . . . 111
§ 3.4.
Замена координат
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
§ 3.5.
Изоморфизм векторных пространств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
§ 3.6.
Ранг линейного преобразования
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
§ 3.7.
Сопряженное пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
§ 3.8.
Формы и многочлены от векторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

Г л а в а 4.
Линейные преобразования пространства в себя . . . . . . . . . . 141
§ 4.1.
Собственные векторы и инвариантные подпространства . . . . . . . . 141
§ 4.2.
Комплексные и вещественные пространства
. . . . . . . . . . . . . . 149
§ 4.3.
Комплексификация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
§ 4.4.
Ориентация вещественного пространства . . . . . . . . . . . . . . . . 161

Г л а в а 5.
Жорданова нормальная форма
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
§ 5.1.
Корневые векторы и циклические подпространства
. . . . . . . . . . 168
§ 5.2.
Жорданова нормальная форма (разложение) . . . . . . . . . . . . . . 172
§ 5.3.
Жорданова нормальная форма (единственность) . . . . . . . . . . . . 176
§ 5.4.
Вещественные векторные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
§ 5.5∗.
Приложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

Оглавление

Г л а в а 6.
Квадратичные и билинейные формы . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
§ 6.1.
Основные определения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
§ 6.2.
Приведение к каноническому виду . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
§ 6.3.
Комплексные, вещественные и эрмитовы формы . . . . . . . . . . . . 208

Г л а в а 7.
Евклидовы пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
§ 7.1.
Определение евклидова пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
§ 7.2.
Ортогональные преобразования
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
§ 7.3∗.
Ориентация евклидова пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
§ 7.4∗.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
§ 7.5.
Симметрические преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
§ 7.6∗.
Приложения к механике и геометрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
§ 7.7.
Псевдоевклидовы пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
§ 7.8.
Лоренцевы преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

Г л а в а 8.
Аффинные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
§ 8.1.
Определение аффинного пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
§ 8.2.
Аффинные подпространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
§ 8.3.
Аффинные преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
§ 8.4.
Евклидовы аффинные пространства и движения . . . . . . . . . . . . 309

Г л а в а 9.
Проективные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
§ 9.1.
Определение проективного пространства . . . . . . . . . . . . . . . . 318
§ 9.2.
Проективные преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
§ 9.3.
Двойное отношение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
§ 9.4∗.
Топологические свойства проективных пространств . . . . . . . . . . 337

Г л а в а 10. Внешнее произведение и внешняя алгебра
. . . . . . . . . . . . . 346
§ 10.1.
Плюккеровы координаты подпространства
. . . . . . . . . . . . . . . 346
§ 10.2.
Соотношения Плюккера и грассманианы . . . . . . . . . . . . . . . . 350
§ 10.3.
Внешнее произведение векторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
§ 10.4∗. Внешняя алгебра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
§ 10.5∗. Приложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370

Г л а в а 11. Квадрики
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
§ 11.1.
Квадрики в проективном пространстве
. . . . . . . . . . . . . . . . . 379
§ 11.2.
Квадрики в комплексном проективном пространстве
. . . . . . . . . 388
§ 11.3.
Изотропные подпространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
§ 11.4.
Квадрики в вещественном проективном пространстве . . . . . . . . . 402
§ 11.5.
Квадрики в вещественном аффинном пространстве . . . . . . . . . . 407
§ 11.6.
Квадрики в аффинном евклидовом пространстве . . . . . . . . . . . . 418
§ 11.7∗. Квадрики на вещественной плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421

Г л а в а 12. Геометрия Лобачевского
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426
§ 12.1∗. Пространство Лобачевского . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427
§ 12.2∗. Аксиомы геометрии на плоскости
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436
§ 12.3∗. Некоторые формулы геометрии Лобачевского . . . . . . . . . . . . . . 447

Г л а в а 13. Группы, кольца, модули . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458
§ 13.1.
Группы и гомоморфизмы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458
§ 13.2.
Разложение конечных абелевых групп . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466
§ 13.3.
Единственность разложения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471
§ 13.4∗. Конечнопорожденные периодические модули над евклидовым кольцом . . 473

Оглавление
5

Г л а в а 14. Элементы теории представлений
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485
§ 14.1.
Основные понятия теории представлений . . . . . . . . . . . . . . . . 485
§ 14.2.
Представления конечных групп
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491
§ 14.3.
Неприводимые представления
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496
§ 14.4.
Представления коммутативных групп . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498
Историческая справка . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .
502

Список литературы . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .
504
Предметный указатель . .. . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
506

Предисловие

Настоящая книга следует содержанию лекций по линейной алгебре и геометрии многомерных пространств, которые читались в 1950–70-х годах
И. Р. Шафаревичем на механико-математическом факультете Московского
университета.
Некоторая часть конспекта лекций до сих пор хранится в библиотеке
этого факультета, и эти записи были положены в основу книги. Кроме того,
мы включили некоторые вопросы, разбиравшиеся на студенческих семинарах,
которые проводились в то время. Обработка всего материала является результатом совместного труда обоих авторов.
В этой книге мы используем без доказательства некоторые результаты
из алгебры многочленов, которые обычно доказываются в стандартном курсе
алгебры (хронологически их изложение помещается приблизительно между
2-ой и 5-ой главами книги). Этих алгебраических фактов, которыми мы
пользуемся без доказательства, совсем немного: возможность деления одного
многочлена на другой с остатком; теорема о том, что многочлен с комплексными коэффициентами имеет комплексный корень; что каждый многочлен
с вещественными коэффициентами может быть разложен в произведение
неприводимых сомножителей первой и второй степени; теорема о том, что
число корней не равного тождественно нулю многочлена не превосходит его
степени.
Наглядную основу данного курса давал предшествовавший ему вводный
курс аналитической геометрии, на который мы будем эпизодически ссылаться.
Кроме того, в книгу включены некоторые примеры и сюжеты, не являющиеся
неотъемлемой частью курса линейной алгебры и геометрии и носящие в основном иллюстративный характер. Соответствующие параграфы при желании
могут быть опущены, они отмечены звездочкой.
Для удобства читателя в книге принята следующая система обозначений. Для векторных пространств будет использоваться рубленый шрифт:
L, M, N, ... , для векторов — жирный: x, y, z, ... Линейные преобразования мы
будем обозначать рукописными буквами: A , B, C , ..., а соответствующие им
матрицы — обычными: A, B, C, ...
Авторы очень благодарны М. И. Зеликину, Д. О. Орлову и Я. В. Татаринову, прочитавшим части предварительного варианта этой книги и сделавшим
ряд полезных замечаний и предложений. Авторы глубоко благодарны также
редактору книги С. Кулешову, очень внимательно прочитавшему рукопись. По
его советам был сделан ряд важных изменений и дополнений. В частности,
некоторые разделы книги не появились бы в теперешнем виде без его участия.

Авторы

ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

В этой книге мы будем использовать некоторые теоретико-множественные
понятия. Они присутствуют в большинстве математических курсов, так что,
возможно, некоторым читателям уже знакомы, но для удобства мы их сейчас
напомним.

§ 1. Множества и отображения

Под множеством мы будем понимать совокупность совершенно произвольных объектов, выделенных четко сформулированными свойствами (например, множество всех чисел, множество положительных чисел, множество
решений некоторого уравнения, множество точек, составляющих некоторую
геометрическую фигуру, множество волков или деревьев в лесу и т. д.). Если
множество содержит конечное число элементов, то оно называется конечным,
в противном случае оно называется бесконечным. Мы будем пользоваться
общепринятыми теперь обозначениями, обозначая множество натуральных
чисел через N, множество целых чисел через Z, множество рациональных
чисел через Q, множество вещественных (или, что то же самое, действительных) чисел через R, множество комплексных чисел через C. Множество натуральных чисел, не превосходящих данного числа n, т. е. состоящее
из 1, 2, ... , n, мы обозначим через Nn. Объекты, составляющие множество,
называются его элементами или точками. То, что x является элементом
множества M, обозначается как x ∈ M. Если же нужно указать, что x
не является элементом множества M, то пишут x /∈ M.
Множество S, содержащееся в множестве M (т. е. каждый элемент множества S является элементом множества M) называется его подмножеством.
Это записывается как S ⊂ M. Например, Nn ⊂ N для любого n, а также
N ⊂ Z, Z ⊂ Q, Q ⊂ R и R ⊂ C. Подмножество, состоящее из элементов
xα ∈ M (где индекс α пробегает конечное или бесконечное множество),
обозначается {xα}. К числу подмножеств множества M удобно причислять
и подмножество, не содержащее ни одного элемента. Оно называется пустым
и обозначается символом ∅.
Пусть M и N — два произвольных множества. Совокупность тех элементов, которые содержатся и в M, и в N, называется пересечением M и N
и обозначается как M ∩ N. Если M ∩ N = ∅, то говорят, что множества M
и N непересекающиеся. Совокупность тех элементов, которые содержатся
хотя бы в одном из множеств M и N, называется объединением M и N
и обозначается через M ∪ N. Наконец, совокупность тех элементов, которые
содержатся в множестве M, но не содержатся в N, называется дополнением
N в M и обозначается символом M \ N.

Предварительные сведения

Говорят, что на множестве M задано отношение эквивалентности, если
для каждой пары элементов x и y этого множества определено одно из
двух: либо элементы x и y эквивалентны (что обозначается как x ∼ y), либо
они не эквивалентны (x ̸∼ y), при этом должны быть выполнены следующие
условия:
1) каждый элемент эквивалентен сам себе: x ∼ x (рефлексивность).
2) если x ∼ y, то y ∼ x (симметричность).
3) если x ∼ y и y ∼ z, то x ∼ z (транзитивность).
Если на множестве M задано отношение эквивалентности, то множество M представимо в виде объединения (конечного или бесконечного)
подмножеств Mα, называемых классами эквивалентности и обладающих
следующими свойствами:
а) Каждый элемент x ∈ M содержится в некотором подмножестве Mα,
причем только в одном. Другими словами, разные подмножества Mα
не пересекаются и их объединение (конечное или бесконечное) дает
все множество M.
б) Элементы x и y эквивалентны (x ∼ y), если и только если они принадлежат одному и тому же подмножеству Mα.
Очевидно, что и наоборот, если задано представление множества M в виде
объединения подмножеств Mα, удовлетворяющее свойству а), то, положив
x ∼ y, тогда и только тогда, когда эти элементы принадлежат одному и тому
же подмножеству Mα, мы получим некоторое отношение эквивалентности
на M.
Из приведенных рассуждений видно, что данное определение эквивалентности совершенно абстрактно — в нем не указано, каким именно образом
устанавливается, эквивалентны ли друг другу элементы x и y, или нет.
Нужно лишь, чтобы были выполнены общие свойства 1–3. Поэтому на одном
и том же множестве M могут быть заданы совершенно различные отношения
эквивалентности.
Приведем несколько примеров. Пусть M — множество натуральных чисел N. Тогда на нем можно задать отношение эквивалентности, определив
x ∼ y, если они имеют одинаковый остаток от деления на некоторое число
n ∈ N. Очевидно, что свойства 1–3 при этом выполняются, и N представимо в виде объединения n классов (при n = 1 все натуральные числа
эквивалентны друг другу, при n = 2 есть два класса — четных и нечетных
чисел и т. д.). Пусть M — множество точек на плоскости или в пространстве.
Можно задать на нем отношение эквивалентности, положив x ∼ y, если
точки x и y находятся на одинаковом расстоянии от некоторой фиксированной
точки O, тогда классы эквивалентности — это все окружности (в случае
плоскости) или сферы (в случае пространства) с центром в точке O. Если
же, например, считать эквивалентными точки, расстояние между которыми
одинаково, то отношение эквивалентности не получится, так как свойство
транзитивности при этом не выполнено.
В нашем курсе мы не раз встретимся с различными отношениями эквивалентности (например, на множестве квадратных матриц).
Отображением множества M в множество N называется правило, по которому каждому элементу множества M сопоставляется определенный эле

1. Множества и отображения
9

мент из N. Например, если M — множество всех медведей, живущих сейчас
на земном шаре, и N — множество положительных чисел, то сопоставление
каждому медведю его веса (измеренного, например, в килограммах) является
отображением M в N. Отображение множества M в N мы будем называть
также функцией на M со значениями в N. Чаще всего сам способ сопоставления обозначается буквами f, g, ... или F, G, .... Отображение множества M
в N обозначают стрелкой и записывают в виде f: M → N. При этом элемент
y ∈ N, сопоставляемый элементу x ∈ M, называется значением функции f
в точке x. Это записывается с помощью стрелки f: x → y, или равенства
y = f(x). Далее мы часто будем изображать отображения множеств в виде
диаграмм:
M
f
−−−−→ N.
В случае, если множества M и N совпадают, f: M → M называется отображением M в себя. Отображение множества M в себя, которое сопоставляет
каждому элементу x ∈ M этот же элемент, называется тождественным
или единичным. Оно обозначается буквой e или, если важно подчеркнуть,
о каком именно множестве M идет речь, через eM. Таким образом, в наших
обозначениях eM: M → M и eM(x) = x для любого x ∈ M.
Отображение f: M → N называется вложением, если разным элементам
множества M сопоставляются разные элементы множества N, т. е. из равенства f(x1) = f(x2) следует, что x1 = x2.
Если S ⊂ N — некоторое подмножество и f: M → N — отображение,
то совокупность всех элементов x ∈ M, для которых f(x) ∈ S, называется
прообразом подмножества S и обозначается f −1(S). В частности, если S состоит из одного элемента y ∈ N, то f −1(S) называется прообразом элемента y
и обозначается символом f −1(y). Используя этот термин, мы можем сказать,
что отображение f: M → N является вложением в том и только том случае,
когда для любого элемента y ∈ N его прообраз f −1(y) состоит не более
чем из одного элемента. Слова «не более чем» означают, что для некоторых
элементов y ∈ N прообраз может быть пустым. Например, пусть M = N = R
и отображение f сопоставляет каждому числу x значение f(x) = arctg x.
Тогда f является вложением, причем прообраз f −1(y) состоит из одного
элемента, если |y| < π/2, и является пустым множеством, если |y| ⩾ π/2.
Если S ⊂ M — некоторое подмножество и f: M → N — отображение,
то совокупность тех элементов y ∈ N, для которых y = f(x) при некотором
x ∈ S, называется образом подмножества S и обозначается как f(S). В частности, подмножество S может совпадать со всем M, тогда f(M) называется
образом отображения f. Заметим, что образ f не обязан совпадать со всем
множеством N. Например, если M = N = R и f — операция возведения
в квадрат, то f(M) является множеством всех неотрицательных чисел и не
совпадает со всем множеством R.
Если S ⊂ M — некоторое подмножество и f: M → N — отображение,
то, будучи применено только к элементам множества S, оно определяет
отображение f: S → N, называемое сужением или ограничением отображения f на S. Другими словами, ограничение заключается в том, что для
каждого элемента x ∈ S мы определяем f(x) так же, как и прежде, а для

Предварительные сведения

всех x /∈ S отображение не рассматриваем. Напротив, если изначально мы
имели отображение f: S → N, заданное только на подмножестве S, но потом
каким-то образом определили значения f(x) для всех остальных элементов
x ∈ M \ S, то в результате мы получим отображение f: M → N, которое
называется продолжением f на M.
Отображение f: M → N называется взаимно-однозначным, если оно
является вложением и образ f(M) совпадает со всем множеством N, т. е.
f(M) = N. Это равносильно тому, что для каждого элемента y ∈ N существует, причем ровно один, элемент x ∈ M, для которого y = f(x). В этом случае
можно определить отображение множества N в M, которое сопоставляет
каждому элементу y ∈ N тот единственный элемент x ∈ M, для которого
f(x) = y. Такое отображение называется обратным к f и обозначается
f −1: N → M.
Пусть теперь заданы множества
M, N, L
и их отображения
f: M → N
и g: N → L, см. диаграмму:

M
f
−−−−→ N
g
−−−−→ L.
(1)

Тогда последовательное выполнение f и g определяет некоторое отображение
M в L по очевидному правилу — первое отображение f: M → N ставит в соответствие каждому элементу x ∈ M элемент y ∈ N, а второе отображение
g: N → L ставит в соответствие этому элементу y некоторый элемент z ∈ L.
Полученное таким образом отображение M в L называется произведением
отображений f и g и обозначается g · f, или короче, gf. Согласно сделанным
обозначениям, оно определяется формулой

(g · f)(x) = g(f(x))
(2)

для любого x ∈ M. Заметим, что в формуле (2) буквы f и g, обозначающие отображения, стоят в порядке, противоположном тому, который был
в диаграмме (1). Как мы позже убедимся, такой порядок записи имеет ряд
преимуществ.
В качестве примера произведения отображений приведем очевидные равенства
eN · f = f,
f · eM = f,

справедливые для любого отображения f: M → N, а также равенства

f · f −1 = eN,
f −1 · f = eM,

справедливые для любого взаимно-однозначного отображения f: M → N.
Произведение отображений обладает важным свойством. Пусть кроме
отображений, изображенных на диаграмме (1), имеется еще отображение
h: L → K, где K — произвольное множество. Тогда выполнено соотношение

h · (g · f) = (h · g) · f.
(3)

Проверка сразу следует из определений. Прежде всего, очевидно, что в обеих
частях равенства (3) стоят отображения множества M в K. Следовательно,
нам нужно доказать, что, будучи примененными к любому элементу x ∈ M,

1. Множества и отображения
11

они дают один и тот же элемент множества K. Согласно определению (2),
для левой части равенства (3) мы имеем

h · (g · f)(x) = h((g · f)(x)),
(g · f)(x) = g(f(x)).

Подставляя второе равенство в первое, окончательно получаем h·(g·f)(x) =
= h(g(f(x))). Аналогичное рассуждение показывает, что для правой части
соотношения (3) имеет место точно такое же выражение.
Свойство, выраженное формулой (3), называется ассоциативностью.
Ассоциативность играет важную роль как в нашем курсе, так и в других
разделах математики, поэтому сейчас мы остановимся на ней подробнее. При
этом для общности мы будем рассматривать множество M произвольных
объектов (ими могут быть числа, матрицы, отображения и т. д.), для которых
определена операция произведения, сопоставляющая двум элементам a ∈ M
и b ∈ M некоторый элемент ab ∈ M, называемый их произведением, и обладающая свойством ассоциативности:

(ab)c = a(bc).
(4)

Смысл условия (4) заключается в том, что без него мы можем вычислить
произведение элементов a1, ... , am при m > 2, только если указана расстановка скобок, позволяющая каждый раз перемножать два соседних элемента.
Например, при m = 3 мы имеем два варианта расстановки скобок: (a1a2)a3
и a1(a2a3), при m = 4 — пять вариантов:

((a1a2)a3)a4, (a1(a2a3))a4, (a1a2)(a3a4), a1((a2a3)a4), a1(a2(a3a4))

и т. д. Оказывается, если для случая трех сомножителей (m = 3) произведение не зависит от способа расстановки скобок (т. е. выполнено свойство
ассоциативности), то оно не будет зависеть от способа расстановки скобок
и при любом числе сомножителей.
Это утверждение легко доказывается индукцией по m. Действительно,
пусть оно верно для всех произведений m и меньше элементов. Рассмотрим произведение m + 1 элементов a1, ... , am, am+1 при всех возможных
способах расстановки скобок в нем. Как легко видеть, при этом возможны два альтернативных случая: либо между элементами am и am+1 нет
скобки, либо она есть. Так как, по предположению индукции, утверждение верно для a1, ... , am, то в первом случае мы получим произведение
(a1 · · · am−1)(amam+1), а во втором — (a1 · · · am)am+1 = ((a1 · · · am−1)am)am+1.
Введя обозначения: a = a1 · · · am−1, b = am и c = am+1, мы получим произведения a(bc) и (ab)c, равенство которых следует из свойства (4).
В частном случае, когда a1 = · · · = am = a, произведение a1 · · · am обозначается am и называется m-ой степенью элемента a.
С произведением отображений связано и другое важное понятие.
Пусть R — некоторое фиксированное множество. Обозначим через F(M, R)
совокупность всех отображений M → R и, аналогично, через F(N, R) —
совокупность всех отображений N → R. Тогда с каждым отображением
f: M → N связано определенное отображение f ∗: F(N, R) → F(M, R), которое называется сопряженным к f и задается следующим образом. Каж

Предварительные сведения

дому отображению ϕ ∈ F(N, R) оно ставит в соответствие отображение
f ∗(ϕ) ∈ F(M, R) по формуле

f ∗(ϕ) = ϕ · f.
(5)

Формула (5) означает, что для любого элемента x ∈ M выполнено равенство
f ∗(ϕ)(x) = ϕ · f(x), что можно выразить также в виде следующей диаграммы:

M
f∗(ϕ)

f

R .

N

ϕ

Мы встречаемся здесь с важным общематематическим фактом: функции
отображаются в противоположную сторону по сравнению с элементами
множеств, на которых они заданы. Это явление проявится и в нашей
книге, и позже, в других курсах по отношению к более сложным объектам
(например, дифференциальным формам).
Сопряженное отображение f ∗ обладает следующим важным свойством:
если мы имеем отображения множеств, изображенные на диаграмме (1), то

(g · f)∗ = f ∗ · g∗.
(6)

Действительно, мы имеем сопряженные отображения:

F(L, R)
g∗
−−−−→ F(N, R)
f∗
−−−−→ F(M, R).

По определению, для g · f: M → L сопряженное отображение (g · f)∗
является отображением F(L, R) в F(M, R). Как видно из (2), f ∗ · g∗ также
является отображением тех же множеств. Нам остается доказать, что (g · f)∗
и f ∗ · g∗ переводят каждый элемент ψ ∈ F(L, R) в один и тот же элемент
множества F(M, R). Согласно определению (5), мы имеем

(g · f)∗(ψ) = ψ · (g · f).

Аналогично, с учетом (2), получаем соотношение

f ∗ · g∗(ψ) = f ∗(g∗(ψ)) = f ∗(ψ · g) = (ψ · g) · f.

Таким образом, для доказательства равенства (6) достаточно проверить свойство ассоциативности: ψ · (g · f) = (ψ · g) · f.
До сих пор мы рассматривали отображения (функции) от одного аргумента. Определение функций от нескольких аргументов сводится к этому
понятию с помощью операции произведения множеств.
Пусть M1, ... , Mn — произвольные множества. Рассмотрим упорядоченные наборы (x1, ... , xn), где xi — произвольный элемент множества Mi. Слово
«упорядоченные» означает, что в наборах учитывается порядок следования
элементов xi. Например, в случае n = 2 и M1 = M2 пары (x1, x2) и (x2, x1)
считаются разными, если x1 ̸= x2. Множество, состоящее из всех упорядо

2. Некоторые топологические понятия
13

ченных наборов (x1, ... , xn), называется произведением множеств M1, ... , Mn
и обозначается M1 × · · · × Mn.
В частном случае, когда M1 = · · · = Mn = M, произведение M1 × · · · × Mn
обозначается через Mn и называется n-ой степенью множества M.
Теперь мы можем определить функцию от любого числа аргументов,
каждый из которых принимает значения из «своего» множества. Пусть
M1, ... , Mn
—
произвольные
множества,
положим
M = M1 × · · · × Mn.
По определению, отображение f: M → N ставит в соответствие каждому
элементу x ∈ M некоторый элемент y ∈ N, т. е. ставит в соответствие n
элементам x1 ∈ M1, ... , xn ∈ Mn, взятым в определенном порядке, элемент
y = f(x1, ... , xn) множества N. Это и есть функция от n аргументов xi,
каждый из которых принимает значения из «своего» множества Mi.

§ 2. Некоторые топологические понятия

До сих пор мы говорили о множествах произвольной природы, не предполагая для них существование никаких дополнительных свойств. Обычно
этого слишком мало. Например, предположим, что нам нужно сравнить две
геометрические фигуры и определить, насколько они «похожи» или «не похожи» друг на друга. Представим себе эти фигуры как множества, элементами
которых являются точки плоскости или пространства.
Если пытаться ограничить себя лишь введенными выше понятиями,
то естественно считать «похожими» такие множества, между которыми существует взаимно-однозначное отображение. Однако в конце XIX в. Кантор
показал, что существует взаимно однозначное соответствие между точками
отрезка и квадрата1) . Тогда же Дедекинд предположил, что наше интуитивное представление о «похожести» фигур связано с возможностью установить
между ними непрерывное взаимно однозначное соответствие. Но для этого
должно быть определено, что значит, что отображение непрерывно.
Область математики, в которой определяется непрерывность отображений
абстрактных множеств и все объекты рассматриваются с точностью до непрерывных взаимно однозначных соответствий, называется топологией. Используя слова Германа Вейля, можно сказать, что «горный хребет топологии
будет маячить на горизонте» этой книги. Точнее говоря, мы будем только
эпизодически пользоваться некоторыми топологическими понятиями, причем
лишь самыми простыми. Мы их сейчас сформулируем, но апеллировать к ним
будем редко, только для того, чтобы указать на связь рассматриваемых нами
объектов с другими разделами математики, с которыми читатель может более
подробно познакомиться в соответствующих курсах или учебниках. Такие
места при желании можно пропустить или лишь просмотреть — они не будут
использоваться в остальной части книги.
Для определения непрерывности отображения f: M → N необходимо
сначала определить понятие сходимости на множествах M и N. В некоторых
случаях мы будем определять сходимость на множествах (например, в про
1) Этот результат настолько поразил его, что, как Кантор пишет в одном письме, он долго
сам себе не верил.