Моделирование систем и процессов, 2014, №4

ISSN 2219-0767

МОДЕЛИРОВАНИЕ 

СИСТЕМ И ПРОЦЕССОВ

научно-технический журнал

2014

выпуск 4

2014

ВОРОНЕЖСКАЯ  ГОСУДАРСТВЕННАЯ 

ЛЕСОТЕХНИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ

ОАО «НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ 
ИНСТИТУТ ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕХНИКИ»

Журнал зарегистрирован в Управлении Федеральной службы по надзору в сфере связи, информационных технологий и массовых коммуникаций по Воронежской области (ПИ № ФС 36-1008Р 
от 15.04.2008)

ISSN 2219-0767

Журнал издается 4 выпуска в год

МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ И ПРОЦЕССОВ

Редакционная коллегия
Главный редактор 
В.К. Зольников, д-р техн. наук, профессор, зав. кафедрой ВГЛТА

Ответственный секретарь
С.А. Евдокимова, канд. техн. наук, доцент ВГЛТА

Редакционный совет
Председатель 
В.Е. Межов, д-р техн. наук, профессор, профессор ВГЛТА

Члены редакционного совета

В.И. Анциферова, канд. техн. наук, доцент
Е.А. Аникеев  канд. техн. наук, доцент
А.В. Ачкасов, канд. техн. наук
В.Н. Ачкасов, д-р техн. наук
В.М. Бугаков, д-р техн. наук, доцент
Л.И. Бельчинская, д-р хим. наук, профессор
В.С. Горохов, канд. техн. наук
В.Н.Гриднева, канд. филол. наук, доцент
Ю.Ю.Громов д-р техн. наук, профессор

М.В. Драпалюк, д-р техн. наук, профессор
В.П. Крюков, канд. техн. наук
В.В. Лавлинский канд. техн. наук, доцент
И.П. Потапов, канд. техн. наук
Ю.С. Сербулов, д-р техн. наук, профессор
А.В. Стариков, д-р техн. наук, доцент
В.С. Стародубцев, д-р техн. наук, профессор
А.И. Стоянов
А.И. Яньков, канд. техн. наук

Разделы журнала
Технические науки
Физико-математические науки
Филологические науки
Химические науки
Экономические науки

Статьи, поступающие в редакцию, рецензируются. Мнение редакции может не совпадать с мнением авторов. При перепечатке ссылка на журнал обязательна. Материалы публикуются в авторской редакции. 
За достоверность сведений, изложенных в публикациях, ответственность несут авторы. Цена свободная.

Правила доступны на сайте http://www.vglta.vrn.ru/Pages/FreePages/kaf_VT/Default.htm

Учредитель: ФГБОУ ВПО «Воронежская государственная лесотехническая академия» 
Адрес учредителя и редакции: 394087, г. Воронеж, ул. Тимирязева, 8, тел 8 (473)-253-67-08.
Адрес издателя: 394087, г. Воронеж, ул. Тимирязева, 8, тел 8 (473)-253-67-08.
ЛР ИД  №00437 от 10.11.99

Подписано в печать 03.12.14 Формат бум. 6084 1/16  Объем 4,1 п.л. Тираж 1000. Заказ № 383
Отпечатано с готового оригинал-макета 5.11.2014г. Дата выхода в свет 10.12.2014г.

 Моделирование систем и процессов, 2014
 Воронежская государственная лесотехническая академия, 2014
 ОАО «Научно-исследовательский институт электронной техники», 2014

Содержание

ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ

Акамсина Н.В., Лемешкин А.В., Сербулов Ю.С. Выбор оптимальных запусков на технологических операциях полупроводникового производства ..................................................................4

Афоничев Д.Н. Особенности оценки пропускной способности автомобильной дороги в системе автоматизированного проектирования ...................................................................................6

Афоничев Д.Н., Пиляев С.Н., Аксенов И.И. Оптимизация функции нескольких переменных в 
системе автоматизированного проектирования..............................................................................9

Котов П.А. Содержательные основы задачи общей астрономии ...............................................11

Сазонова С.А., Акамсина Н.В., Курипта О.В. Разработка алгоритма диагностики утечек без 
учета помех от стохастичности потребления в системе газоснабжения ...................................16

Сазонова С.А., Сербулов Ю.С., Акамсина Н.В. Методы математической статистики в задачах 
обнаружения утечек системы газоснабжения...............................................................................21

Сазонова С.А., Сербулов Ю.С., Курипта О.В. Проверка двухальтернативной гипотезы для 
информационной системы диагностики утечек систем газоснабжения ....................................25

Саражинский А.С. Программное обеспечение САПР для проектирования ЛВС .....................28

Сербулов Ю.С., Дудин А.С. Анализ и моделирование конкурентных взаимодействий экономических систем в рыночных отношениях ...................................................................................32

Табаков Ю.Г., Лавлинский В.В. Методика применения низкочастотного фильтра для обработки НЧ сигналов...........................................................................................................................35

Табаков Ю.Г., Лавлинский В.В. Типология НЧ сигналов по адаптации управляющих сигналов для интеллектуальных тренажеров .........................................................................................38

Табаков Ю.Г., Лавлинский В.В., Буров Р.Б., Бибиков Д.В. Анализ НЧ сигналов с датчиков 
электроэнцефалограммы с целью формирования управляющих сигналов для интеллектуального тренажера по восстановлению опорно-двигательных навыков .........................................41

Табаков Ю.Г., Лавлинский В.В., Буров Р.Б., Бибиков Д.В. Обработка НЧ сигнала с применением низкочастотного фильтра и вейвлета Добеши ....................................................................44

ФИЛОЛОГИЧЕСКИЕ НАУКИ

Чубур Т.А. Методологические основания лингвоконцептологии..............................................49

АННОТАЦИИ НА АНГЛИЙСКОМ ЯЗЫКЕ...........................................................................53

ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ

УДК 004
DOI: 10.12737/7819

Выбор оптимальных запусков на технологических 

операциях полупроводникового производства

Н.В. Акамсина1, А.В. Лемешкин2, Ю.С. Сербулов3

1ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный архитектурно-строительный университет», 

nvs@yandex.ru

2ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный университет инженерных технологий», 

sansan55@mail.ru

3ФГБОУ ВПО «Воронежская государственная лесотехническая академия», 

userbulov@vglta.vrn.ru

Аннотация — В статье рассмотрена задача выбора 

оптимальных запусков изделий полупроводникового 
производства на основе метода динамического программирования.

Ключевые слова — Выбор, оптимальный запуск, ди
намическое программирование, технологическая операция, способы соединения последовательности технологических операций.

В данной работе рассмотрена задача выбора опти
мальных запусков на операции как при эксплуатации 
линий с постоянной структурой, так и при их проектировании. Существующие подходы к решению подобных задач основаны на методах линейного программирования.

Обозначим:
m - количество технологических операций;
ki - коэффициент выхода годных изделий на i-ой 

операции ((1 i m););

П - план выхода годных изделий с линии;
Ni - запуск на i-ую операцию линии.
Пусть у нас есть некоторая возможность варьиро
вания коэффициентом выхода годных, т.е. 

Kimin Ki  Kimax , 1 i m,            (1)

и так как

1 ,
i

i

i

N
K
N



Nm+1=П,

то ясно, что также выполняются условия

Nimin  Ni  Nimax.                       (2)

Тогда можно поставить задачу о выборе оптималь
ных запусков на каждую операцию линии, в смысле 

некоторого критерия. В качестве критерия выбора 
предлагается себестоимость единицы выпускаемой 
продукции с линии. Ясно, что

C=f(Ni, П),                               (3)

где С – себестоимость единицы выпускаемой про
дукции.

Более того, функция себестоимости аддитивна по 

индексу i, т.е. 

С=
(
,
)
i
i

i

C N П

(4)

Задачу формулируем следующим образом: необхо
димо найти такие значения Ni, которые обеспечивают 
минимум функции (4) при выполнении условий (2).

Если функция (4) линейна, то задача является зада
чей линейного программирования и ее можно решить 
симплекс-методом.

В данной работе рассматривается возможность 

применения метода динамического программирования для решения поставленной задачи. Динамическое 
программирование предполагает сведение задачи об 
определении экстремума функций многих переменных к последовательности экстремальных задач 
меньшей размерности.

Рассмотрим следующие возможные схемы соеди
нения технологических операций процесса в полупроводниковом производстве.

1. Последовательное соединение

При таком соединении выход с предыдущей опера
ции является входом последующей (рис.1). Здесь для 
удобства технологические операции пронумерованы 
в обратном порядке.

Рис. 1. Последовательное соединение технологических 

операций

Целевую функцию для i-ой операции запишем как

Сi+Ci(Ni, Ni-1)  min.                       (5)  

Тогда минимум функции (4) можно определить по 

рекуррентной формуле Беллмана [1].

1

1
1
1
(
,
)
[ (
,
)
(
,
)];
min

i

i
i
i
i
i
i
i

N

f N П
c N N
f
N
П








(6)

Ni=
1,
(
),
опт
i
i
N
N
П

(7)

где fi(Ni, П) - минимум функции цели для i после
довательно соединенных операций;

опт
i
N
- функция, определяющая оптимальное зна
чение входа из i-ой операции в зависимости от значения его выхода.

Оптимальные значения Ni получаются последова
тельным применением формулы (7), начиная с первой 
до конца [2] :

*
1
1
(
)
опт
N
N
П

,

*
*

2
2
1
(
,
)
опт
N
N
N
П

,

*
*

3
3
2
(
,
)
опт
N
N
N
П

,                         (8)

*
*

1
1
2
(
,
)
опт

m
m
m
N
N
N
П




,

*
*

1
1
2
(
,
)
опт

m
m
m
N
N
N
П




,

*
*
(
,
)
опт

m
m
m
N
N
N
П

.

2. Параллельное соединение

На рис. 2. изображена система m - параллельно со
единенных линий, имеющих общий выход N0. Такие 
схемы соединения обычно встречаются на линиях 
сборки. В этом случае оптимальные значения выходов определяются как [3]

*

0
,
опт

опт
j
N
N


1  j  m,                      (9)

где 
i
- некоторая константа (определяется по ре
зультатам эксперимента), которая может принимать 
некоторые положительные значения.

Чтобы применить схему динамического програм
мирования необходимо процесс поиска решения разбить на m этапов для каждой j-ой линии и провести 
оптимизацию для каждой из них.

Рис. 2. Параллельное соединение с общим выходом

На рис. 3 изображена система из m параллельно со
единенных операций, имеющих общий вход N0.

В этом случае оптимальное значение входа N0 оп
ределяется как

0

1

m

опт
опт
j

j

N
N



 
,                     (10)

то есть процесс поиска группируется в один из m 

этапов поиска для каждой линии.

Рис. 3. Параллельное соединение с общим входим

3. Параллельно-последовательное соединение

В общем случае соединение технологических опе
раций в полупроводниковом производстве можно 
представить в виде рис. 4.

Рис. 4. Параллельно-последовательная схема соедине
ния 

Здесь процесс поиска решения начинается с по
следней операции и постепенно продвигается к началу технологического процесса. Ясно, что при этом 
необходимо учитывать сказанное в пп. 1, 2.

. . .
. . 
. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . 

. . .

. . 
.

m

N1

1

2

j

m

N2

Nj

Nm

N0

Таким образом, проведя полную оптимизацию тех
нологического процесса при помощи метода динамического программирования, мы получим оптимальные запуски на все операции. Такая задача возникает 
как при проектировании нового производства (построение оптимальной структуры производства), так 
и при управлении (развитии) старым. Ясно, что решать подобные задачи возможно только при помощи 
ПК.

ЛИТЕРАТУРА

[1]
Таха, Х. Введение в исследование операций [Текст] : 
В 2-х кн. Кн. 1. / Х. Таха. - М. : Мир, 1985. – 479 с.

[2]
Громов, Ю.Ю. Основы теории управления: Учебное 
пособие. Рекомендовано УМО вузов по университетскому политехническому образованию / Ю.Ю. Громов, 
В.О. Драчев, О.Г. Иванова, Ю.С. Сербулов, К.А. Набатов. - Тамбов: Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та, - 2009. 400с. 

[3] Громов, Ю.Ю. Имитационное моделирование: 

учебное пособие. Рекомендовано УМО вузов по 
университетскому политехническому образованию / Ю.Ю. Громов, Ю.С. Сербулов, И.Н. Корнфельд, В.О. Драчев, В.Г. Однолько. – Воронеж: 
ИПЦ «Научная книга», - 2010.- 132 с. 

УДК 004 
DOI: 10.12737/7790

Особенности оценки пропускной способности 

автомобильной дороги в системе автоматизированного 

проектирования

Д.Н. Афоничев1

1ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный аграрный университет имени императора 

Петра I»

Аннотация — Представлено математическое обеспе
чение для оценки в САПР пропускной способности автомобильной дороги. Приведены аналитические зависимости для определения пропускной способности автомобильной дороги и количества полос движения в 
одном направлении, показана процедура решения задачи в САПР.

Ключевые слова 
—
САПР, автомобильная дорога, 

пропускная способность.

Оценка пропускной способности автомобильной 

дороги необходима для выявления на стадии проектирования участков с недостаточной пропускной способностью и корректировки проектных решений в 
системе 
автоматизированного 
проектирования 

(САПР), что позволит обеспечить требуемый уровень 
удобства движения при эксплуатации, а, следовательно, и безопасность движения [1, 2, 3]. Для реализации указанной процедуры в САПР необходимо 
иметь математическое обеспечение, которое можно 
получить математическим моделированием взаимодействия двух транспортных средств следующих одно за другим. После того, как водитель впереди идущего транспортного средства по какой-либо причине 
начинает торможение, следующее за ним транспортное средство за время подготовки к торможению 
под
t
, 

принимаемое при расчетах 2 с [3], проходит путь 
1
L

равный

1
3,6

под
vt
L 
,                                                                  (1)

где v – скорость движения заднего транспортного 

средства (км/ч), которую можно принять равной 
средней скорости движения потока.

Вследствие возможного различия в состоянии тор
мозов транспортных средств тормозной путь впереди 
идущего средства может оказаться меньшим [4], и 
тогда заднее дополнительно приблизится к впереди 
идущему на расстояние 
2
L







2

2
1

2
2
1

0,04
Э
Э

тор
тор

тор

v
K
K
L
S
S

g f
k
i










,                  (2)

где 
1
тор
S
, 
2
тор
S
– соответственно тормозные пути, 

проходимые впереди идущим транспортным средством и следующим за ним (задним) транспортным 
средством, м;

1
Э
K
, 
2
Э
K
– соответственно коэффициенты эффек
тивности торможения впереди идущего транспортного средства и следующего за ним (заднего) транспортного средства;

g – ускорение свободного падения, м/с2;
f – коэффициент сопротивления качению;

тор
k
– коэффициент, учитывающий часть массы 

транспортного средства, приходящейся на тормозящиеся оси;

 – коэффициент тормозной силы;
i – продольный уклон дороги.
Для безопасности движения должен быть обеспе
чен также некоторый запас расстояния между транспортными средствами после их остановок 
3
Р
L
S

. 

Таким образом, безопасное расстояние между транспортными средствами 
1
2
3
L
L
L
L



, а длина участ
ка дороги S (км), занимаемая одним транспортным 
средством составит







2

2
1
3
0,04
10
3,6

Э
Э
под

Р
ТС

тор

v
K
K
vt
S
S
L

g f
k
i


 

















,    (3)

где 
ТС
L
– длина транспортного средства, м.

Количество транспортных средств, прошедших че
рез рассматриваемое сечение дороги в одном направлении за час P (приведенных единиц в час) [1, 3], то 
есть максимальная теоретическая пропускная способность полосы движения при скорости потока v
(км/ч), составит

v
P
S

.                                                                       (4)

В целях лучшего учета условий движения различ
ные авторы делают разные допущения о режиме торможения и о состоянии тормозов впереди идущего и 
заднего транспортных средств. Наиболее распространено предположение о необходимости мгновенной остановки впереди идущего транспортного средства (
1
0
Э
K

) [1, 2, 3, 4, 5], что может проявиться как 

падение с грузового транспортного средства какоголибо предмета, наезд на который представляет опасность для заднего транспортного средства. В этом 
случае




2

3
2
0,04
10
3,6

под
Э

Р
ТС

тор

vt
K
v
S
S
L

g f
k
i


 
















.  
(5)

Другое допущение исходит из предпосылки об 

одинаковом состоянии тормозных систем и режиме 
торможения впереди идущего и заднего транспортных средств (
2
1
Э
Э
K
K

) [1, 2, 3], тогда

3
10
3,6

под

Р
ТС

vt
S
S
L
 









.                        
(6)

В практических целях более правильно использо
вать зависимости (3) и (5), причем зависимость (5) 
обуславливает назначение более жестких норм про
ектирования дорог и способствует повышению безопасности движения на стадии проектирования.

Для оценки практической типичной пропускной 

способности применяют метод, основанный на использовании опытных коэффициентов, отражающих 
влияние ухудшения условий на изменение пропускной способности по сравнению с горизонтальным 
прямым участком. Поправочные коэффициенты были 
установлены доктором технических наук В.В. Сильяновым по данным наблюдений за скоростями движения транспортных потоков на дорогах [1, 3, 6].

Практическая типичная пропускная способность 

полосы движения какого-либо участка дороги 
ТP

оценивается в приведенном количестве легковых автомобилей

13

1

Т
i

i

P
P




 
,                                                              (7)

где  P – максимальная теоретическая пропускная 

способность;

i – частные коэффициенты снижения пропускной 

способности за счет влияния неблагоприятных условий.

Анализ зависимости частных коэффициентов 
i от 

дорожных условий показывает [3], что коэффициенты 
1
2
3
5
9
10
,
,
,
,
,
 


 
являются постоянными для 

дороги, на всем протяжении которой принята одинаковая расчетная скорость движения и установлена 
одна категория. Если обозначить 
0
1
2
3
5
9
10

     

, 

то формула (7) примет вид

0
4
6
7
8
11
12
13
ТP
P       

.                                     (8)

Для оценки пропускной способности дороги и вы
явления участков, на которых в первую очередь возможно возникновение заторов, в САПР необходимо 
установить пропускные способности характерных 
участков, выделенных в зависимости от принятых 
параметров дороги и условий местности. Анализ этих 
значений пропускных способностей дает возможность назначить комплекс мероприятий по повышению пропускной способности на участках, ограничивающих пропускную способность [1, 2, 3, 6]: устройство дополнительной полосы проезжей части на 
подъемах путем уширения земляного полотна и уширения покрытия; нанесение на покрытии разметки; 
установка знаков рекомендуемой скорости движения 
и т.п.

При назначении числа полос движения, а также для 

выявления мест устройства дополнительных полос 
(на подъемах, подходах к пересечениям) количество 
полос движения в одном направлении можно рассчитать по формуле [7]

2 Т

N
n
P z

,                                                                   (9)

где N – расчетная приведенная  часовая  интен
сивность движения в последний год перспективного 
периода;

ТP
– практическая типичная пропускная способ
ность полосы движения;

z – коэффициент использования пропускной спо
собности.

Расчетная загрузка дорог движением, количествен
но характеризуемая коэффициентом использования 
пропускной способности, в момент их передачи в 
эксплуатацию не должна превышать 40…50 % от 
практической пропускной способности ( z = 0,4…0,5), 
чтобы к моменту окончания перспективного 20летнего срока эксплуатации и возникновения потребности в реконструкции используемая часть пропускной способности не превышала 65…75 %. Это соответствует полному использованию пропускной способности в часы-пик. В отдельных случаях, когда 
первостепенное значение имеют быстрота и надежность автомобильных сообщений, например, на подъездах к крупным международным аэропортам, исходят из меньшей используемой доли пропускной способности.

Решение задачи в САПР производится следующим 

образом.

1. Значения коэффициентов 
i
выбираются из ба
зы данных в зависимости от принятых в проекте параметров дороги и заданных местных условий.

2. Для каждого характерного участка рассчитыва
ется произведение коэффициентов 
i
или обобщен
ный коэффициент B .

3. Рассчитывается скорость движения автопоездов 

A
v
на характерном участке, она принимается за ско
рость потока.

4. По формулам (5), (4) и (7) вычисляется типичная 

практическая пропускная способность характерного 
участка.

5. По формуле (9) определяется количество полос 

движения в одном направлении.

6. Действия, предусмотренные пунктами 2–5, вы
полняются для каждого характерного участка.

7. Производится анализ распределения значений 

типичной практической пропускной способности и 
требуемого количества полос движения в одном направлении по протяженности дороги, на основе которого производится корректировка проектных решений.

Приведенные аналитические зависимости и проце
дура решения задачи оценки пропускной способности 
автомобильной дороги дополняют математическое 
обеспечение САПР автомобильных дорог [8].

ЛИТЕРАТУРА

[1]
Федотов, Г. А. Изыскания и проектирование автомобильных дорог [Текст] : В 2-х кн. Кн. 1. / Г. А. Федотов, П. И. Поспелов. – М. : Высш. шк., 2009. – 646 с.

[2]
Сотиров, Д. Г. Проектиране на пътища [Текст] / Д. Г. 
Сотиров. – София: Техника, 1983. – 452 с.

[3]
Курьянов, В. К. Автомобильные дороги [Текст] : учеб. 
пособие / В. К. Курьянов, Д. Н. Афоничев, А. В. 
Скрыпников. – Воронеж : Воронежская государственная лесотехническая академия, 2007. – 284 с.

[4]
Афанасьев, Л. Л. Конструктивная безопасность автомобиля [Текст] / Л. Л. Афанасьев, А. Б. Дьяков, В. А. 
Иларионов. – М. : Машиностроение, 1983. – 212 с.

[5]
Афоничев, Д. Н. Математическая модель торможения 
автопоезда, учитывающая влияние воздушной среды 
[Текст] / Д. Н. Афоничев // Вестник Московского государственного университета леса – Лесной вестник. –
2012. – № 2. – С. 113–115.

[6]
Сильянов, В. В. Транспортно-эксплуатационные качества автомобильных дорог [Текст] / В.В. Сильянов. –
М. : Транспорт, 1984. – 287 с.

[7]
Афоничев, Д. Н. Оптимизация ширины проезжей части 
автомобильных дорог в системе автоматизированного 
проектирования [Текст] / Д. Н. Афоничев, В. А. Морковин. – Воронеж : Воронежская государственная лесотехническая академия, 2008. – 29 с. – Деп. в 
ВИНИТИ 06.06.2008, № 489-В2008.

[8]
Афоничев, Д. Н. Средства автоматизированного проектирования автомобильных дорог [Текст] / Д. Н. Афоничев // Моделирование систем и процессов. – 2011. –
Вып. 4. – С. 13–17.

[9] Громов, Ю. Ю. Методы и средства проектирова
ния 
информационных 
систем. 
Объектно
ориентированный подход [Электронный ресурс]: 
уч. пособие. Рекомендовано ФГБОУ ВПО «Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана» / Ю.Ю. Громов и др.Тамбов: ФГБОУ ВПО «ТГТУ», 2013. -160с. 

УДК 004 
DOI: 10.12737/7794

Оптимизация функции нескольких переменных в системе 

автоматизированного проектирования

Д.Н. Афоничев1, С.Н. Пиляев1, И.И. Аксенов1

1ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный аграрный университет имени императора 

Петра I»

Аннотация —
Представлено решение задачи опти
мизации функции нескольких переменных в виде полинома второго порядка в САПР при отсутствии опорных 
точек. Приведены аналитические зависимости и алгоритм, которые позволяют найти оптимальные параметры систем и процессов в САПР, и могут быть использованы в практике проектных работ.

Ключевые слова —
САПР, оптимизация, проектное 

решение.

При обосновании проектных решений в системе 

автоматизированного проектирования (САПР) может 
возникнуть задача поиска экстремума функции нескольких переменных 


1
2
,
, ...,
n
y
f x x
x

. В настоя
щее время существует много методов решения данной задачи [1], но они трудно реализуемые в САПР, 
так как требуют наличия опорных точек, которые 
могут быть неизвестными, а также предполагаемого 
экстремума: min или max.

Задача поиска экстремума некоторой функции не
скольких переменных 


1
2
,
, ...,
n
y
f x x
x

в САПР 

формулируется следующим образом: найти значения 
аргументов 
1
X , 
2
X , …, 
n
X , при которых эта функ
ция принимает наименьшее или наибольшее значение.

 
 
1
1 0
1 m
x
X
x


; 
 
 
2
2 0
2 m
x
X
x


; …; 

 
 
0
n
n
n m
x
X
x


.                           (1)

Если ввести индекс 
1, 2, ...,
i
n

, то неравенства (1) 

можно записать в виде

 
 
0
i
i
i m
x
X
x


,                           (2)

где 
 
0
ix
, 
 
i m
x
– заданные наименьшее и наиболь
шее значения аргумента 
ix .

При использовании метода дифференциального ис
числения для решения указанной задачи находят частные 
производные 
искомой 
функции 



1
2
,
, ...,
n
y
f x x
x

и приравнивают их к нулю, в ре
зультате получается система уравнений

1

0
y
x




; 

2

0
y
x




; …; 
0

n

y
x




.               (3)

Решив систему уравнений (3) можно найти значе
ния аргументов 
1
X , 
2
X , …, 
n
X , при которых функ
ция имеет наименьшее или наибольшее значение.

Рассматриваемый метод имеет следующие недос
татки:

- равенство всех частных производных функции 

нулю является необходимым, но не достаточным условием экстремума;

- для установления того какое значение (наимень
шее или наибольшее) принимает функция надо исследовать окрестность точки с координатами 
1
X , 
2
X

, …, 
n
X ;

- если система содержит нелинейные уравнения, то 

ее решение затруднительно или невозможно.

Несмотря на указанные недостатки, метод диффе
ренциального исчисления, может быть, эффективно 
применим для функций, которые содержат аргументы 

ix
в степени не выше второй. Такие функции часто 

встречаются при описании реальных систем и процессов [2, 3, 4, 5, 6], их легко получить, в частности, 
методом регрессионного анализа. Полином второго 
порядка нескольких переменных можно записать в 
виде




1

2

0

1
1
1

0,5

n
n
n

i
i
ii
i
ij
i
j

i
i
j i

y
a
a x
c x
c x x





 






 
,     (4)

где 
0
a
– свободный член (величина постоянная);

i, j – индексы;
n – количество аргументов 
ix ;

ia , 
iic , 
ijc
– постоянные коэффициенты.

Частная производная функции (4) по 
kx

1

n

k
ki
i

i
k

y
a
c x
x







; 
ki
ik
c
c

.             (5)

Система уравнений (3) выглядит следующим обра
зом:

11 1
12
2
1
1
...
0
n
n
c x
c x
c x
a





;

21 1
22
2
2
2
...
0
n
n
c x
c x
c x
a





;

………………………………...;

1 1
2
2
...
0
k
k
kn
n
k
c x
c x
c x
a





;

………………………………...;

1 1
2
2
...
0
n
n
nn
n
n
c x
c x
c x
a





.

Решить приведенную систему уравнений целесооб
разно методом последовательных исключений по 
схеме Гаусса, который эффективно был использован 
в работе [7]. После решения системы уравнений необходимо 
вычислить 
значения 
функции 



1
2
,
, ...,
n
y
f x x
x

при полученных оптимальных 

значениях аргументов 
1
X , 
2
X , …, 
n
X
и в окрестно
сти этих значений, определяемой параметром приращения аргумента  :




1

2

0

1
1
1

0,5

n
n
n

i
i
ii
i
ij
i
j

i
i
j i

Y
a
a X
c X
c X X





 






 
.












2

1
0

11

1
1

0,5

n

i
i
ii
i

in
n

ij
i
j

i
j i

Y
a
a
X
c
X

c
X
X




 



  
 



 
 



 

.












2

2
0

11

1
1

0,5

n

i
i
ii
i

in
n

ij
i
j

i
j i

Y
a
a
X
c
X

c
X
X




 



  
 



 
 



 

.

Если 
1
Y
Y

и 
2
Y
Y

, то функция в точке с коорди
натами 
1
X , 
2
X , …, 
n
X
имеет минимум (min), при 

1
Y
Y

и 
2
Y
Y

функция имеет максимум (max) в 

точке с координатами 
1
X , 
2
X , …, 
n
X . Во всех ос
тальных случаях функция в точке с координатами 
1
X

, 
2
X , …, 
n
X
не имеет экстремум.

Алгоритм поиска экстремума функции вида (4) с n

аргументами 
1
2
,
, ...,
n
x x
x следующий.

1. Ввод исходных данных:
n – количество аргументов функции;

0
a – свободный член;
 – приращение аргумента;

1a , 
2
a , …, 
n
a
– коэффициенты при аргументах в 

первой степени;

11
c , 
22
c
, …, 
nn
c
– коэффициенты при квадратах ар
гументов;

12
c
, 
13
c , …, 
1n
c
; 
23
c
, 
24
c
, …, 
2n
c
; 



2
1
n
n
c

 , 


2
n
n
c

; 


1
n
n
c

;     – коэффициенты при парных сочетаниях 

аргументов (индексы соответствуют индексам аргументов, например, 
24
c
– коэффициент при паре 
2
4
x x ).

Примечание 1 – ввод 
ka , 
kk
c
организуется сле
дующим образом.

1.1. k=1.
1.2. Ввод 
ka , 
kk
c
.

1.3. 
k
k
A
a

; 
kk
kk
С
c

.

1.4. k=n? Да: перейти к 1.5.
Нет: k=k+1, перейти к 1.2.
Примечание 2 – ввод 
ki
c
организуется следующим 

образом.

1.5. k=1.
1.6. i=k+1.
1.7. Ввод 
ki
c .

1.8. 
ik
ki
c
c

. 
ki
ki
C
c

.

1.9. i=n? Да: перейти к 1.10.
Нет: i=i+1, перейти к 1.7.
1.10. k=n–1?  Да: перейти к пункту 2.

Нет: k=k+1, перейти к 1.6.

2. j=n.
3. k=1.

4. 
k

k

kj

a
a
c

.

5. i=1.

6. 
ki

ki

kj

c
c
c

.

7. i=j? Да: перейти к пункту 8.
Нет: i=i+1, перейти к пункту 6.
8. k=j?  Да: перейти к пункту 9.
Нет: k=k+1, перейти к пункту 4.
9. k=1.
10. 
1
k
k
k
a
a
a 


.

11. i=1.
12. 

1
ki
ki
k
i
c
c
c



.

13. i=j? Да: перейти к пункту 14.

Нет: i=i+1, перейти к пункту 12.

14. k=j–1?  Да: перейти к пункту 15.

Нет: k=k+1, перейти к пункту 10.

15. j=2? Да: перейти к пункту 16.

Нет: j=j–1, перейти к пункту 3.

16. j=1.
17. k=j.

18. 
k

k

kj

a
a
c

.

19. i=j.

20. 
ki

ki

kj

c
c
c

.

21. i=k? Да: перейти к пункту 22.

Нет: i=i+1, перейти к пункту 20.

22. k=n?  Да: перейти к пункту 23.

Нет: k=k+1, перейти к пункту 18.

23. k=n.
24. 
1
k
k
k
a
a
a 


.

25. i=j.
26. 

1
ki
ki
k
i
c
c
c



.

27. i=k? Да: перейти к пункту 28.

Нет: i=i+1, перейти к пункту 26.