Л.И. Дворкин, В.И.Гоц,  
О.Л. Дворкин 

ИСПЫТАНИЯ БЕТОНОВ И 
РАСТВОРОВ.  
ПРОЕКТИРОВАНИЕ ИХ 
СОСТАВОВ. 

Учебно-практическое пособие 

Инфра-Инженерия 
Москва-Вологда  

2014 

УДК 691.33:620.1 
ББК 38.626.1
      Д 24 

Рецензенты: доктор технических наук, профессор Львович К.И. 
(начальник консультационного отдела НПЦ "Стройтех", г. Москва); 
доктор технических наук, профессор Зайченко Н.М. (Донбасская 
национальная академия строительства и архитектуры) 

      Дворкин Л.И., Гоц В.И., Дворкин О.Л. 
Испытания бетонов и растворов. Проектирование их составов. – 
М.: Инфра-Инженерия, 2014. - 432 с. 

ISBN 978-5-9729-0080-0 

Излагаются методы испытаний бетонов и растворов с целью оп-
ределения их физико-механических свойств и соответствия качест-
венных показателей проектным требованиям и нормам государст-
венных стандартов. Освещаются методики проектирования соста-
вов бетонных и растворных смесей, обеспечивающие заданные по-
казатели свойств материалов. 
Приводятся основные понятия и излагается сущность математи-
ко-статистических методов обработки экспериментальных данных и 
планирования экспериментов. 
Даны примеры расчетов, выполняемых при определении качест-
венных показателей бетонов и растворов. 
Книга предназначена для  инженерно-технических работников 
строительных организаций и предприятий, а также студентов 
строительных высших учебных заведений. 

 Дворкин Л.И., В.И.Гоц, Дворкин О.Л.,  авторы, 2014    
Издательство "Инфра- Инженерия", 2014      

ISBN 978-5-9729-0080-0 

СОДЕРЖАНИЕ 

ПРЕДИСЛОВИЕ............................................................................ 4
1. СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕ-
ЗУЛЬТАТОВ ИСПЫТАНИЙ БЕТОНОВ И РАСТВОРОВ.....5

5 

1.1. Статистические характеристики экспериментальных ре-                         
зультатов ..........................................................................................
1.2. Корреляция и регрессия............................................................ 10

16
1.3. Математическое планирование эксперимента....................... 
1.4. Анализ математических моделей.............................................34
2. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИСПЫТАНИЙ БЕТОНА............
 
46

2.1. Определение свойств бетонных смесей.................................. 46

61 
77
132

150 

2.2. Плотность, влажность, водопоглощение и пористость 
бетона................................................................................................ 
2.3. Прочность бетона......................................................................
2.4. Деформативные свойства бетона............................................
2.5. Водонепроницаемость,  морозостойкость 
и выносливость бетона.................................................................... 
2.6. Теплофизические свойства бетона.......................................... 185
2.7. Коррозионная стойкость бетона.............................................. 198
3. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИСПЫТАНИЙ СТРОИТЕЛЬ-
НЫХ РАСТВОРОВ........................................................................ 210 
3.1. Общие свойства растворных смесей и растворов.................. 210
3.2. Общая характеристика и методы  испытаний растворов на 
основе сухих строительных смесей................................................ 222 
4. ПРОЕКТИРОВАНИЕ СОСТАВОВ БЕТОНОВ И РАС-
236 
236

ТВОРОВ ..........................................................................................
4.1. Проектирование составов тяжелого бетона........................... 
4.2. Проектирование составов тяжелых бетонов различных 
видов................................................................................................. 266 
4.3. Мелкозернистые (песчаные) бетоны...................................... 313
4.4. Легкие и ячеистые бетоны....................................................... 318
4.5. Проектирование составов строительных растворов.............. 353 

362 

4.6.Проектирование составов бетонов и растворов с приме-
нением математического планирования экспериментов............. 
4.7. Экспериментальное корректирование составов бетонов и 
растворов. Производственные составы.......................................... 382 

401
403

ЛИТЕРАТУРА................................................................................ 
ПРИЛОЖЕНИЯ............................................................................ 
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ.................................................... 417

ПРЕДИСЛОВИЕ 

Бетоны и растворы относятся к числу основных строительных 
материалов, от качества которых в значительной мере зависит на-
дежность и долговечность конструкций и сооружений, их соответ-
ствие проектным требованиям. Обеспечение необходимых качест-
венных показателей бетонов и растворов является технико-
экономической задачей, напрямую связанной с проектированием их 
оптимальных составов, учетом заданных проектных параметров и 
технологических условий. 
В данной книге приводится изложение методов испытаний бето-
нов и растворов в соответствии с действующей нормативной базой 
и проектирования их составов. Проблемой развития методологии 
проектирования оптимальных составов бетонов и растворов авторы 
занимаются в течение многих лет, и в книге отражены, наряду с 
традиционными, также методы, предложенные в результате этих 
исследований. 
В книге необходимое место нашло изложение основ математико-
статистической обработки экспериментальных данных, полученных 
при испытании бетонов и растворов и проектировании их составов. 
Особенностью данной книги является насыщенность ее приме-
рами, способствующими лучшему пониманию изложенных методов 
и применению их в конкретных производственных условиях. 
Книга предназначена прежде всего как пособие для инженерно-
технических работников лабораторий и технологических служб 
строительных организаций и предприятий. Она может быть также 
использована студентами строительных специальностей высших 
учебных заведений. 
Авторы благодарны инж. Л.И. Нихаевой и к.т.н. И.В. Ковалык за 
помощь при подготовке книги к печати. 
Авторы будут благодарны всем читателям книги за отзывы и за-
мечания, направленные на улучшение ее содержания при переизда-
нии. 

1. СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТА-
ТОВ ИСПЫТАНИЙ БЕТОНОВ И РАСТВОРОВ 

1.1. 
Статистические характеристики эксперименталь-
ных результатов 

При многократном измерении показателя, характеризующего 
определенное свойство материала, получается ряд неодинаковых  
чисел. Это обусловлено пределом точности измерительных прибо-
ров, субъективными особенностями экспериментатора, снимающего 
показания, и  изменчивостью  изучаемых свойств, вследствие воз-
действия на них, наряду с учитываемыми, случайных, неконтроли-
руемых факторов. Например, при лабораторном определении проч-
ности образцов-близнецов раствора или бетона одного состава раз-
личия результатов могут быть обусловлены несовершенством обо-
рудования, методики изготовления и испытания образцов, разли-
чиями структуры, неравномерным распределением усилий в образ-
цах и др. 
Ряд чисел,  полученный при измерении изучаемого свойства ма-
териала, называется статистической совокупностью или вариаци-
онным рядом. Статистическую совокупность чисел, полученных 
при эксперименте, можно  при значительном числе испытаний  вы-
разить графически в виде кривой распределения, отложив на оси 
абсцисс экспериментальные данные, а по оси ординат частоту их 
повторения. 
При определении свойств строительных материалов кривые рас-
пределения (рис. 1.1) приближаются по характеру, как правило, к 
нормальной кривой Гаусса. Эта кривая  отвечает равной вероятно-
сти появления как положительных, так и отрицательных отклоне-
ний от центра. Экспериментальные кривые распределения отлича-
ются от нормальной наличием эксцесса и ассиметрии, т.е. опреде-
ленным сдвигом вершины соответственно относительно осей абс-
цисс и ординат. Из некоторой возможной совокупности всех воз-
можных наблюдений или генеральной совокупности чисел в реаль-
ном эксперименте получают определенную выборку, которая вклю-
чает п наблюдений. Для ее характеристики используют средние ве-
личины – среднее арифметическое и среднее квадратическое откло-
нение. 

Среднее арифметическое x  находят по формуле: 

,
п

х
x

п

і
і
∑
=
=
1
        
        (1.1) 

где ∑
=

п

1
і
іх  – сумма измеренных величин; п – число наблюдений. 

Для кривой нормального распределения среднее арифметическое 
совпадает с модой – таким значениям измеряемой величины, кото-
рому соответствует  наибольшая частота. 

Среднее квадратическое отклонение (стандарт) S  показывает 
пределы изменчивости изучаемого свойства, т.е. степень разброса 
отдельных его значений относительно среднего: 

(
)

1

1

2

−

−
= ∑
=
n

x
x
S

n

i
i
     (1.2) 

где п-1=f – число степеней 
свободы, под которым по-
нимается число свободно 
варьируемых членов сово-
купности. 

При п>25 в формуле 
(1.2) вместо п-1 можно ис-
пользовать п. 
Величина S2 характери-
зует дисперсию измеряемой 
величины в пределах дан-
ной выборки. Если объем 
выборки достаточно боль-
шой, величина дисперсии 
S2 приближается к величи-
не генеральной дисперсии 
σ.  
Согласно теории веро-

Рис. 1.1. Гистограмма (1) и кривая 
нормального распределения (2)  
прочности бетона 

Число 
опытов,  п

Прочность бетона,

ятности при нормальном распределении в пределах 
σ
3
±
x
уклады-
вается 99,7% измерений, в пределах 
σ
2
±
x
-95,4% и 
σ
±
x
 -68,3% 
(правило трех сигм). 
Если дисперсия и среднее квадратическое отклонение характе-
ризуют абсолютную изменчивость измеряемого свойства, то для 
выражения относительной изменчивости служит коэффициент ва-
риации: 

(
)
%
x
/
S
Vc
100
⋅
=
.       
  (1.3) 
Коэффициент вариации широко применяется, например, для оп-
ределения однородности бетона по прочности. 
Для того, чтобы по среднему арифметическому данной ограни-
ченной выборки судить более точно о средней величине измеряемо-
го свойства, находят среднеквадратическую ошибку среднего 
арифметического: 

.
n

S
m
±
=
        
 (1.4) 

Отношение величины средней ошибки к величине среднего 

арифметического называют показателем точности: 

%.
x
m 100
⋅
±
=
ε
                                      (1.5)

Статистическая обработка результатов испытания, кроме опреде-

ления изменчивости измеряемого показателя качества и точности 
исследования, предполагает оценку доверительной вероятности (1-
р) или уровня значимости р получаемого результата. 

В зависимости от конкретных обстоятельств принимают различ-

ную доверительную  вероятность; чаще всего 1-р равно 0,95, 0,99 и 
0,999. В первом случае достоверность результатов не подтвержда-
ется только 5 раз из 100, во втором – 1 раз из 100, в третьем – 1 раз 
из 1000. Соответственно уровень значимости - 0,05, 0,01, 0,001. Он 
показывает, сколько раз в ста или тысячи испытаниях мы рискуем 
ошибиться, объявив полученный результат правильным.  

Число наблюдений  п , необходимых для получения достаточно 

надежных и достоверных результатов, можно подсчитать по фор-
муле: 

,
2

2
2

ε

t
V
п
c
=
(1.6) 

где 
c
V  – коэффициент вариации, %; ε – показатель точно-

сти, %; t – критерий Стьюдента, который находится при соот-
ветствующей доверительной вероятности и числе степеней 
свободы  f (Прил. Б, табл. 1).  

В табл. 1.1 приведены значения t – критерия при 1% и 5% 

уровнях значимости. 

Таблица 1.1 

Значения t-критерия 

р, % 
р, % 
р % 
f 
1 
5 
f 
1 
5 
f 
1 
5 

1 
63,657 
12,706 
6 
3,707
2,447
30 
2,75 
2,042 

2 
9,925 
4,303 
8 
3,355
2,306
60 
2,66 
2 

3 
5,841 
3,182 
10 
3,169
2,228
120
2,617 
1,98 

4 
4,604 
2,776 
15 
2,947
2,131
∞ 
2,576 
1,96 

5 
4,032 
2,571 
20 
2,845
2,086

Для правильного применения статистических оценок необхо-

димо исключить возможные грубые ошибки при эксперименте, т.е. 
проверить однородность наблюдений. С этой целью можно исполь-
зовать величину максимального относительного отклонения τ : 

,
s

х
х −
=
τ
        
      (1.7) 

где х – крайний элемент выборки, который подлежит проверке. 

Если величина максимального относительного отклонения  в ис-

следуемой выборке больше табличной величины τ при заданных 
значениях вероятности или уровня значимости (табл. 1.2), то край-
нее значение х отбрасывается как грубо ошибочное. 

Таблица 1.2 

Значения τ-критерия 
р, % 
р, % 
р, % 
п 
1 
5 
п 
1 
5 
п 
1 
5 

3 
1,41 
1,41 
11 
2,61 
2,34 
19 
2,93 
2,6 

5 
1,96 
1,87 
13 
2,71 
2,43 
21 
2,98 
2,64 

7 
2,27 
2,09 
15 
2,8 
2,49 
23 
3,03 
2,68 

9 
2,46 
2,24 
17 
2,87 
2,55 
25 
3,07 
2,72 

Пример 1.1. Найти среднюю активность цемента в партии ,ее 

изменчивость и точность измерений, если результаты испытаний 
образцов в МПа следующие: 53,0, 53,7, 54,0, 55,2, 55,9, 56,7. Оце-
нить однородность полученных данных при 5% уровне значимо-
сти. 

Расчет производим по формулам (1.1. – 1.7). Результаты расчета 

приведены в табл. 1.3. 

Таблица 1.3 

Расчет  эмпирических характеристик распределения  

активности цемента 
Номер испытаний 
Обоз-
начения 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
∑п = 6 

хі
53,0 
53,7 
54,0 
55,2 
55,9 
56,7 
∑хі=328,5 

x
хі −
-1,8 
-1,1 
-0,8 
+0,4 
+1,1 
+1,9 
(
)
3
0,
x
хі
−
=
−
∑

2)
x
х
(
і −
3,24 
1,21 
0,64 
0,16 
1,21 
3,61 
(
)
07
10
2
,
x
хі
=
−
∑

;
,
,
,
,

%
,
,
,
V
%;
,
,
,
;
,
,
m

;
,
,
S
;
,
,
S
;
,
,
x

i

c

338
1
42
1
8
54
7
56

59
2
100
8
54
42
1
058
1
100
8
54
58
0
58
0
6

42
1

42
1
01
2
01
2
1
6
07
10
8
54
6
5
328
2

=
−
=

=
⋅
=
=
⋅
=
=
=

=
=
=
−
=
=
=

τ

ε

  
τтабл = 2,0 (п = 6 р = 5%);  τi < τтабл. 

Таким образом, из приведенного статистического анализа сле-

дует, что средняя активность цемента х  равна 54,8 МПа, ее абсо-
лютная изменчивость S – 4,483 МПа, относительная изменчивость 

c
V  – 2,59%; среднеквадратическая ошибка среднего арифметиче-
ского m=0.58. Показатель точности ε равен 1,058 %. Все 6 испыта-
ний однородны, при их проведении грубой ошибки не допущено. 

Пример 1.2. Определить количество образцов ,необходимых 

для испытания прочности  бетона при 
c
V =8%, доверительной 

вероятности 95% и показателе  точности 5%. 

Воспользуемся   формулой (1.6). Значения t найдем из табл. 

1.1.

tтабл. =1,96(f = ∞);  
83
9
25
84
3
64
5
96
1
8

2

2
.
.
.
n
=
⋅
=
⋅
=
. 

Следовательно, при заданных условиях достаточно взять для 

испытания 10 образцов. 

1.2. Корреляция и регрессия 

При испытании строительных материалов в ряде случаев необ-
ходимо найти количественную зависимость между измеряемым 
свойством (выходной параметр Y) и технологическими факторами 
(Хi). Такая зависимость может быть функциональной или корреляци-
онной. В первом случае функция и аргументы связаны строго и од-
нозначно. Например, при испытании прочности образцов опреде-
ленного размера каждой величине разрушающей нагрузки соответ-
ствует строго определенный предел прочности материала. При кор-
реляционной зависимости одному значению независимой перемен-
ной может отвечать некоторая совокупность значений выходного 
параметра. При линейной корреляции теснота связи У-Хi выражает-
ся коэффициентом корреляции, который может находиться в ин-
тервале от –1 до +1. Чем выше абсолютная величина коэффициента, 
тем теснее связь и наоборот. Знак коэффициента показывает харак-
тер связи: "+" – прямая, т.е. с увеличением  Х возрастает  Y, а "–" –
обратная. Предельные значения коэффициента (±1; 0) показывают, 
что между переменными существуют соответственно строго линей-
ная связь или они линейно не коррелированны. Для проверки гипо-
тезы о наличии или отсутствии корреляции необходимо сравнить 
выборочный коэффициент корреляции  (r) с табличным (r1-р/2). Ко-
эффициент корреляции будет значимым, если удовлетворяется  не-

равенство 
.
r
r
2
/
p
1−
>
В табл. 1.4 приведены значения r1-р/2 для двух

уровней  значимости при различном количестве степеней свободы f. 
Коэффициент корреляции между двумя случайными величинами 
называют коэффициентом парной корреляции. Его находят по фор-
муле 

∑
∑

∑

=
=

=

−
−

−
−
=
n

i
i

n

i
i

n

i
i
i

xy
y
y
x
x

y
y
x
x
r

1

2

1

2

1

)
(
)
(

)
)(
(
.                           (1.8) 

Для определения тесноты связи между несколькими перемен-

ными служит коэффициент множественной корреляции. Он  из-
меняется от 0 до +1. Множественный коэффиент корреляции вели-
чины х с величинами у и z можно найти по формуле: 

,
r

r
r
r
r
r
r

yz

yz
xz
xy
xz
xy
xyz
2

2
2

1

2

−

−
+
=
                            (1.9) 

где 
xz
xy r,
r
 и 
yz
r  –коэффициенты парной корреляции, рассчитанные 

по  формуле (1.8). 
Таблица 1.4 
Значения  r1-р/2  
р,% 
р,% 
р,% 
f 
1 
5 
f 
1 
5 
f 
1 
5 

1 
1 
0,997 
6 
0,834
0,707
12 
0,661 
0,532 

2 
0,99 
0,95 
7 
0,798
0,666
15 
0,606 
0,482 

3 
0,959 
0,878 
8 
0,765
0,632
20 
0,537 
0,423 

4 
0,917 
0,811 
9 
0,735
0,602
30-
40 
0,393 
0,304 

5 
0,874 
0,754 
10 
0,708
0,576
60 
0,325 
0,25 

 
 
 
 
 
 
100 
0,254 
0,195 

Для криволинейных зависимостей теснота связи оценивается 

корреляционным отношением ηху. 

Оценка зависимости случайных величин по коэффициентам 

корреляции называется корреляционным анализом. 

 Для выражения количественной связи между изучаемым вы-

ходным параметром и факторами устанавливают вид уравнения на 
основе изучения характера экспериментальных кривых и качест-
венного анализа исследуемого явления.   

Зависимость средних значений изучаемого параметра от 

влияющих  факторов называется регрессией. В экспериментальной 
практике находят уравнения приближенной регрессии. В общем  
виде задача ставится так: по данной выборке (х1, у1), (х2, у2)...(хп, уп) 
найти уравнение приближенной регрессии и оценить допускаемую