Практикум по высшей математике. Пределы. Дифференциальное исчисление

Министерство образования и науки Российской Федерации

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

В.И. ИКРЯННИКОВ, Э.Б. ШВАРЦ

ПРАКТИКУМ ПО ВЫСШЕЙ 

МАТЕМАТИКЕ

ПРЕДЕЛЫ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Учебное пособие для студентов заочного отделения

НОВОСИБИРСК

2009

УДК 517.2(076.5)

И 425

Рецензенты:

д-р физ.-мат. наук, проф. А.Г. Пинус;
канд. техн. наук, доц. В.И. Бутырин

Икрянников В.И.

И 425
Практикум по высшей математике. Пределы. Дифференциаль
ное исчисление : учеб. пособие / В.И. Икрянников, Э.Б. Щварц. –
Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2009. – 86 с.

ISBN 978-5-7782-1209-1

Учебное пособие представляет собой первую часть «Практикума по 

высшей математике». Оно состоит из двух частей: пределы и дифференциальное исчисление. Пособие предназначено помочь студентам самостоятельно овладеть навыками решения типовых задач по математике, необходимыми для успешной сдачи экзамена и в последующем изучении 
специальных дисциплин. Пособие снабжено большим количеством примеров, решение которых сопровождается подробными комментариями. 
Кроме этого, в начале каждой новой темы приводится краткий теоретический материал, позволяющий облегчить понимание методов решения задач. Пособие предназначено для студентов заочного отделения.

УДК 517.2(076.5)

ISBN 978-5-7782-1209-1
© Икрянников В.И., Щварц Э.Б., 2009
© Новосибирский государственный

технический университет, 2009 

Содержание

Предисловие к серии пособий «Практикум по высшей математике»
для студентов заочного отделения .............................................................5

Предисловие к пособию «Практикум по высшей математике.
Пределы. Дифференциальное исчисление»...............................................7

Обозначения .................................................................................................9

Часть 1. Пределы........................................................................................11

1. Предел числовой последовательности..............................................11

2. Предел функции..................................................................................16

2.1. Основные теоремы о пределах. Непрерывность функции.......19

3. Методы вычисления пределов...........................................................20

3.1. Случай 


n
x
 
  ...............................................................20

3.2. Случай x
a a
R


....................................................................25

3.2.1. Алгебраические функции..................................................25

3.2.2. Тригонометрические функции.

Первый замечательный предел.........................................29

3.3. Неопределенность вида  
1
Второй замечательный

предел. ..........................................................................................32

3.4. Метод эквивалентных замен.......................................................34

4. Исследование функций на непрерывность.......................................38

Часть 2. Дифференциальное исчисление.................................................41

1. Определение производной и дифференциала.

Таблица производных.........................................................................41

2. Техника вычисления производных....................................................44

2.1. Правила построения диаграмм сложных функций...................45

2.2. Вычисление производной сложных функций ...........................47

2.3. Вычисление производных высших порядков............................53

3. Вычисление пределов при помощи правила Лопиталя...................57

4. Исследование функций......................................................................60

4.1. Полное исследование и построение графика функции ............65

5. Дифференциальное исчисление функции многих переменных .....71

5.1. Определение функции многих переменных..............................71

5.2. Частные производные..................................................................73

5.3. Дифференцирование сложных функций....................................76

Приложение. Важнейшие сведения из элементарной математики .......80

Предисловие

к серии пособий «Практикум по высшей математике»

для студентов заочного отделения

«Цель расчетов – не числа, а понимание»

Р.В. Хемминг

Авторы задались целью выпустить серию пособий по практиче
скому освоению методов решения задач. Мы хотим помочь студенту 
заочного отделения войти в красивый мир высшей математики, являющейся наряду с физикой фундаментом, на котором стоят все технические, инженерные дисциплины.

Изучение математики для многих студентов представляет собой 

довольно трудоемкий процесс. Это вызвано, прежде всего, той степенью абстракции, которая применяется в математике. Для понимания 
большинства разделов математики студенту требуется научиться мыслить такими категориями, которым невозможно найти соответствующее образное представление в окружающем нас мире. Но именно эта 
абстракция делает математические методы всесильными. Эти методы 
охватили не только все естественно научные области знаний, но проникли и в ряд гуманитарных областей.

Но трудно постигаемое не означает невозможное. Всего можно 

достичь пусть небольшими, но постоянными усилиями. Одноразовое 
прочтение учебника, пусть даже написанного для малоподготовленного читателя, не приведет к пониманию изучаемого материала. Данные 
пособия как раз рассчитаны на то, что студент, желающий разобраться 
в сложностях математики, вынужден многократно возвращаться к прочитанному. Работа с этими пособиями после изучения соответствующего теоретического раздела в учебнике помогает сосредоточиться на 
главном, ибо сама структура пособий способствует этому.

При обсуждении структуры пособий было решено включить в каж
дый раздел, кроме основной части – методов решения задач, еще и 
теоретический материал: основные определения, формулировки важнейших теорем, правила и формулы (без их вывода). Теоретическая 
часть набрана более мелким шрифтом. Это позволяет сосредоточиться 
на главном, упрощает поиск необходимого справочного материала. 
Разбор подробно решенных примеров помогает понимать и при желании и настойчивости осваивать методы и приемы решения задач подобного типа. Этому также способствует наличие упражнений для самостоятельного решения, которые помещены в конце каждого раздела. 
(Известно, что ничего так не помогает в изучении математики, как самостоятельное решение задач, чем больше, тем лучше.) Наиболее важный справочный материал из других разделов математики помещен в 
приложениях. Такая структура пособий делает их «замкнутыми». При 
необходимости не требуется отвлекаться и делать усилия на поиск 
подзабытого материала в других книгах: достаточно перелистнуть 
лишь несколько страниц данного пособия. И еще. Несмотря на абстрактность математических понятий, авторы постарались поместить как 
можно больше иллюстративного материала, который поможет лучше 
усвоить трудные разделы.

Как бы трудно ни было на первых порах изучать высшую матема
тику, постарайтесь придерживаться двух правил: заниматься регулярно, «хотя бы по чуть – чуть» и почаще заглядывать в учебники и справочники по элементарной математике, чтобы восстановить подзабытое 
со школы. Мерилом всякого труда является его результат, который 
непременно будет либо в форме решѐнной задачи, либо в форме понятой теории, если приложить усилия. В учении ничего не доставляет 
столько удовольствия, как тот момент, когда вы после стольких казалось бы бесплодных усилий вдруг начинаете понимать изучаемый раздел.

Авторы надеются, что выпускаемая серия пособий облегчит сту
дентам самостоятельно освоить математику в пределах вузовской программы.

Предисловие

к пособию «Практикум по высшей математике. 

Пределы. Дифференциальное исчисление»

Это пособие является первой частью из серии пособий: «Практи
кум по высшей математике». Пособие состоит из двух частей. В первой части рассматриваются: предел числовой последовательности, 
предел функции, методы нахождения пределов и непрерывность функции. 

Основой математического анализа является понятие предельного 

перехода, т.е. то, что труднее всего дается студенту, впервые приступившим к изучению математики в техническом вузе. Эта трудность 
возникает в связи с тем, что предельный переход и такое совершенно 
абстрактное понятие математики как бесконечность тесно связаны между собой. Введение этих абстракций в математику – вынужденная 
мера, которая позволила существенно облегчить понимание и описание законов окружающего нас мира. В природе нет ничего, что можно 
было бы адекватно сопоставить с бесконечностью, с предельным переходом. И это является главной причиной, по которой очень трудно 
объяснить, что такое предел.

Во второй части изучается дифференциальное исчисление и его 

приложение к исследованию функций и построению графиков. В первую очередь, необходимо в совершенстве освоить технику вычисления 
производных от любых, сколь угодно сложных функций. Это является 
основой решения задач всех последующих разделов высшей математики. Большую помощь в овладении навыков нахождения производных 
даѐт использование метода диаграмм сложных функций, разработанного авторами пособия специально для этих целей и впервые описанного в данном пособии. Диаграмма сложной функции – это последовательность простых функций, для которых известны производные 

(таблица производных). Построив такую диаграмму, не представляет 
особого труда найти производную функции.

В этой же части приводится введение в дифференциальное ис
числение функции многих переменных. Авторы не ставили целью 
глубокое изучение студентами этого достаточно сложного раздела 
математического анализа. Главная задача студентов – понять, что 
представляет собой функция многих переменных, ее коренное отличие от функции одной переменной, освоить технику вычисления 
частных производных и полного дифференциала функции. Все это 
потребуется при изучении дальнейших разделов математического 
анализа. 

В приложении приводятся важнейшие сведения из курса элемен
тарной математики. 

Обозначения

Символ
Название
Как читается


Квантор всеобщности
«Для любого»; «для всех»; «для каждого».


Квантор
существования

«Существует»; «найдется».


Знак следования

A
B ; B следует из A ;

из A следует B ; 
A – достаточное условие для B ; 
B – необходимое условие для A .


Знак равносильности, 
эквивалентности.

A равносильно B ; 
A – необходимо и достаточно для B ; 
A – тогда и только тогда, когда B .

:
«Такой, что».


«Выполняется неравенство (равенство)».

X
множество.


X
Y
множество X является подмножеством множества Y .


x
X
элемент x принадлежит множеству X .


x
X
элемент x не принадлежит множеству X .

 

X
x
множество X состоит из элементов x .


пустое множество


X
Y
объединение множеств X и Y ; 


x
X
Y означает, что 


x
X или

x
Y .


X
Y
пересечение множеств X и Y ; 


x
X
Y означает, что 


x
X и

x
Y .

|
X Y
разность множеств X и Y ; 
|

x
X Y означает, что 


x
X , но 

x
Y .

N
множество натуральных
чисел.

Z
множество целых чисел.

Q
множество
рациональных
чисел

:
,
;











m
Q
q q
m
Z n
N
n

,
m n – несократимые числа.

J
множество иррациональных чисел.

R
множество
действительных чисел.



R
Q
J , 

 
Q
J
.

2
R
множество пар
упорядоченных
действительных чисел




2

1
2
1
2
(
,
):
,



R
x
x
x
R x
R .

n
R
множество, элементы
которого есть n
упорядоченных
действительных чисел



1
1
(
,...,
):
,...,
.
n

n
n
R
x
x
x
R
x
R




ЧАСТЬ 1. ПРЕДЕЛЫ

1. Предел числовой последовательности

1. Совокупность чисел x , удовлетворяющих неравенству |
|

 
x
a
, 

(
0)
 
, 
называется 
 –
окрестностью 
числа
a . 
Обозначается 



( )
:|
|



 
U
a
x
x
a
. Проколотой  – окрестностью числа a называ
ется совокупность чисел x , удовлетворяющих неравенству 0 |
|


 
x
a

и обозначается 

.

( )
( ) \ { }



U
a
U a
a . На числовой прямой  – окрестность

числа a – это точки интервала (
,
)
 
 
a
a
; проколотая  – окрестность 

числа a – это точки объединения интервалов (
, )
( ,
)
 

 
a
a
a a
.

2. Числовой последовательностью 

n
x
называется функция, определен
ная на множестве всех натуральных чисел 

n
N и расположенная в порядке 

возрастания натуральных чисел. Число 
n
x
называется n -ым членом последо
вательности, а индекс n – номером n -го члена последовательности. 

3. Число a называется пределом числовой последовательностью 

n
x
, 

если в любой  – окрестности числа a находятся все члены последовательности, начиная с номера 
1



n
N
, где 

N
– натуральное число, зависящее 

от  . Вне этой  – окрестности может находиться лишь конечное число членов последовательности. При этом последовательность называется сходящейся. Обозначение: lim



n
n
x
a . 

П р и м е р  1. Доказать, что 

3

3
( 1)
lim
1



 


n

n

n

n
.

Р е ш е н и е. Учитывая определение 1  – окрестности числа и оп
ределение 3 предела последовательности, требуется показать, что какое бы число 
0
 
мы не взяли, найдется такое натуральное число 

N , 

что все члены последовательности с номерами


n
N
удовлетворяют 

неравенству

3

3
( 1)
1
 

 

n
n

n
.

Решим это неравенство относительно n : 

3

3
( 1)
1
 

 

n
n

n




3

( 1)

 

n

n


3
1  
n


3
1
 
n


3
1




n

Пусть 

N
–

целая часть числа 

3
1






n
N . Таким образом, неравенство 

3

3
( 1)
1
 

 

n
n

n
выполняется для любых членов последовательности 

с номерами 


n
N . Это означает, что выполняются условия определе
ния 3 предела числовой последовательности, т. е. действительно

3

3
( 1)
lim
1



 


n

n

n

n
. В табл. 1 приведены расчеты числа 

N
в зависимо
сти от величины  – окрестности единицы.

Т а б л и ц а 1


0,5
0,05
0,005
0,0005
5*10–5
5*10–6


N
1
2
5
12
27
58

Рис. 1, возможно, поможет понять, что такое предел. На нем показано 

размещение членов последовательности

3

3
( 1)


 







n
n

n

на числовой оси в за
висимости от величины  – окрестности единицы. На рис. 1а показан интервал (0,5; 1,5) , т. е.
0,5
 
. Видно, что только один член последовательно
сти с номером
1

n
находится вне этого интервала: все члены 

последовательности с номерами 
1



n
N
лежат в  – окрестности едини
цы. На рис. 1б
0,05
 
. Вне  – окрестности единицы, т. е. за пределами