О ЗНАКЕ ФУНКЦИИ ГРИНА КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ И ШТУРМОВСКИМИ КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ


ВЕСТНИК УДМУРТСКОГО УНИВЕРСИТЕТА


МАТЕМАТИКА



2008. Вып.2

УДК 517.927.2


° А. Л. Тептин




                О ЗНАКЕ ФУНКЦИИ ГРИНА КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ И ШТУРМОВСКИМИ КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ





Приведены условия, при которых функция Грина краевой задачи с двумя краевыми условиями Штурма и n — 2 периодическими сохраняет знак.

Ключевые слова: знак функции Грина.


   Рассматривается краевая задача


                                   n- 1
Ly = y⁽п) + ^Pk(t)У⁽k) =0,                       (1)
                                   k=0 п
         ^У = ^2cijУ⁽ⁿ—j)(ai) = 0, Ci 1 = 1, i = 1, 2, a 1 = a, a2 = b, (2) j=1
y⁽k)(a )= y⁽k)(b), k = 0П—3,                     (3)


где pk(t), k = 0,n — 1 непрерывны на [a,b] и ш -периодически продолжены на R пр и ш = b — a, причем pk (a + ш) = pk (a + 0), i = 0, ± 1, ± 2,..., k = 0, n — 1, a po(t) не меняет знак и p (t) = p₀(t) + c 1 ₙ — c₂ₙ Д 0 в [a,b].
   Пусть m = [n/2] — 1; T₁₂ — множество таких линейных дифференциальных операторов Q n-ro порядка, что всякое нетривиальное решение (в расширенном смысле) уравнения Qy = 0, удовлетворяющее любым r из краевых условий (2), имеет на [a, b + тш] не более n — r — 1 нулей с учетом кратности, r = 1, 2; I — единичный оператор.
   Согласно теореме 1 из [1] при L е T₁₂ существует разложение

d

L =

Ln— 1 ,i —

dt

aij

	

Ln—2,

(4)

ᵣ      dⁿ-² n-3 . dk
ⁿ-² = dtn-² ⁺ A^qk ⁽t) dk ’ k=0

где ai (t) сумми руемы, aij (t) абсолютной епрерывны, i,j = 1, 2, i = j, qk (t), k = 0 ,n — 3 обладают абсолютно непрерывными производными в [a,b+тш], (Ln-1,1 y)(a) = 11 y, (Ln-1,2y)(b) = 12y при всех y(t) е Cⁿ— 1[a,b],