Пространство стоуновского представления и конструкции расширений


ВЕСТНИК УДМУРТСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

МАТЕМАТИКА



2008. Вып.2

УДК 517.972.8

° А. Г. Ченцов




                ПРОСТРАНСТВО СТОУНОВСКОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И КОНСТРУКЦИИ РАСШИРЕНИЙ ¹




Рассматриваются абстрактные задачи о достижимости с ограничениями асимптотического характера. Для них конструируются расширения в пространстве стоуновского представления, которое порождено ультрафильтрами фиксированной алгебры множеств пространства обычных решений. Исследуются вопросы структуры множества допустимых обобщенных элементов в связи с возможной несовместностью задачи в классе точных решений.
Ключевые слова: расширение, стоуновское представление, ультрафильтр.

   Рассматривается абстрактная задача о достижимости в топологическом пространстве (ТП) (H, т) с ограничениями асимптотического характера, определяемыми непустым семейством E подмножеств (п/м) непустого множества E, именуемого пространством решений; H именуем пространством оценок. Задан (целевой) оператор h : E ^ H. Определяем (несеквенциальное) множество притяжения (МП) в (H,т), привлекая ультрафильтры (у/ф) множества E :

          (т - AS)[ E ] = {z Е H \BF Е F U[ E \E ] : h1[ F] =^ z}. (1)

В (1) обозначения соответствуют [1]: => обозначает сходимость баз фильтров [2, гл. I] в (H,т); при F Е Fᵤ[E], где Fᵤ[E]— множество всех у/ф E, h1[F] есть семейство всех h — образов множеств из F;

FU[ E \E ] = {Fe Fu[ E ] \EcF}

есть множество всех E— допустимых у/ф множества E. Если x Е E, то (E—ult)[x] определяем как семейство всех множеств G,G С E, таких, что x Е G; (E — ult)[x] Е Fᵤ[E] — тривиальный у/ф, соответствующий х. Для МП (1) имеются эквивалентные представления в классе всех фильтров E и в классе направленностей в E. Класс последовательностей в E не является, вообще говоря, достаточным для представления МП (1); см. [3].


  ¹Работа выполнена при поддержке РФФИ (гранты 06-01-00414, 07-01-96088).