ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ ПРИ ПРОДОЛЖЕНИИ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ НА ОТРИЦАТЕЛЬНУЮ ПОЛУОСЬ


ВЕСТНИК УДМУРТСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

МАТЕМАТИКА



2008. Вып.2

УДК 517.929




                © П. Г. Сурков




ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ ПРИ ПРОДОЛЖЕНИИ РЕШЕНИЙ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ НА ОТРИЦАТЕЛЬНУЮ ПОЛУОСЬ ¹

Для линейной системы с запаздыванием рассматривается задача продолжения решения в сторону убывания времени.
Ключевые слова: линейные системы с запаздыванием, некорректные задачи, асимптотические методы.

   Задача продолжения решений дифференциальных уравнений с запаздыванием на отрицательную полуось является некорректной. Для её решения используется метод регуляризации А.Н. Тихонова [1], позволяющий свести рассматриваемую задачу к нахождению компонент x решений следующей системы дифференциальных уравнений:
        x" = P— 1($)⁽Q($)x - P⁰($)X⁾ + а-¹P— 1($)⁽ф - z($)⁾, ф⁰ = B— — 1($) (B⁰($) - A($)B($))} ф - B>($)X, (1)
                     X0 = A ($) X + в ($) X, с краевыми условиями
X (-г) = 0,
ф (-г) + аВ> (0) (Gx (0) + P (0) X (0)) = z (-r), (2)
Ф (0) = B> (0) X (0), x (0) = x (-r) •
Здесь функция z является решением задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений
z = (в—1($)(в⁰($) - A($)в($))}>z - BA($)<р($), z (0) = B> (0) <р (0),
  ¹Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 06-01-00399), Программы поддержки фундаментальных исследований Президиума РАН №13 «Математические методы в нелинейной динамике» и Программы поддержки ведущих научных школ России.