Сборник заданий к типовым расчетам и контрольным работам по математическим дисциплинам. Часть 2

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ 

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Технологический институт

Федерального государственного образовательного

учреждения высшего профессионального образования

«Южный федеральный университет»

Сборник заданий к типовым расчетам 

и контрольным работам по математическим 

дисциплинам

Часть II

Ростов-на-Дону

Издательство Южного федерального университета

2009

1

УДК 51(075.8)
 ББК 22.1я73
         С 23

Рецензенты:

доктор физико-математических наук, профессор, 

зав. кафедрой математического анализа ТГПИ  Илюхин А. А.;

доктор физико-математических наук, профессор, 
зав. кафедрой  физики ТТИ ЮФУ  Куповых Г. В.

Авторский коллектив:

Бородицкий М. П., Зуев В. Н., Кодачигова Л. К., Мархель Э. Г., 

Сапунцов Н. Е., Сухинов А. И.

Главный редактор     доктор физико-математических наук, профессор А. И. Сухинов.
Заместитель гл. редактора: 
кандидат физико-математических наук, профессор М. П. Бородицкий.

Учебное пособие подготовлено и издано в рамках 

национального проекта «Образование» 

по «Программе развития федерального государственного образовательного 

учреждения «Южный федеральный университет» на 2007–2010 гг.»

С 23

Сборник заданий к типовым расчетам и контрольным 

работам по математическим дисциплинам. Ч. II: учеб. пособие / 
Под редакцией А. И. Сухинова. – Ростов н/Д: Изд-во ЮФУ, 
2009. –  539 с.: ил. 88.

ISBN 978-5-9275-0665-1
ISBN 978-5-9275-0666-5
Сборник содержит задачи по теории функций комплексной 

переменной, операционному исчислению, векторному анализу, уравнениям 
математической физики, теории вероятности и математической статистики.

В начале каждой главы приводится сводка теоретических положений, 

определений и формул, а также дается подробное решение типичных 
заданий, входящих в варианты. В «Сборнике» содержится более 5000 задач 
для самостоятельного решения.

Пособие рекомендуется для студентов, аспирантов и преподавателей 

технических и экономических вузов; может быть использовано как при 
очной, так и при дистанционной формах обучения.

Сборник заданий подготовлен в рамках межвузовской комплексной 

программы «Наукоемкие технологии образования».

ISBN 978-5-9275-0665-1
УДК 51(075.8)

ISBN 978-5-9275-0666-5
ББК 22.1я73

© ТТИ  ЮФУ, 2009

     © Южный федеральный

университет, 2009

2

CОДЕРЖАНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ…………………………………………………………6
I. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ .........................................................................8

1. Вектор-функция скалярного аргумента ......................................8
2. Скалярные и векторные поля. Основные дифференциальные 
операции в декартовой системе координат ..................................12
3. Криволинейный интеграл II рода. Формула Грина ................19

3.1. Криволинейный интеграл II рода .................................19
3.2. Формула Грина ...............................................................21

4. Поток векторного поля. Теоремы Гаусса-Остроградского и 
Стокса................................................................................................23

4.1. Поток векторного поля ...................................................23
4.2. Теорема Гаусса-Остроградского....................................26
4.3. Теорема Стокса................................................................26

5. Потенциальное поле....................................................................47
6. Оператор Гамильтона..................................................................50

6.1. Понятие оператора Гамильтона.....................................50
6.2. Дифференциальные операции 1-го порядка.................51
6.3. Дифференциальные операции 2-го порядка.................53

7. Ортогональные криволинейные координаты. Коэффициенты 
Ламэ. Основные дифференциальные операции теории поля в 
криволинейных координатах..........................................................56

7.1. Длина дуги........................................................................56
7.2.Криволинейные координаты. Коэффициенты Ламэ.....56
7.3. Инвариантное определение ротора и дивергенции .....62

Задания..............................................................................................72

II. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ ...........................104

1. Определение и классификация дифференциальных 
уравнений с частными производными........................................104
2. Характеристические поверхности (характеристики) 
квазилинейного уравнения второго порядка. Приведение
квазилинейного уравнения второго порядка к каноническому 
виду .................................................................................................107
3. Основные уравнения с частными производными. Задачи 
для уравнений с частными производными.................................113
4. Методы решения задач для уравнений с частными 
производными………....................................................................115

3

4.1. Метод характеристик…………………………………115

4.1.1. Метод Даламбера...............................................115
4.1.2. Фазовая плоскость.............................................119

4.2. Метод разделения переменных (метод Фурье)..........129

4.2.1.Ортогональные системы....................................129
4.2.2. Функции Бесселя...............................................130
4.2.3. Модифицированные функции Бесселя...........132
4.2.4. Сферические функции Бесселя........................133
4.2.5. Шаровые и сферические функции .................135
4.2.6. Схема метода Фурье .........................................137

4.3. Метод интегральных преобразований ........................269

Задания............................................................................................283

III. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ И 
ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.....................................................339

1. Комплексные числа и действия над ними ..............................339

1.1. Алгебраическая форма комплексных чисел...............339
1.2. Геометрическая интерпретация комплексных чисел 340

2. Функции комплексного переменного......................................344

2.1. Кривые и области на комплексной плоскости...........344
2.2. Аналитические функции...............................................348

3. Интегрирование функций комплексного переменного.........350
4. Ряды.............................................................................................353

4.1. Ряд Тейлора....................................................................353
4.2. Ряд Лорана......................................................................355

5. Изолированные особые точки..................................................359
6. Вычеты и их применение к вычислению интегралов............363

6.1. Определение и вычисление вычетов...........................363
6.2. Применение вычетов к вычислению интегралов.......366

7. Преобразование Лапласа...........................................................374

7.1. Преобразование Лапласа и его свойства.....................374
7.2. Нахождение изображения по оригиналу ....................379
7.3. Нахождение оригинала по изображению ...................381
7.4. Решение линейных дифференциальных уравнений 
операционным методом.......................................................384
7.5. Решение систем линейных уравнений 
операционным методом.......................................................386

Задания.........................................................................................389

4

IV. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ 
СТАТИСТИКА........................................................................................425

1. Классическое определение вероятности.................................425
2. Элементы комбинаторики……………………………………428
3. Геометрическое определение вероятности.............................433
4. Теоремы сложения и умножения вероятностей.....................437
5. Формула полной вероятности. Формула Байеса....................440
6. Повторение независимых испытаний. Схема Бернулли .......444
7. δ-функция и  ее свойства...........................................................447
8. Законы распределения и числовые характеристики
случайных величин........................................................................448
9. Двумерные случайные величины ...........................................458
10. Функции случайных аргументов ...........................................468
11. Характеристические функции................................................480
12. Закон больших чисел. Неравенство Чебышева....................482
13. Квантили случайных величин................................................483
14. Точечные и интервальные оценки параметров 
распределения ................................................................................485
15. Проверка статистических гипотез .........................................488
16. Критерий 
2
 ..............................................................................499

Задания............................................................................................501

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.......................................................................................537
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК...................................................538

5

ПРЕДИСЛОВИЕ

Предлагаемая вниманию преподавателей и студентов вторая 

часть «Сборника заданий к типовым расчетам и контрольным 
работам по математическим дисциплинам» является коллективным 
трудом многих сотрудников кафедры высшей математики и 
аккумулирует опыт, накопленный на кафедре высшей математики 
ТРТУ более чем за 50 лет. Тем не менее, не могу не сказать о ведущей 
роли в написании и редактировании глав, посвященных векторному 
анализу и теории поля, теории вероятностей и математической 
статистике (главы 1, 3 и 4) заместителя главного редактора − 
профессора М.П. Бородицкого, а в написании главы «Уравнения 
математической физики» − профессора В.Н. Зуева. 

Имеющийся опыт применения первой части «Сборника…», 

позволяет говорить о востребованности такого учебного пособия в 
техническом университете в современных условиях, что, по моему 
мнению, объясняется следующими его особенностями. 

Во-первых, 
«Сборник
заданий 
к 
типовым 
расчетам 
и 

контрольным работам по математическим дисциплинам » (части 1 и 2) 
содержит подборку большого количества типичных примеров и задач 
(более 11000) , покрывающих потребности проведения практических 
занятий по математическим курсам в I-IV семестрах. Для каждой 
типичной задачи составлено не менее 30 вариантов заданий равной 
трудности. Общее число заданий второй части «Сборника…» – 5070. 
Это позволяет проводить объективный контроль качества обучения, 
как в рамках отдельной группы, так и для потока групп, 
занимающегося по единой рабочей программе. Части 1 и 2 «Сборника
заданий 
к 
типовым 
расчетам 
и 
контрольным 
работам 
по 

математическим дисциплинам» представляют собой открытую базу 
задач, из которых можно формировать задания разного уровня 
сложности и осуществлять контроль с использованием современных 
информационных и тестовых технологий. 

Во-вторых, в «Сборнике…» приводится краткая теория и 

подробно рассмотрены решения типовых примеров и задач. Это 
предоставляет 
возможность 
самостоятельного 
освоения 

употребительных методов решения типичных задач. 

Кратко о структуре второй части «Сборника заданий к типовым 

расчетам и контрольным работам по математическим дисциплинам», 
который состоит из четырех глав. В соответствии с уже сложившейся 
традицией в начале каждой главы приведена краткая теория. Как 

6

правило, для иллюстрации тех или иных теоретических результатов 
здесь же подробно разобраны решения типичных задач. В конце 
каждой главы приведены варианты заданий. Наибольшее число 
заданий (111 из 185) приходится на теорию вероятностей и 
математическую статистику. Для этого есть веское основание –
методы математической статистики становятся повседневным 
инструментарием 
не 
только 
в 
прикладной 
математике, 

естественнонаучных приложениях, но и в технике, экономике и 
гуманитарной сфере. Несмотря на различный уровень изучения 
теории вероятностей и математической статистики для указанных 
групп специальностей, я надеюсь, что «Сборник…» окажется 
полезным для всех перечисленных выше категорий обучающихся.

Мы будем признательны всем, кто сообщит нам о неизбежных в 

работе такого объема неточностях и ошибках. 

В заключение выражаю благодарность профессору И.П.Фирсову, 

который ознакомился с рукописью книги и сделал много полезных 
замечаний и программистам кафедры высшей математики Т.А. 
Десятовой 
и 
С.П. 
Суриной, 
вложивших 
большой 
труд 
в 

компьютерную верстку данного учебного пособия.

Главный редактор,
д-р физ.-мат. наук, профессор
А.И. Сухинов

7

I. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ

1. Вектор-функция скалярного аргумента

Пусть
1
2
3
( ,
,
)
n
n n n

− вектор, заданный в некоторой декартовой 

системе координат, 
2
2
2

1
2
3




n
n
n
n
 его длина. Тогда вектор 

o
n
n = n

 имеет единичную длину.

Если 
o
o
o
o

1
2
3
n =(n ,n ,n ),
o
n
1,

,
,

i
j k
 координатные орты, 





,
,
углы между векторами n
и i , n
и
j , n
и k

соответственно, то 
o
n
(cosα, cosβ,cosγ).


Координаты вектора 
o
n  называют направляющими косинусами.

Пример 1. 
Пусть 
)1
,2,2
(
n


, 
n
4
4 1
3


 
, 

.
3
1
,
3
2
,
3
2
n








 Тогда  
,
3
2
cos


,
3
2
cos


3
1
cos



.

Вектор 
r
 называется 
вектор-функцией 
скалярного 

аргумента t, если любому t из множества допустимых значений 
ставится в соответствие вектор 
).
t(r

В декартовой системе координат задание вектор-функции 

)t(r
 эквивалентно заданию трех скалярных функций x(t), y(t), z(t), 

являющихся координатами 
).
t(r

( )
( )
( )
( ) .
r t
x t i
y t j
z t k




Пусть вектор-функция
)t(r
определена в некоторой окрестности 

точки 
0t
t 
. Тогда

1. 




0
t
t
r
)t(r
lim

0
0
r
)t(r
lim
0
t
t
0




.

Геометрически это означает, что 
)t(r
 стремится к 
0r  как по 

длине, так и по направлению.

2. Вектор-функция 
)t(r
 называется непрерывной при 
0t
t 
, 

если 
)
t(r
)t(r
lim
0
t
t
0



.

3. Если при 
0
t 

 отношение 





t

)t(r

t

)t(r
)t
t(r






 имеет

8

предел, то этот предел называется производной вектор-функции 

)t(r
r 
 по 
скалярному 
аргументу 
t 
и 
обозначается 

t
r
lim
)t(
r
dt
r
d

0
t








.

4. Кривая 
)t(r


 называется гладкой, если вектор-функция 

)t(r
 непрерывно дифференцируема и r (t)
0


 для всех t из области 

допустимых значений.

Задачи. 1. Доказать, что 
)t(r
 (1) непрерывна (непрерывно 

дифференцируема) тогда и только тогда, когда функции x(t), y(t), 
z(t) непрерывны (непрерывно дифференцируемы) и 

.k
)t(
z
j)t(
y
i)t(
x
)t(
r








2. Доказать, что 


)t(
r
)t(
r
2
1




)t(
r
)t(
r
2
1
)t(
r
)t(
r
2
1


.

3. Доказать, что в каждой точке гладкой кривой существует 

касательная и производная 
)t(
r
 направлена  по этой касательной в 

сторону возрастания параметра t.

Понятие поверхности в трехмерном пространстве можно 

определить с различной степенью общности. Будем рассматривать 
поверхность, как образ замкнутой плоской области G  при 
непрерывном отображении. Такую поверхность можно задать 
различными способами:

а) поверхность, которая задается в явном  виде z
f (x,y)

, где 

f – функция непрерывная в замкнутой ограниченной области G . 
Аналогично 
)
z,y
(
q
x 
, или 
)z
,x
(
h
y 
.

 б) более 
общим 
заданием 
поверхности 
является 

параметрическое:
)
v
,u
(
x
x 
, 
)
v
,u
(
y
y 
,
)
v
,u
(
z
z 
, где 

функции x, y, z непрерывны в замкнутой ограниченной области G . 
Три равенства можно заменить одним векторным:

r = r(u,v) = x(u,v)i+y(u,v)j+z(u,v)k .
(2)

Рассмотрим два вектора 

k
z
i
y
i
x
r
u
u
u
u







, 
k
z
j
y
i
x
r
v
v
v
v








и их векторное произведение 
v
u
r
r



.

Поверхность (2) называется гладкой, если 
)
v
,u
(r
 непрерывно 

дифференцируема в области G  и 
0
r
r
v
u




 для всех точек (u,v)G .

9

Введем понятие ориентации 
поверхности.

Пусть поверхность S имеет 

представление (2). Фиксируем 

0v
v 
. Тогда 
0
r = r (u,v )

задаст некоторую кривую 
1γ , 

лежащую 
на 
S. 
Вектор
функция
)
v
,
u
(r
0
 определяет 

кривую 
2 , 

Рис. 1

также лежащую на S. Эти кривые проходят через точку 









0
0
0
0
0
0
0
M
x u ,v
, y u ,v
, z u ,v
 поверхности S.

Векторы 
)
v
,
u
(
r
0
0
u
 и 
)
v
,
u
(
r
0
0
v
 будут касательными к кривым 

1 и 
2  в точке 
0
M (см. задачу 1). Следовательно, они лежат в 

касательной плоскости к S в точке 
0
M , а вектор 
v
u
r
r
n




 (
0

, 

так как поверхность гладкая) направлен по нормали к поверхности 
S в точке 
0
M . Через 
o
n
обозначим единичный вектор этой 

нормали

u
v
o

u
v

r ×r
n =

r ×r







.
(3)

В каждой точке гладкой поверхности S существует нормаль, на 

которой можно выбрать два направления 
o
n  и 

o
n

.

Определение. Если из каждой точки M гладкой поверхности S

можно выпустить единичную нормаль так, что полученная векторфункция от М будет непрерывной на всей поверхности S, то S
называется ориентируемой поверхностью.

Для ориентируемой гладкой поверхности существуют две 

ориентации, одну из которых определяемой (3), называют 
положительной, а вторую 


o
n

 отрицательной.

Функцию 



o
n
M





o
n
M

 называют непрерывным полем 

единичных нормалей.

n

0
M

2

1

vr

ur



10

Итак, S – ориентируемая поверхность, если кроме самой 

поверхности S, на ней задано непрерывное поле единичных 
нормалей. Такую поверхность удобно обозначать символом S+. Ту 
же поверхность, но ориентированную противоположным образом, 
обозначают S–.

Определение. 
Под кусочно-гладкой поверхностью будем 

понимать непрерывную поверхность, составленную из конечного 
числа гладких поверхностей.

Пример 2. Плоскость 
X0Y. 
Единичные 
векторы, 

перпендикулярные 
плоскости 
и 
идущие 
в 
положительном 

направлении оси z, определяют одну ориентацию плоскости,






o
n
M =k , а векторы, идущие в отрицательном направлении оси 

z – другую ориентацию плоскости 





o
n
M = k .


Пример 3. Поверхность 
сферы 
также 
ориентируема. 

Выпущенные из ее точек векторы нормали, направленные во 
внешность сферы, образуют непрерывное поле. 

Этим поверхность сферы ориентирована (определена внешняя 

сторона сферы). Другая противоположная ориентация поверхности 
сферы определяется полем единичных нормалей, идущих внутрь 
сферы.

Найдем направляющие косинусы (координаты) единичной 

нормали (3), если поверхность задана в виде 
).
y
,x
(
f
z 

В этом случае у нас 
,x
u 
,y
v 
,x
)
v
,u
(
x

.y
)
v
,u
(
y


Подставляя эти выражения в (2), получим

;k
)
y
,x
(
f
jy
i
x
r



;k
f
i
r
x
x




;k
)
y
,x
(
f
j
r
y
y















y

x
y
x

f
1
0

f
0
1

k
j
i

r
r
;
k
j
f
i
f
y
x






 
  ;
f
f
1
r
r

2

y

2

x
y
x










 

x
y
0

2
2

x
y

f i
f j+ k
n = ±
.

1+ f
+ f








(4)

Так как  
o
n =(cosα, cosβ, cosγ), то 
;

f
f
1

f
cos
2

y

2

x

x












11

y

2
2

x
y

f
cos
=
;

± 1+ f
+ f








2
2

x
y

1
cos =
;

± 1+f
+f






Замечание. Если уравнение поверхности задано неявно

,0
)
z,y
,x
(
Ф

(5)

то единичное поле нормалей задается равенством

o
gradФ
n = ±
,
gradФ

где 

.
Ф
,
Ф
,
Ф
Ф
grad
z
y
x





Отметим, что в любой точке поверхности вектор gradФ

перпендикулярен к этой поверхности.

2. Скалярные и векторные поля. Основные 

дифференциальные операции в декартовой системе 

координат

Если каждой точке М некоторой области пространства 

поставлено в соответствие число (скаляр) 
)
M
(

, то говорят, что 

задано скалярное поле. В прямоугольной системе координат,  
скалярное поле 
)
M
(

 станет функцией трех переменных 
)z,y
,x
(

.

Пример скалярных полей дает поле температур, потенциал 

электромагнитного поля и т.д.

Пусть n − единичный вектор. Он задает некоторое направление.
Определение. Производной от функции 
)
M
(

 по направлению 

n называется предел (если он существует)

,
M
M

)
M
(
)
M
(
lim
)
M
(
n
0

0

M
M
0

0











где 
0
M
M 
 вдоль луча, выходящего из т. M0 по направлению 

вектора 
;n
0
M M
− 
длина 
вектора 
0
.
M M


 Пусть 





)z,y
,x
(
)
M
(
функция, непрерывно дифференцируемая в 

точке M0,

.
cos
,
cos
,
cos
n





Тогда 

12









0
0
0
0
M
=
M
cosα+
M
cosβ+
M
cosγ.
n
x
y
z















(1)

Определение. Градиентом скалярного поля φ называется вектор

k
j
i
grad
z
y
x







.
(2)

Свойства градиента:

а) из формулы (1) следует, что 







grad
np
)
n
,
grad
(
n

n
;  

б)






)
n
,
grad
(
n
grad
n
cosΘ
grad





, так как

,1
n 
,1
cos



где 


 угол между векторами n и 

grad ;

в) если 
0


, то есть направления n и 

grad  совпадают, то 





grad
n
u
.

Отсюда следует, что направление 

grad
 характеризуется тем, 

что производная по направлению 

grad  будет наибольшей. То есть 


grad
– вектор, направленный в сторону наибольшего возрастания 

функции φ.

г) вектор 

grad
 в каждой точке направлен по нормали к 

поверхности уровня 
c
)
z,y
,x
(


, проходящей через эту точку в 

сторону возрастания поля.

Пример 1. Даны скалярное поле 
2
2
u= xy +z
xyz,

 точки 

)
3,2,1(
M0
, 
)
5,4,2
(
M1
. Найти:

1) градиент поля 
)z
,y
,x
(
f
u 
 в точке M0;

2) производную функции 
)z
,y
,x
(
f
u 
 в точке M0 по 

направлению от точки 
0
M  к точке M1;

3) производную 
функции 
)z
,y
,x
(
f
u 
 в 
точке 
M0 
в 

направлении градиента функции в этой точке;

4) угол между градиентами данной функции в точках M0 и M1.
Решение. 1) Находим 
частные 
производные 
функции 

2
2
u =xy +z
xyz

и их значения в точке M0:

13