ВЕСТНИК УДМУРТСКОГО УНИВЕРСИТЕТА


МАТЕМАТИКА



2008. Вып.2

УДК 517.927.2


° А. Л. Тептин




                О ЗНАКЕ ФУНКЦИИ ГРИНА КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ И ШТУРМОВСКИМИ КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ





Приведены условия, при которых функция Грина краевой задачи с двумя краевыми условиями Штурма и n — 2 периодическими сохраняет знак.

Ключевые слова: знак функции Грина.


   Рассматривается краевая задача


                                   n- 1
Ly = y⁽п) + ^Pk(t)У⁽k) =0,                       (1)
                                   k=0 п
         ^У = ^2cijУ⁽ⁿ—j)(ai) = 0, Ci 1 = 1, i = 1, 2, a 1 = a, a2 = b, (2) j=1
y⁽k)(a )= y⁽k)(b), k = 0П—3,                     (3)


где pk(t), k = 0,n — 1 непрерывны на [a,b] и ш -периодически продолжены на R пр и ш = b — a, причем pk (a + ш) = pk (a + 0), i = 0, ± 1, ± 2,..., k = 0, n — 1, a po(t) не меняет знак и p (t) = p₀(t) + c 1 ₙ — c₂ₙ Д 0 в [a,b].
   Пусть m = [n/2] — 1; T₁₂ — множество таких линейных дифференциальных операторов Q n-ro порядка, что всякое нетривиальное решение (в расширенном смысле) уравнения Qy = 0, удовлетворяющее любым r из краевых условий (2), имеет на [a, b + тш] не более n — r — 1 нулей с учетом кратности, r = 1, 2; I — единичный оператор.
   Согласно теореме 1 из [1] при L е T₁₂ существует разложение

d

L =

Ln— 1 ,i —

dt

aij

	

Ln—2,

(4)

ᵣ      dⁿ-² n-3 . dk
ⁿ-² = dtn-² ⁺ A^qk ⁽t) dk ’ k=0

где ai (t) сумми руемы, aij (t) абсолютной епрерывны, i,j = 1, 2, i = j, qk (t), k = 0 ,n — 3 обладают абсолютно непрерывными производными в [a,b+тш], (Ln-1,1 y)(a) = 11 y, (Ln-1,2y)(b) = 12y при всех y(t) е Cⁿ— 1[a,b],

О знаке функции Грина

151

МАТЕМАТИКА                                              2008. Вып.2

a 12(t) — a21 (t) = 0 при всех t Е [a,b + тш] и oneратор Lₙ₋₂ неосцилля-ционный на [a, b + тш], то есть любое нетривиальное решение уравнения Lₙ₋₂у = 0 имеет на [a, b + тш] не более n — 3 нулей с учетом кратности. При условиях
             c1 nC2n 6 о, (c 1 n — c2n)po(t) > 0, p(t) ± 0 в [a, b] (5)
получается, что
            q₀(t) signp(t)(a₂₁ — a ₁₂(t)) > 0 при всех t Е [a, b].  (6)
                 [ a,b ]
В предлагаемой работе доказано, что при L Е T₁₂ существует разложение (4), обладающее перечисленными свойствами, в котором qₖ(t), k = 0, n — 3 ш -периодичны. Отсюда на основе результатов работы [2] и неравенства (6) получена
   Теорема 1. Если L Е T12 p p₀(t) не меняет знак на [a,b], то при условии (5) функция Грина G(t,s) задачи (1)-(2) существует и сохраняет следующий знак
            G(t, s) sign p(t) > 0 при всех t Е [a,b] и s Е (a, b).
                  [ a,b ]


* * *
1. Тептин А. Л. О неосцилляции решений и знаке функции Грина // Диффе-ренц. уравнения. 1984. Т. 20, № 6. С. 995-1005.
2. Тонков Е.Л., Хохряков А. Я., Юберев Н. Н. О функции Грина периодической краевой задачи и существовании периодических решений обыкновенного дифференциального уравнения // Тр. ТИХМ’а. Тамбов. 1968. Вып. 2. С. 16-20.


Поступила в редакцию 21.01.08

A. L. Teptin
On the sign of the Green’s function of a boundary value problem with periodic and Sturm’s boundary conditions

Conditions are presented under which the Green’s function of a boundary value problem with two Sturm’s boundary conditions and n — 2 periodic boundary conditions preserves its sign.



Тептин Анатолий Лаврович Ижевский государственный технический университет 426069, Россия, г. Ижевск, ул. Студенческая, 7 (корп. 6) E-mail: pmi@istu.ru