Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета, 2012, №80

Научный журнал КубГАУ, №80(06), 2012 года 

http://ej.kubagro.ru/2012/06/pdf/14.pdf 

1

УДК 621.81:539.3 
 
UDC 621.81:539.3 

ПРИВЕДЕНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ 
ПЛОСКОГО УПРУГОГО ТЕЛА К ОДНОМУ 
ОСОБОМУ ИНТЕГРАЛЬНОМУ 
УРАВНЕНИЮ 
 

REDUCTION OF BOUNDARY-VALUE 
PROBLEM FOR A PLANE ELASTIC BODY TO A 
SINGULAR INTEGRAL EQUATION 
 

Дородов Павел Владимирович 
к.т.н., доцент 
Dorodov Pavel Vladimirovich 
Cand.Tech.Sci., associate professor  
ФГБОУ ВПО Ижевская государственная 
сельскохозяйственная академия, Ижевск, Россия 
FSBEI HPE Izhevsk State Agricultural Academy, 
Izhevsk, Russia 
 
 
В статье представлено аналитическое решение 
краевой задачи для плоского упругого тела с 
внешними и внутренними концентраторами 
напряжений посредством использования одного 
особого сингулярного интегрального уравнения. 
Приведен его вывод, а также решения в общем 
виде и в частных случаях 

The boundary-value problem for a plane elastic body 
with external and internal stress concentrators has been 
analytically solved in this article by means of a singular 
integral equation. Derivation of this equation and 
general and particular solutions of the equation are 
represented 

 
 
Ключевые слова: КОНЦЕНТРАТОР 
НАПРЯЖЕНИЙ, ПЛОСКОЕ УПРУГОЕ ТЕЛО, 
СОПРЯЖЕНИЕ, КРАЕВАЯ ЗАДАЧА, ОСОБОЕ 
ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ 

Keywords: STRESS CONCENTRATOR, PLANE 
ELASTIC BODY, CONJUGATION, BOUNDARYVALUE PROBLEM, SINGULAR INTEGRAL 
EQUATION 
 

Введение 

В 
современных 
сельскохозяйственных 
машинах 
широко 

применяются рабочие органы и детали, ослабленные различными 

внутренними и внешними концентраторами напряжений. К внутренним 

концентраторам, например, относятся вырезы, выступы, отверстия, резкие 

переходы от одного сечения к другому. К внешним – твердые тела в зоне 

контакта (опоры, подшипники, пальцы, втулки и т.д.). При загружении 

деталей в близи границ концентраторов возникают значительные местные 

напряжения, которые могут неблагоприятно сказаться на прочности 

деталей. 

Проблемам определения напряжений возле внутренних и внешних 

концентраторов посвящена обширная область теории упругости и 

механики разрушения. Однако способы исследования, как правило, не 

связаны между собой, поэтому отыскание единого подхода в исследовании 

Научный журнал КубГАУ, №80(06), 2012 года 

http://ej.kubagro.ru/2012/06/pdf/14.pdf 

2

обеих проблем одними и теми же аналитическими методами остается 

актуальной краевой задачей механики деформируемого твердого тела. 

 

Постановка задачи 

Рассмотрим упругое тело единичной толщины произвольной 

формы, изображенное на рисунке 1, на которое действуют внешние 

нагрузки Рn и находящееся в состоянии равновесия. 

 
Рисунок 1 – Расчетная схема плоского тела 

 

Оси x, z проведем через центр тяжести тела. Рассмотрим 

произвольную точку А. 

Для 
исследования 
напряженно-деформированного 
состояния 

воспользуемся уравнениями Ламе без учета массовых сил [1]: 

(
)

(
)








=
∂
Ψ
∂
+
∆
−

=
∂
Ψ
∂
+
∆
−

,0
2
1

,0
2
1

z
w
ν

x
u
ν
, 
 
 
 
 
(1) 

где ν – коэффициент Пуассона; u и w – перемещения в декартовой 

системе координат x, z;
2

2

2

2

z
x
∂
∂
+
∂
∂
=
∆
, 
z
w

x
u
∂
∂
+
∂
∂
=
Ψ
. 

Научный журнал КубГАУ, №80(06), 2012 года 

http://ej.kubagro.ru/2012/06/pdf/14.pdf 

3

Известно, для решения такой задачи может быть использовано 

интегральное преобразование Фурье [2], а именно, решение уравнений (1) 

ищем в виде: 

(
)

(
)











⋅
=

⋅
=

∫

∫

∞
+

∞
−

−

+∞

∞
−

−

.
,
2
1

,
,
2
1

α
d
e
z
α
W
π
w

α
d
e
z
α
U
π
u

x
α
i

x
α
i

 
 
 
 
 
(2) 

После подстановки (2) в (1) имеем систему уравнений, решение 

которой может быть представлено в форме 

(
) (
) (
) (
)

(
) (
) (
) (
) 


+
−
+
+
−
=

+
+
+
=

],
[

,

2
2
1
2
2
1

2
1
2
1
z
α
sh
zA
α
kB
A
z
α
ch
zB
α
kA
B
i
W

z
α
sh
zB
α
B
z
α
ch
zA
α
A
U
 

где 
ν
k
4
3−
=
; An, Bn (n=1, 2) – постоянные, подлежащие 

определению из граничных условий. 

Таким образом, перемещения u и w имеют вид: 

(
) (
) (
) (
)
[
]

(
) (
) (
) (
)












+
−
+
+
−
=

+
+
+
=

∫

∫

∞
+

∞
−

−

+∞

∞
−

−

.
]
[
2

,
2
1

2
2
1
2
2
1

2
1
2
1

α
d
e
z
α
sh
zA
α
kB
A
z
α
ch
zB
α
kA
B
π
i
w

α
d
e
z
α
sh
zB
α
B
z
α
ch
zA
α
A
π
u

x
αi

x
αi

 
(3) 

Далее по известным формулам могут быть найдены деформации: 

(
) (
) (
) (
)
[
]
∫

+∞

∞
−

−
+
+
+
−
=
∂
∂
=
α
d
e
α
z
α
sh
zB
α
B
z
α
ch
zA
α
A
π
i
x
u
ε
x
α
i
x
2
1
2
1
2
, 

(
)
(
)
(
) (
)
(
)

(
)
(
)
(
) (
)
(
)
(
) (
)
,
]
1
1
[
2
]

[
2

2
2
1
2
2
1
2

2
2
1
2
2
2
1

∫

∫

∞
+

∞
−

−
−

+∞

∞
−

+
−
+
+
+
−
+
=

+
⋅
+
−
+
+
⋅
+
−
=
∂
∂
=

α
d
e
α
z
α
ch
zA
α
B
k
A
z
α
sh
zB
α
A
k
B
π
i
α
d
e
z
α
sh
A
α

z
α
ch
α
zA
α
kB
A
z
α
ch
B
α
z
α
sh
α
zB
α
kA
B
π
i
z
w
ε

x
αi
x
αi

z

(
) (
) (
) (
)

(
) (
) (
) (
)

(
)
(
) (
)
(
)
(
) (
)
∫

∫

∞
+

∞
−

−

−

+∞

∞
−

+
−
+
+
+
−
+

=
+
−
+
+
−

+
+
+
+
+
+
=
∂
∂
+
∂
∂
=

.
]
2
1
2
2
1
2
[
2
1

]

[
2
1

2
2
1
2
2
1

2
2
1
2
2
1

2
2
1
2
2
1

α
d
e
α
z
α
ch
zB
α
A
k
B
z
α
sh
zA
α
B
k
A
π

α
d
e
α
z
α
sh
zA
α
kB
A
z
α
ch
zB
α
kA
B

z
α
ch
zB
α
A
B
z
α
sh
zA
α
B
A
π
x
w
z
u
γ

x
α
i

x
αi
 

а по закону Гука – напряжения 

Научный журнал КубГАУ, №80(06), 2012 года 

http://ej.kubagro.ru/2012/06/pdf/14.pdf 

4

(
) (
) (
) (
) (
)
[
]
{

(
)
(
) (
)
(
)
(
) (
) }

(
) (
) (
) (
)
[
]

(
)
(
)
(
) (
)
(
)
(
) (
)
{

(
) (
) (
) (
)
[
]}

(
)
(
) (
)
(
)
(
) (
)
[
]

(
)
(
) (
)
(
)
(
) (
)

























+
−
+
+
+
−
+
=

+
+
−
+
+
+
−
=

=
+
+
+

−
−
+
+
+
−
+
+
−
−
=

+
+
+
+
+
−
=

=
−
+
+
+
−
+
+

+
+
+
+
−
−
−
=

∫

∫

∫

∫

∫

∞
+

∞
−

−

∞
+

∞
−

−

−

∞
+

∞
−

∞
+

∞
−

−

−

∞
+

∞
−

.
]
2
1
2
2
1
2
[
2

,
2
1
2
2
1
2

]
1
1
[
1
2
2
1
2

,
2
2

]
1
1
[

1
2
2
1
2

2
2
1
2
2
1

2
2
1
2
2
1

2
1
2
1

2
2
1
2
2
1

2
2
1
2
2
1

2
2
1
2
2
1

2
1
2
1

α
d
e
α
z
α
ch
zB
α
A
k
B
z
α
sh
zA
α
B
k
A
π
G
τ

α
d
e
α
z
α
ch
zA
α
B
k
A
z
α
sh
zB
α
A
k
B
π
iG

α
d
e
α
z
α
sh
zB
α
B
z
α
ch
zA
α
A
ν

z
α
ch
B
k
zA
α
A
z
α
sh
A
k
zB
α
B
ν
π
i
ν
G
σ

α
d
e
α
z
α
sh
A
ν
zB
α
B
z
α
ch
B
ν
zA
α
A
π
iG

α
d
e
α
z
α
ch
B
k
zA
α
A
z
α
sh
A
k
zB
α
B
ν

z
α
sh
zB
α
B
z
α
ch
zA
α
A
ν
π
i
ν
G
σ

x
α
i

x
αi

x
αi

z

x
αi

x
αi

x

 

где G – модуль сдвига. 

 

Граничные условия 

Рассмотрим произвольный элемент плоского тела, показанный на 

рисунке 2, с горизонтальным сечением, в котором действуют напряжения 

σz0, τ0. 

Зададимся следующими граничными условиями: 

1) Из условий симметрии и при отсутствии жесткого перемещения 

тела 

(
)
(
)
0
0;0
0;0
=
= w
u
; 

2) 
(
)
0
0
;
z
z
σ
z
x
σ
=
, 
0
zl
x ≤
; 

3) (
)
0
0
;
τ
z
x
τ
=
, 
0
zl
x ≤
. 

Научный журнал КубГАУ, №80(06), 2012 года 

http://ej.kubagro.ru/2012/06/pdf/14.pdf 

5

 
Рис. 2 Произвольное горизонтальное сечение плоского тела 

 

Из первого граничного условия с учетом (3) получаем 

A1=0; B1=kA2. 

Пусть на интервале 
0
0
z
z
l
x
l
≤
≤
−
 функции σz0 и τ0 непрерывны и 

абсолютно интегрируемы. В этом случае имеют место преобразования и 

соответствующие обращения Фурье 

( )
( )
( )

( )
( )
( )












=
=

=
=

∫
∫

∫
∫

∞

∞
−

−

−

∞

∞
−

−

−

,
2
1
;

,
2
1
;

0
0

0
0

0

0

0

0

dx
e
α
Q
π
τ
ξ
d
e
ξ
τ
α
Q

dx
e
α
P
π
σ
ξ
d
e
ξ
σ
α
P

x
αi
l

l

αξ
i

x
α
i
z

l

l

αξ
i
z

z

z

z

z
 

тогда из второго и третьего условия получим 

( ) (
) (
)
(
)
(
)

(
)
(
)
(
)

( )
(
) (
) (
)
(
)

(
)
(
)
(
)

2
0
2
0

0
0
0
2
0
2
0

0
0
0
2
4
1
2
2
1
2
4
1
2
2
2
1
z
α
k
z
α
kch
z
α
ch
k
z
α
sh
z
α
G
α
α
Q
z
α
k
z
α
kch
z
α
ch
z
α
z
α
sh
k
G
α
i
α
P
A
+
+
+

+
−
−
+
+
+

+
−
=
, 

( )
(
) (
) (
)
(
)

(
)
(
)
(
)

( )
(
) (
)
(
)
(
)

(
)
(
)
(
)

2
0
2
0

0
0
0
2
0
2
0

0
0
0
2
4
1
2
2
2
1
4
1
2
2
1
2
z
α
k
z
α
kch
z
α
ch
z
α
z
α
sh
k
G
α
α
Q
z
α
k
z
α
kch
z
α
ch
k
z
α
sh
z
α
G
α
i
α
P
B
+
+
+

+
−
−
+
+
+
+

+
+
−
=
. 

 

После ряда преобразований выражения (3) примут вид: 

Научный журнал КубГАУ, №80(06), 2012 года 

http://ej.kubagro.ru/2012/06/pdf/14.pdf 

6

( )
(
)
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
(
)











−
−
−
=
∫
∫
∫
∫

+

−

∞
+
+

−

∞
+
0

0

0

0
sin
cos
1

0
0

0
12
0
0
0

0
11
0

z

z

z

z

l

l
z

l

l
ξ
d
α
d
x
ξ
α
z
α
J
α
z
α
J
ξ
σ
ε
ξ
d
α
d
x
ξ
α
z
α
J
α
z
α
J
ξ
τ
πθ
u
, 

( )
(
)
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
(
)











−
+
−
=
∫
∫
∫
∫

+

−

∞
+
+

−

∞
+
0

0

0

0
sin
cos
1

0
0

0
21
0
0
0

0
22
0

z

z

z

z

l

l

l

l
z
ξ
d
α
d
x
ξ
α
z
α
J
α
z
α
J
ξ
τ
ε
ξ
d
α
d
x
ξ
α
z
α
J
α
z
α
J
ξ
σ
πθ
w
, 

где 

(
)
(
)
(
)
(
)

2
0
2
0
0
4
1
2
2
z
k
z
kch
z
J
α
α
α
+
+
+
=
, 

(
)
(
)
0
0
0
11
4
2
2
z
α
z
α
ksh
z
α
J
+
=
, 

(
)
(
)
0
0
0
22
4
2
2
z
α
z
α
ksh
z
α
J
−
=
, 

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)

(
)1
8
1
2
2

2
0
2
0
21
0
12
−
−
−
=
=
k
z
α
z
α
ch
k
z
α
J
z
α
J
, 

(
)
ν
G
θ
−
= 1
, 

(
)
ν
ν
ε
−

−
=
1
2
2
1
. 

 

Краевая задача 

Если рассматривать σz0, τ0 в качестве местных напряжений, то, 

очевидно, они в основном должны зависеть от значения перемещений u и 

w на линии интегрирования 
0
0
z
z
l
x
l
≤
≤
−
 (линии контакта тел или 

сопряжения частей упругого тела) и мало зависеть от высоты z0. 

Для того чтобы «избавиться» от z0 устремим ее к бесконечности, 

при этом, считая интервал 
0
0
z
z
l
x
l
≤
≤
−
 конечным и учитывая, что 

(
)

(
)
1
lim

0

0
11

0
=
∞
→
z
α
J
z
α
J

z
, 
(
)

(
)
1
lim

0

0
12

0
=
∞
→
z
α
J
z
α
J

z
, 
(
)

(
)
1
lim

0

0
22

0
=
∞
→
z
α
J
z
α
J

z
, 

имеем 

( )
(
)
( )
(
)









−
−
−
=
∫
∫
∫
∫

+

−

+∞
+

−

+∞
l

l
z

l

l
ξ
d
α
d
α
x
ξ
α
ξ
σ
ε
ξ
d
α
d
α
x
ξ
α
ξ
τ
πθ
u

0
1
0
1
1
sin
cos
1
, 

( )
(
)
( )
(
)









−
+
−
=
∫
∫
∫
∫

+

−

+∞
+

−

+∞
l

l

l

l
z
ξ
d
α
d
α
x
ξ
α
ξ
τ
ε
ξ
d
α
d
α
x
ξ
α
ξ
σ
πθ
w

0
1
0
1
1
sin
cos
1
, 

Научный журнал КубГАУ, №80(06), 2012 года 

http://ej.kubagro.ru/2012/06/pdf/14.pdf 

7

здесь u1, w1, τ1, σ1z – местные перемещения и напряжения, а через l 

обозначено lz0 при z0→∞. 

Составляющие компоненты деформаций примут вид: 

( )
(
)
( )
(
)








−
+
−
=
=
′
∫
∫
∫
∫

+

−

+∞
+

−

+∞
l

l
z

l

l
ξ
d
α
d
x
ξ
α
ξ
σ
ε
ξ
d
α
d
x
ξ
α
ξ
τ
πθ
dx
du
u

0
1
0
1
1
1
cos
sin
1
, (4) 

( )
(
)
( )
(
)








−
−
−
=
=
′
∫
∫
∫
∫

+

−

+∞
+

−

+∞
l

l

l

l
ξ
d
α
d
x
ξ
α
ξ
τ
ε
ξ
d
α
d
x
ξ
α
ξ
σ
πθ
dx
dw
w

0
1
0
1
1
1
cos
sin
1
. (5) 

Внутренние интегралы, согласно [2], можно записать 

(
)
∫

∞

−
=
−

0

1
sin
x
ξ
α
d
x
ξ
α
, 

(
)
(
)
∫

∞
−
=
−

0
cos
x
ξ
πδ
α
d
x
ξ
α
, 

где δ(ξ-х) – дельта-функция Дирака, обладающая свойством 

(
) (
)
1
=
−
−
∫

∞

∞
−
х
ξ
d
х
ξ
δ
. 

Тогда при 
l
x
l
<
<
−
 [3] 

( ) (
)
( )

( ) (
)
( )












=
−

=
−

∫

∫

−

−

l

l

l

l
z
z

x
τ
ξ
d
x
ξ
δ
ξ
τ

x
σ
ξ
d
x
ξ
δ
ξ
σ

.

,

1
1

1
1
 

Таким образом, выражения (4) и (5), можно переписать 

( )
( )







+
−
=
=
′
∫

+

−
х
πεσ
ξ
d
х
ξ
ξ
τ
πθ
dx
du
u
z

l

l
1
1
1
1
1
, 
 
 
(6) 

( )
( )







−
−
=
=
′
∫

+

−
х
πετ
ξ
d
х
ξ
ξ
σ
πθ
dx
dw
w

l

l

z
1
1
1
1
1
. 
 
 
(7) 

Умножим уравнение (6) на i и сложим с (7): 

( )
( )
( )
( )
( )
( )
(
)
∫

+

−
−
+
−
+
=
′
+
′

l

l
z
z
x
τ
x
σi
θ
ε
ξ
d
x
ξ
ξ
τi
ξ
σ
πθ
x
ui
x
w
1
1
1
1
1
1
 

или 

Научный журнал КубГАУ, №80(06), 2012 года 

http://ej.kubagro.ru/2012/06/pdf/14.pdf 

8

( )
( )
( )
x
f
ξ
d
x
ξ
ξ
φ
iπ
b
x
φ
a

l

l
=
−
+
∫

+

−
, 
 
 
 
(8) 

где 

( )
( )
( )
х
w
i
x
u
x
f
1
1
′
−
′
=
, 

( )
( )
( )
x
τi
x
σ
x
φ
z
1
1
+
=
, 

θ
ε
a =
, 

θ
b
1
=
. 

Выражение (8) представляет собой характеристическую часть 

особого 
(сингулярного) 
интегрального 
уравнения 
с 
постоянными 

коэффициентами a и b на отрезке [-l;l], решение которого сводится к 

краевой задаче Коши-Римана [4, 5]. В общем виде его можно представить 

( )
( )
( )
( )

( )(
)
( )
( )
x
P
x
Z
b
d
x
Z
f
i
x
Z
b
x
f
a
x

l

l
1
*
*
*
−

+

−
+
−
−
=
∫
χ
ξ
ξ
ξ
ξ
π
ϕ
,  
(9) 

где ( )
( )
(
)

j
n

j
jc
x
x
x
Z

γ
ω ∏
=
−
=

1
 – каноническое решение класса h; h – класс 

решений, 
ограниченных 
в 
узлах 
(
)
qc
с
c
...
,
2
1
; 
ω(х) 
– 
функция, 

удовлетворяющая условию Гёльдера; сj – узлы линии интегрирования; 

1
Re
0
<
<
j
γ
 при 
q
j
...,
2,1
=
; 
0
Re
1
<
<
−
j
γ
 при 
m
q
j
,...,
1
+
=
; 
0
Re
=
j
γ
 при 

n
m
j
,...,
1
+
=
; q – количество неособенных узлов, в которых решение 

ограничено; m – число всех неособенных узлов, в которых решение 

неограниченно; n – количество особенных узлов; 
( )
x
P
1
−
χ
 – произвольный 

многочлен, степени не выше χ-1; χ – индекс класса h. 

Например, 
при 
наличии 
двух 
узлов 
на 
концах 
линии 

интегрирования, решение (9) примет вид: 

- в случае неограниченного решения на обоих концах отрезка [-l;l] 

( )
( )
( )

2
2

2
2

2
2

*
*
1

x
l
π

C
ξ
d
x
ξ
ξ
f
ξ
l

x
l
iπ
b
x
f
a
x
φ

l

l
−
+
−
−

−
−
=
∫

+

−
, 

Научный журнал КубГАУ, №80(06), 2012 года 

http://ej.kubagro.ru/2012/06/pdf/14.pdf 

9

где а*, b* - действительные числа, определяемые по формулам 

1
2
2
2
*
−
=
−
=
ε

εθ

b
a

a
a
, 

1
2
2
2
*
−
=
−
=
ε

θ

b
a

b
b
, 

С – произвольная постоянная; 

- в случае ограниченного решения при x=-l и неограниченного при 

x=l 

( )
( )
( )
∫

+

−
−
+
−
−
+
−
=

l

l
ξ
d
x
ξ
ξ
f
ξ
l
ξ
l
x
l
x
l
iπ
b
x
f
a
x
φ

*
*
; 

- в случае неограниченного решения при x=-l и ограниченного при 

x=l 

( )
( )
( )
∫

+

−
−
−
+
+
−
−
=

l

l
ξ
d
x
ξ
ξ
f
ξ
l
ξ
l
x
l
x
l
iπ
b
x
f
a
x
φ

*
*
; 

- в случае ограниченного решения на обоих концах отрезка [-l;l] 

( )
( )
( )

(
)
∫

+

−
−
−
−
−
=

l

l
ξ
d
x
ξ
ξ
l

ξ
f
x
l
iπ
b
x
f
a
x
φ
2
2

2
2
*
*
, 

причем в последнем случае решение существует тогда и только 

тогда, когда  

( )
∫

+

−
=
−

l

l
ξ
d
ξ
l

ξ
f
0
2
2
. 

 

Заключение 

Особое интегральное уравнение (8) может быть использовано для 

решения краевых задач теории упругости возле различных концентраторов 

напряжений на каком-либо отрезке интегрирования, в качестве которого 

может служить как внешний контур тела, так и какая-либо линия 

сопряжения внутри плоского тела. После определения напряжений на 

границе области можно переходить к решению плоской задачи с 

последующей оптимизацией (обратная задача). 

Научный журнал КубГАУ, №80(06), 2012 года 

http://ej.kubagro.ru/2012/06/pdf/14.pdf 

10

Литература 

1. 
Демидов С.П. Теория упругости: Учебник для вузов.- М.: Высш. школа, 
1979. – 432 с. 
2. Александров В.М. Введение в механику контактных взаимодействий / В.М. 
Александров, М.И. Чебаков. – Ростов-на-Дону: Изд-во ООО «ЦВВР», 2007. – 114 с. 
3. 
Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и 
инженеров. – М.: Наука, 1968. – 720 с. 
4. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. – М.: Изд-во 
«Наука», 1968. – 512 с. 
5. 
Гахов Ф.Д. Краевые задачи. – М.: Наука, 1977. – 640 с.