Основы анализа цепей

ОСНОВЫ АНАЛИЗА ЦЕПЕЙ

В. П. Бакалов, О. Б. Журавлева, Б. И. Крук 

Рекомендовано УМО по образованию в области 
инфокоммуникационных технологий и систем связи 
в качестве учебного пособия для студентов 
высших учебных заведений, обучающихся по направлению 
подготовки 210700 – «Инфокоммуникационные технологии 
и системы связи» квалификации (степени) «бакалавр» 
и квалификации (степени) «магистр»

Москва
Горячая линия – Телеком
2014

ìÑä 621.373 (075) 
ÅÅä 32.88 
     Å19 

 

ê  ˆ Â Ì Á Â Ì Ú ˚ :  ‰ÓÍÚÓð ÚÂıÌ. ̇ÛÍ, ÔðÓÙÂÒÒÓð  Ä. Ö. ÑÛ·ËÌËÌ; ‰ÓÍÚÓð ÚÂıÌ. 
̇ÛÍ, ÔðÓÙÂÒÒÓð  B. î. ÑÏËÚðËÍÓ‚ 

 
Ň͇ÎÓ‚ Ç. è., ÜÛð‡‚΂‡ é. Å., äðÛÍ Å. à. 

Å19          éÒÌÓ‚˚ ‡Ì‡ÎËÁ‡ ˆÂÔÂÈ: ì˜Â·ÌÓ ÔÓÒÓ·Ë ‰Îfl ‚ÛÁÓ‚.– 2- ËÁ‰., 

ÒÚÂðÂÓÚËÔ. – å.: ÉÓðfl˜‡fl ÎËÌËfl–íÂÎÂÍÓÏ, 2014. – 592 Ò: ËÎ. 

ISBN 978-5-9912-0306-7. 

ì˜Â·ÌÓ ÔÓÒÓ·Ë Ôð‰̇Á̇˜ÂÌÓ ‰Îfl Ò‡ÏÓÒÚÓflÚÂθÌÓ„Ó ËÁÛ˜ÂÌËfl ÓÒÌÓ‚Ì˚ı ð‡Á‰ÂÎÓ‚ ÚÂÓðËË ˆÂÔÂÈ. Ç ÔÂð‚ÓÈ ˜‡ÒÚË ÔÓÒÓ·Ëfl Ò Â‰ËÌ˚ı ÔÓÁˈËÈ ð‡ÒÒχÚðË‚‡˛ÚÒfl ‚ÓÔðÓÒ˚ ‡Ì‡ÎËÁ‡ ÎËÌÂÈÌ˚ı, ÌÂÎËÌÂÈÌ˚ı Ë ‰ËÒÍðÂÚÌ˚ı ˆÂÔÂÈ, ̇ıÓ‰fl˘ËıÒfl ÔÓ‰ ‚ÓÁ‰ÂÈÒÚ‚ËÂÏ „‡ðÏÓÌ˘ÂÒÍËı, ÔÂðËӉ˘ÂÒÍËı Ì„‡ðÏÓÌ˘ÂÒÍËı, ÌÂÔÂðËӉ˘ÂÒÍËı Ë ‰ËÒÍðÂÚÌ˚ı ÍÓη‡ÌËÈ. ÇÚÓð‡fl 
˜‡ÒÚ¸ ÔÓÒÓ·Ëfl ÒÓ‰ÂðÊËÚ Ï‡ÚÂðˇΠӷ ‡Ì‡ÎÓ„Ó‚˚ı Ë ‰ËÒÍðÂÚÌ˚ı ÛÒÚðÓÈÒÚ‚‡ı, ‚ıÓ‰fl˘Ëı ‚ ÒÓÒÚ‡‚ ð‡‰ËÓ- Ë ÔðÓ‚Ó‰ÌÓÈ ‡ÔÔ‡ð‡ÚÛð˚ Ò‚flÁË: ˝ÎÂÍÚð˘ÂÒÍËı ‡Ì‡ÎÓ„Ó‚˚ı Ë ‰ËÒÍðÂÚÌ˚ı ÙËθÚð‡ı, ÍÓððÂÍÚÓð‡ı, „ÂÌÂð‡ÚÓð‡ı, 
ÌÂÎËÌÂÈÌ˚ı ÔðÂÓ·ð‡ÁÓ‚‡ÚÂÎflı. èÓÒÓ·Ë ÏÓÊÂÚ ·˚Ú¸ ËÒÔÓθÁÓ‚‡ÌÓ Í‡Í ÔðË 
Úð‡‰ËˆËÓÌÌ˚ı, Ú‡Í Ë ‰ËÒڇ̈ËÓÌÌ˚ı ÚÂıÌÓÎÓ„Ëflı Ó·Û˜ÂÌËfl ÒÚÛ‰ÂÌÚÓ‚.  
ÑÎfl ÒÚÛ‰ÂÌÚÓ‚ ‚ÛÁÓ‚, Ó·Û˜‡˛˘ËıÒfl ÔÓ Ì‡Ôð‡‚ÎÂÌ˲ ÔÓ‰„ÓÚÓ‚ÍË 
210700 – «àÌÙÓÍÓÏÏÛÌË͇ˆËÓÌÌ˚ ÚÂıÌÓÎÓ„ËË Ë ÒËÒÚÂÏ˚ Ò‚flÁË» Í‚‡ÎËÙË͇ˆËË (ÒÚÂÔÂÌË) «·‡Í‡Î‡‚ð» Ë Í‚‡ÎËÙË͇ˆËË (ÒÚÂÔÂÌË) «Ï‡„ËÒÚð», ·Û‰ÂÚ ÔÓÎÂÁÌÓ ‰Îfl ÒÚÛ‰ÂÌÚÓ‚ ‚ÛÁÓ‚ Ë ÍÓÎΉÊÂÈ, Ó·Û˜‡˛˘ËıÒfl ÔÓ ÒÔˆˇθÌÓÒÚflÏ Ò‚flÁË Ë ËÌÙÓðχÚËÍË. 

ÅÅä 32.88 

ĉðÂÒ ËÁ‰‡ÚÂθÒÚ‚‡ ‚ àÌÚÂðÌÂÚ WWW.TECHBOOK.RU 

 
ì˜Â·ÌÓ ËÁ‰‡ÌË 

Ň͇ÎÓ‚ LJÎÂðËÈ è‡ÌÚÂ΂˘, ÜÛð‡‚΂‡ é脇 ÅÓðËÒӂ̇, 
äðÛÍ ÅÓðËÒ à‚‡Ìӂ˘ 

 
éëçéÇõ ÄçÄãàáÄ ñÖèÖâ 

ì˜Â·ÌÓ ÔÓÒÓ·Ë 

é·ÎÓÊ͇ ıÛ‰ÓÊÌË͇  Ç. É. ëËÚÌËÍÓ‚‡ 

 
èÓ‰ÔËÒ‡ÌÓ Í Ô˜‡ÚË 05.12.2013.  îÓðÏ‡Ú 60×90 1/16., ìÒÎ. Ô˜. Î. 37.  àÁ‰. ‹ 13306.  íËð‡Ê 500 ˝ÍÁ. 

 
ISBN 978-5-9912-0306-7                           ©  Ç. è. Ň͇ÎÓ‚, é. Å. ÜÛð‡‚΂‡,  
                                                                             Å. à. äðÛÍ, 2012, 2014 
                                   ©  àÁ‰‡ÚÂθÒÚ‚Ó «ÉÓðfl˜‡fl ÎËÌËfl–íÂÎÂÍÓÏ», 2012 

Ïðåäèñëîâèå 

 
Äèñöèïëèíà «Îñíîâû òåîðèè öåïåé» áàçèðóåòñÿ, êàê èçâåñòíî, «íà äâóõ êèòàõ» – àíàëèçå è ñèíòåçå. Ïðè ýòîì ðàçäåë, îïèñûâàþùèé àíàëèç ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé, ÿâëÿåòñÿ áàçîâûì äëÿ 
ïîäàâëÿþùåãî áîëüøèíñòâà äèñöèïëèí òåëåêîììóíèêàöèîííûõ 
ñïåöèàëüíîñòåé. 
Òåõíè÷åñêàÿ ðåâîëþöèÿ, ïðîèñõîäÿùàÿ ñåé÷àñ â ñôåðå òåëåêîììóíèêàöèé è èíôîðìàòèêè, ïðåäïîëàãàåò îðãàíè÷åñêîå âçàèìîäåéñòâèå àíàëîãîâûõ è öèôðîâûõ ñïîñîáîâ îðãàíèçàöèè ñâÿçè. 
Ïîäîáíîå èìååò ìåñòî, íàïðèìåð, â ñîâðåìåííûõ ñèñòåìàõ ïîäâèæíîé ðàäèîñâÿçè, â ñåòÿõ ïðîâîäíîãî è ðàäèîäîñòóïà, îïòè÷åñêèõ ñèñòåìàõ ñâÿçè è äð. Òàêèå ïîíÿòèÿ, êàê ôèëüòðàöèÿ, ãåíåðàöèÿ, ìîäóëÿöèÿ, âûïðÿìëåíèå, êîððåëÿöèÿ, öèôðîâàÿ îáðàáîòêà è ò.ï. åùå ìíîãèå äåñÿòèëåòèÿ îñòàíóòñÿ â àðñåíàëå ñïåöèàëèñòîâ ðàäèîòåõíèêè, ñâÿçè è èíôîðìàòèêè. Áîëåå òîãî, îáùàÿ òåîðèÿ ôèëüòðîâ, ãåíåðàòîðîâ, ìîäóëÿòîðîâ, êîððåêòîðîâ è äðóãèõ 
óñòðîéñòâ ïðåäïîëàãàåò èñïîëüçîâàíèå ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé 
ýòèõ óñòðîéñòâ è îïèñàíèå íà èõ îñíîâå ïðîèñõîäÿùèõ ôèçè÷åñêèõ ïðîöåññîâ. Ðåàëèçàöèÿ äàííûõ ìîäåëåé ìîæåò áûòü îñóùåñòâëåíà êàê íà îñíîâå àíàëîãîâîé (ëèíåéíîé è íåëèíåéíîé), òàê 
è íà îñíîâå öèôðîâîé òåõíèêè. 
Ìàòåðèàë ïðåäëàãàåìîãî ÷èòàòåëþ ó÷åáíîãî ïîñîáèÿ ÿâëÿåòñÿ 
÷àñòüþ äèñöèïëèíû «Îñíîâû òåîðèè öåïåé», êîòîðàÿ èçó÷àåòñÿ 
ñòóäåíòàìè ïðàêòè÷åñêè âñåõ ñïåöèàëüíîñòåé âóçîâ è êîëëåäæåé 
ðàäèîòåõíèêè è ñâÿçè. Îí ïîñâÿùåí àíàëèçó ðåàêöèé ëèíåéíûõ, 
íåëèíåéíûõ è äèñêðåòíûõ öåïåé íà ðàçëè÷íûå âîçäåéñòâèÿ è íà 
ýòîé îñíîâå ðàñ÷åòó ðàçëè÷íûõ óçëîâ è óñòðîéñòâ àíàëîãîâîé è 
öèôðîâîé àïïàðàòóðû ñâÿçè. 
Ïðåäëàãàåìûé ÷èòàòåëþ ìàòåðèàë ñ îäíîé ñòîðîíû ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé òåîðèþ, èñïîëüçóþùóþ ðàçíîîáðàçíûé è äîñòàòî÷íî 
ñëîæíûé ìàòåìàòè÷åñêèé àïïàðàò. Ñ äðóãîé ñòîðîíû ýòî ïåðâûé 
ìàòåðèàë, êîòîðûé çàêëàäûâàåò ôóíäàìåíò â ñïåöèàëüíûå çíàíèÿ 
ñòóäåíòà. 
Ïðè ñàìîñòîÿòåëüíîì èçó÷åíèè ìàòåðèàëà, êîãäà ðÿäîì íåò 
îïûòíîãî ïðåïîäàâàòåëÿ, òðàäèöèîííûé ó÷åáíèê óæå íå ÿâëÿåòñÿ 
ñàìîäîñòàòî÷íûì ñðåäñòâîì äëÿ óñâîåíèÿ ìàòåðèàëà õîòÿ áû ïîòîìó, ÷òî îí íàïèñàí â òðàäèöèîííîé ìàíåðå è ïðåäíàçíà÷åí äëÿ 
èñïîëüçîâàíèÿ ïðè òðàäèöèîííîé ìåòîäèêå îáó÷åíèÿ. 
Ñåãîäíÿ íåò ÷åòêèõ ðåêîìåíäàöèé, êàêèì äîëæåí áûòü ó÷åáíèê äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî èçó÷åíèÿ ìàòåðèàëà. Êàæäûé àâòîð 
âûíóæäåí ñàì ðåøàòü ýòîò âîïðîñ. Ïîýòîìó â ïîñëåäíèå ãîäû â 
äîïîëíåíèå ê òðàäèöèîííûì ó÷åáíèêàì ñòàëè èçäàâàòüñÿ ìíîãî÷èñëåííûå ó÷åáíûå ïîñîáèÿ äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîé ðàáîòû èëè äëÿ 

äèñòàíöèîííîãî îáó÷åíèÿ. Ïðè âñåì ìíîãîîáðàçèè è âíåøíåé íåñõîæåñòè ýòèõ ïîñîáèé èõ îáúåäèíÿåò îäíî – ñòðåìëåíèå àâòîðîâ 
èçëîæèòü ìàòåðèàë òàê, ÷òîáû îáó÷àþùèéñÿ ìîã ñàìîñòîÿòåëüíî 
ðàçîáðàòüñÿ â äåáðÿõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ôîðìóë, ïîíÿòü ñìûñë ñóùåñòâóþùèõ çàêîíîâ è ïðàâèë, óñâîèòü ìíîãî÷èñëåííûå àëãîðèòìû è ìåòîäû ðàñ÷åòà. 
Ïîäîáíóþ ïîïûòêó ïðåäïðèíÿëè è àâòîðû äàííîãî ó÷åáíîãî 
ïîñîáèÿ. Ó÷åáíîå ïîñîáèå ñîñòîèò èç 2-õ ÷àñòåé.  ïåðâîé èç íèõ 
îïèñàíû ìåòîäû àíàëèçà ðåàêöèé ðàçíîãî ðîäà öåïåé (ëèíåéíûõ, 
íåëèíåéíûõ, äèñêðåòíûõ) íà ðàçëè÷íûå âîçäåéñòâèÿ. Âòîðàÿ 
÷àñòü ïîñîáèÿ ïîñâÿùåíà àíàëèçó ðàáîòû óçëîâ è óñòðîéñòâ àíàëîãîâîé è öèôðîâîé àïïàðàòóðû ñâÿçè: ôèëüòðîâ, êîððåêòîðîâ, 
íåëèíåéíûõ ïðåîáðàçîâàòåëåé, ãåíåðàòîðîâ. 
Òî, ÷òî ïîñîáèå ïðåäíàçíà÷åíî äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî èçó÷åíèÿ 
ìàòåðèàëà â çíà÷èòåëüíîé ìåðå îïðåäåëèëî ÿçûê è ñòèëü ïîñòðîåíèÿ êíèãè.  êà÷åñòâå âñòðîåííûõ ïîäçàãîëîâêîâ òåêñòà èñïîëüçóþòñÿ êëþ÷åâûå ôðàçû, ñðàçó æå ââîäÿùèå ÷èòàòåëÿ â ñóòü 
ïðåäëàãàåìîãî ìàòåðèàëà, à â êîíöå êàæäîãî ðàçäåëà ñôîðìóëèðîâàíû êîíå÷íûå öåëè èçó÷åíèÿ ýòîãî ðàçäåëà. Òåêñò êíèãè íàñûùåí 
áîëüøèì êîëè÷åñòâîì èëëþñòðàòèâíûõ ïðèìåðîâ. Îñíîâíûå ôîðìóëû ïðèâåäåíû â ðàìêàõ, ïðèâëåêàþùèõ âíèìàíèå îáó÷àåìîãî. 
 êîíöå ãëàâ äàíû êîíòðîëüíûå âîïðîñû è çàäàíèÿ, óïðàæíåíèÿ ñ 
îòâåòàìè, ñïîñîáñòâóþùèå ñàìîêîíòðîëþ óñâîåíèÿ ìàòåðèàëà. 
Ïðåäëîæåííàÿ ñòðóêòóðà êíèãè, à òàêæå ñòðåìëåíèå àâòîðîâ 
èçëîæèòü ìàòåðèàë ÿñíî è äîõîä÷èâî, äåëàåò ýòî ó÷åáíîå ïîñîáèå 
îñîáåííî ïîëåçíûì äëÿ ñèñòåìû äèñòàíöèîííîãî îáðàçîâàíèÿ, ãäå 
îñíîâíîé óïîð ñòàâèòñÿ íà ñàìîñòîÿòåëüíîå ïðèîáðåòåíèå çíàíèé. 
Äàííîå ó÷åáíîå ïîñîáèå ÿâëÿåòñÿ ïðîäîëæåíèåì è äîïîëíåíèåì êîìïëåêñà ó÷åáíîé ëèòåðàòóðû, âêëþ÷àþùåãî ó÷åáíèê Â.Ï. Áàêàëîâà, Â.Ô. Äìèòðèêîâà, Á.È. Êðóêà «Îñíîâû òåîðèè öåïåé», 
ó÷åáíîå ïîñîáèå Â.Ï. Áàêàëîâà, Á.È. Êðóêà, Î.Á. Æóðàâëåâîé 
«Îñíîâû òåîðèè öåïåé. Êîìïüþòåðíûé òðåíàæåðíûé êîìïëåêñ» è 
ó÷åáíîå ïîñîáèå Ì.Ã. Âèòêîâà, Í.È. Ñìèðíîâà «Îñíîâû òåîðèè 
öåïåé. Ëàáîðàòîðíûé ïðàêòèêóì». 
Àâòîðû ïðèçíàòåëüíû ðåöåíçåíòàì çàâåäóþùåìó êàôåäðîé 
ÒÝÖ Ïîâîëæñêîé ãîñóäàðñòâåííîé àêàäåìèè òåëåêîììóíèêàöèé è 
èíôîðìàòèêè ïðîô. À.Å. Äóáèíèíó, çàâåäóþùåìó êàôåäðîé ÒÝÖ 
Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà òåëåêîììóíèêàöèé ïðîô. Â.Ô. Äìèòðèêîâó çà èõ çàìå÷àíèÿ, ñïîñîáñòâóþùèå óëó÷øåíèþ ñîäåðæàíèÿ êíèãè. 
 
Àâòîðû 

Âìåñòî ââåäåíèÿ: çàäà÷à àíàëèçà öåïåé 

Â.1 Ýëåìåíòû ýëåêòðè÷åñêîé öåïè 

 
Ýëåêòðè÷åñêîé öåïüþ íàçûâàåòñÿ ñîåäèíåíèå ãåíåðàòîðîâ 
ýëåêòðè÷åñêîé ýíåðãèè è ïðèåìíèêîâ ýòîé ýíåðãèè – ðåçèñòèâíûõ, èíäóêòèâíûõ è åìêîñòíûõ ýëåìåíòîâ. 
Ãåíåðàòîðû, èëè ïî-äðóãîìó, èñòî÷íèêè ýëåêòðè÷åñêîé ýíåðãèè ïîäðàçäåëÿþòñÿ íà çàâèñèìûå è íåçàâèñèìûå èñòî÷íèêè. Ê 
íåçàâèñèìûì èñòî÷íèêàì îòíîñÿòñÿ áàòàðåè, àêêóìóëÿòîðû, ýëåêòðîãåíåðàòîðû, òåðìîýëåìåíòû è äðóãèå ïðåîáðàçîâàòåëè; ê çàâèñèìûì èñòî÷íèêàì – ýëåêòðîííûå ëàìïû, òðàíçèñòîðû, îïåðàöèîííûå óñèëèòåëè è äðóãèå àêòèâíûå ýëåìåíòû. Íåçàâèñèìûå èñòî÷íèêè ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå äâóõ ìîäåëåé: èñòî÷íèêà íàïðÿæåíèé è èñòî÷íèêà òîêà. 
Ïîíÿòèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî íàïðÿæåíèÿ è ýëåêòðè÷åñêîãî òîêà 
ÿâëÿþòñÿ îäíèìè èç îñíîâíûõ â àíàëèçå ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé. 
Êàæäàÿ òî÷êà ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ õàðàêòåðèçóåòñÿ ýëåêòðè÷åñêèì ïîòåíöèàëîì V. Ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ V1 è V2 äâóõ òî÷åê íàçûâàåòñÿ íàïðÿæåíèåì u12: 

 
u12 = V1 – V2. 
 èñòî÷íèêå ýëåêòðè÷åñêîé ýíåðãèè, íàïðèìåð, â òàêîì êàê 
ñóõîé ýëåìåíò, â ðåçóëüòàòå õèìè÷åñêèõ ðåàêöèé ïîÿâëÿåòñÿ ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ ìåæäó óãîëüíûì ñòåðæíåì è öèíêîâûì ñòàêàí÷èêîì. Ñëåäîâàòåëüíî, ìåæäó âûâîäàìè îò óãîëüíîãî ñòðåæíÿ 
è öèíêîâîãî ñòàêàí÷èêà, âîçíèêàåò íàïðÿæåíèå. 
 òåõíèêå ñâÿçè ýëåêòðè÷åñêèå íàïðÿæåíèÿ ïîëó÷àþò îò ñïåöèàëüíûõ ýëåêòðîííûõ óñòðîéñòâ, íàçûâàåìûõ ãåíåðàòîðàìè è 
ïðåîáðàçóþùèõ ýëåêòðè÷åñêóþ ýíåðãèþ ïðîìûøëåííîé ñåòè â 
ðàçëè÷íûå íàïðÿæåíèÿ. 
Íàïðÿæåíèå íà ðàçîìêíóòûõ çàæèìàõ èñòî÷íèêà íàçûâàåòñÿ 
ýëåêòðîäâèæóùåé ñèëîé (ýäñ) è îáîçíà÷àåòñÿ áóêâîé å. 
Çíà÷åíèå íàïðÿæåíèÿ â ëþáîé çàäàííûé ìîìåíò t íàçûâàåòñÿ 
ìãíîâåííûì è îáîçíà÷àåòñÿ u = u(t).  ñèñòåìå ÑÈ íàïðÿæåíèå 
è ýäñ èçìåðÿþò â âîëüòàõ (Â).  
Ïîä âîçäåéñòâèåì ðàçíîñòè ïîòåíöèàëîâ (íàïðÿæåíèÿ) èñòî÷íèêà â ýëåêòðè÷åñêîé öåïè âîçíèêàåò ýëåêòðè÷åñêèé òîê i – 
óïîðÿäî÷åííîå äâèæåíèå ýëåêòðè÷åñêèõ çàðÿäîâ (òîê ïðîâîäèìîñòè â ìåòàëëàõ, ýëåêòðîëèòàõ, ãàçàõ; òîê ïåðåíîñà â ýëåêòðîâàêóóìíûõ ïðèáîðàõ è äð.). Çíà÷åíèå òîêà i(t) â ëþáîé çàäàííûé 
ìîìåíò t íàçûâàåòñÿ ìãíîâåííûì è îáîçíà÷àåòñÿ i = i(t). Èçìåðÿåòñÿ òîê â àìïåðàõ (À). 

ßâëÿÿñü ñêàëÿðíîé âåëè÷èíîé, 
íàïðÿæåíèå u(t) ìîæåò ïðèíèìàòü 
êàê ïîëîæèòåëüíûå, òàê è îòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ. Äëÿ îäíîçíà÷íîãî 
îïðåäåëåíèÿ çíàêà íàïðÿæåíèÿ âûáèðàþò ïîëîæèòåëüíîå íàïðàâëåíèå åãî 
îòñ÷åòà, êîòîðîå ïîêàçûâàåòñÿ ñòðåëêîé (ðèñ. Â.1). Äëÿ îïðåäåëåííîñòè áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ïîëîæèòåëüíîå íàïðàâëåíèå îòñ÷åòà ñîâïàäàåò ñ íàïðàâëåíèåì ñòðåëêè îò 
áîëåå âûñîêîãî ïîòåíöèàëà, ò.å. «+», ê áîëåå íèçêîìó, ò.å. «–». 
Òîê i(t) òàêæå ìîæåò ïðèíèìàòü ïîëîæèòåëüíûå è îòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ. Ïðèíÿòî ñ÷èòàòü çíà÷åíèå òîêà ïîëîæèòåëüíûì, åñëè äâèæåíèå ïîëîæèòåëüíî çàðÿæåííûõ ÷àñòèö ñîâïàäàåò 
ñ çàðàíåå âûáðàííûì íàïðàâëåíèåì îòñ÷åòà òîêà. 
 ñëó÷àå, ïîêàçàííîì íà ðèñ. Â.1, ïîëîæèòåëüíûå íàïðàâëåíèÿ îòñ÷åòà íàïðÿæåíèÿ è òîêà ñîãëàñîâàíû ìåæäó ñîáîé, òàê 
êàê ïîëîæèòåëüíîå íàïðàâëåíèå îòñ÷åòà íàïðÿæåíèÿ u12 ñîîòâåòñòâóåò íàïðàâëåíèþ ïåðåìåùåíèÿ ïîëîæèòåëüíî çàðÿæåííûõ ÷àñòèö îò áîëåå âûñîêîãî ïîòåíöèàëà V1 ê áîëåå íèçêîìó V2. Î÷åâèäíî, ÷òî u12 = –u21. 
Íåçàâèñèìûì èñòî÷íèêîì íàïðÿæåíèÿ íàçûâàþò èäåàëèçèðîâàííûé äâóõïîëþñíûé ýëåìåíò, íàïðÿæåíèå íà çàæèìàõ êîòîðîãî íå çàâèñèò îò ïðîòåêàþùåãî ÷åðåç íåãî òîêà. Óñëîâíîå îáîçíà÷åíèå èñòî÷íèêà íàïðÿæåíèÿ ïîêàçàíî íà ðèñ. Â.2, à. 
Èñòî÷íèê íàïðÿæåíèÿ ïîëíîñòüþ õàðàêòåðèçóåòñÿ ñâîèì çàäàþùèì íàïðÿæåíèåì uã, èëè ýäñ eã. Âíóòðåííåå ñîïðîòèâëåíèå 
èñòî÷íèêà íàïðÿæåíèÿ ðàâíî íóëþ. 
Çàâèñèìîñòü íàïðÿæåíèÿ îò òîêà íîñèò íàçâàíèå âîëüòàìïåðíîé õàðàêòåðèñòèêè (ÂÀÕ). Ó èäåàëüíîãî èñòî÷íèêà íàïðÿæåíèÿ ÂÀÕ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðÿìóþ, ïàðàëëåëüíóþ îñè 
òîêîâ (ðèñ. Â. 3, à). 
 

 
 
Â.2. Èäåàëüíûå èñòî÷íèêè íàïðÿæåíèÿ (à è á) è òîêà (â)  
è ðåàëüíûå (ã è ä) 

 
 
Ðèñ. Â.1. Íàïðàâëåíèÿ îòñ÷åòîâ íàïðÿæåíèÿ è òîêà 

Ðèñ Â.3. Âîëüò-àìïåðíûå  õàðàêòåðèñòèêè èäåàëüíûõ  
èñòî÷íèêîâ íàïðÿæåíèè (à) è òîêà (á) 
 
Íåçàâèñèìûì èñòî÷íèêîì òîêà íàçûâàþò èäåàëèçèðîâàííûé äâóõïîëþñíûé ýëåìåíò, òîê êîòîðîãî íå çàâèñèò îò íàïðÿæåíèÿ íà åãî çàæèìàõ. Óñëîâíîå èçîáðàæåíèå èñòî÷íèêà òîêà 
ïîêàçàíî íà ðèñ. Â.2, â. Èñòî÷íèê òîêà ïîëíîñòüþ õàðàêòåðèçóåòñÿ ñâîèì çàäàþùèì òîêîì iã. Âíóòðåííÿÿ ïðîâîäèìîñòü èñòî÷íèêà òîêà ðàâíà íóëþ (âíóòðåííåå ñîïðîòèâëåíèå áåñêîíå÷íî âåëèêî) è ÂÀÕ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðÿìóþ ïàðàëëåëüíóþ îñè íàïðÿæåíèé (ðèñ. Â.3, á). 
Ñâîéñòâà ðåàëüíûõ èñòî÷íèêîâ ñ êîíå÷íûì âíóòðåííèì ñîïðîòèâëåíèåì ìîæíî ìîäåëèðîâàòü ñ ïîìîùüþ íåçàâèñèìûõ èñòî÷íèêîâ íàïðÿæåíèÿ è òîêà ñ äîïîëíèòåëüíî âêëþ÷åííûìè ðåçèñòèâíûìè ñîïðîòèâëåíèåì Rã èëè ïðîâîäèìîñòüþ Gã (ðèñ. Â.2, ã 
è ä). Íàïðÿæåíèå u è îòäàâàåìûé òîê i ýòèõ èñòî÷íèêîâ çàâèñÿò 
îò ïàðàìåòðîâ ïîäêëþ÷àåìîé ê íèì öåïè, à èõ ÂÀÕ èìåþò òàíãåíñ óãëà íàêëîíà α, ïðîïîðöèîíàëüíûé Rã è Gã, ñîîòâåòñòâåííî 
(øòðèõîâûå ëèíèè íà ðèñ. Â.3). 
Çàâèñèìûé èñòî÷íèê ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ÷åòûðåõïîëþñíûé 
ýëåìåíò ñ äâóìÿ ïàðàìè çàæèìî⠖ âõîäíûõ è âûõîäíûõ. Âõîä
 
 
Ðèñ. Â.4. Çàâèñèìûå èñòî÷íèêè: ÈÍÓÍ (à), ÈÒÓÍ (á),  
ÈÍÓÒ (â) è ÈÒÓÒ (ã) 

íûå òîê i1 è íàïðÿæåíèå u1 ÿâëÿþòñÿ óïðàâëÿþùèìè. Ðàçëè÷àþò 
ñëåäóþùèå ðàçíîâèäíîñòè çàâèñèìûõ èñòî÷íèêîâ (ðèñ. Â.4): èñòî÷íèê íàïðÿæåíèÿ, óïðàâëÿåìûé íàïðÿæåíèåì (ÈÍÓÍ); èñòî÷íèê òîêà, óïðàâëÿåìûé íàïðÿæåíèåì (ÈÒÓÍ); èñòî÷íèê íàïðÿæåíèÿ, óïðàâëÿåìûé òîêîì (ÈÍÓÒ); èñòî÷íèê òîêà, óïðàâëÿåìûé òîêîì (ÈÒÓÒ). Íà ðèñ. Â.4 ïîêàçàíû óñëîâíûå îáîçíà÷åíèÿ 
çàâèñèìûõ èñòî÷íèêîâ ðàçëè÷íîãî òèïà. 
 ÈÍÓÍ (ðèñ. Â.4, à) âõîäíîå ñîïðîòèâëåíèå áåñêîíå÷íî 
âåëèêî, âõîäíîé òîê i1 = 0, à âûõîäíîå íàïðÿæåíèå u2 ñâÿçàíî ñ 
âõîäíûì u1 ðàâåíñòâîì u2 = Huu1, ãäå Hu – êîýôôèöèåíò, õàðàêòåðèçóþùèé óñèëåíèå ïî íàïðÿæåíèþ çàâèñèìîãî èñòî÷íèêà. Èñòî÷íèê òèïà ÈÍÓÍ ÿâëÿåòñÿ èäåàëüíûì óñèëèòåëåì íàïðÿæåíèÿ. 
 ÈÒÓÍ (ðèñ. Â.4, á) âûõîäíîé òîê i2 óïðàâëÿåòñÿ âõîäíûì 
íàïðÿæåíèåì u1, ïðè÷åì i1 = 0 è òîê i2 ñâÿçàí ñ u1 ðàâåíñòâîì 
i2 = HGu1, ãäå HG – êîýôôèöèåíò, èìåþùèé ðàçìåðíîñòü ïðîâîäèìîñòè. 
 ÈÍÓÒ (ðèñ. Â.4, â) âõîäíûì òîêîì i1 óïðàâëÿåòñÿ âûõîäíîå íàïðÿæåíèå u2; âõîäíàÿ ïðîâîäèìîñòü áåñêîíå÷íî âåëèêà; 
u1 = 0, u2 = HRi1, ãäå HR – êîýôôèöèåíò, èìåþùèé ðàçìåðíîñòü 
ñîïðîòèâëåíèÿ. 
 ÈÒÓÒ (ðèñ. 8.4, ã) óïðàâëÿþùèì òîêîì ÿâëÿåòñÿ i1, à óïðàâëÿåìûì i2. Âõîäíàÿ ïðîâîäèìîñòü áåñêîíå÷íî âåëèêà; u1 = 0, 
i2 = Hii1, ãäå Hi – êîýôôèöèåíò óñèëåíèÿ ïî òîêó. ÈÒÓÒ ÿâëÿåòñÿ èäåàëüíûì óñèëèòåëåì òîêà. 
Ïðèìåðîì çàâèñèìîãî èñòî÷íèêà ÿâëÿåòñÿ îïåðàöèîííûé 
óñèëèòåëü (ÎÓ). Âûïóñêàåìûå â âèäå îòäåëüíûõ ìèêðîñõåì 
(ðèñ. Â.5, à) ÎÓ øèðîêî ïðèìåíÿþòñÿ â êà÷åñòâå çàâèñèìûõ èñòî÷íèêîâ ýëåêòðè÷åñêîé öåïè. 
Îïåðàöèîííûé óñèëèòåëü èìååò äâà âõîäà: 1 – íåèíâåíòèðóþùèé è 2 – èíâåðòèðóþùèé. Ïðè ïîäà÷å íàïðÿæåíèÿ u1 íà 
âõîä 1 âûõîäíîå íàïðÿæåíèå u2 èìååò òó æå ïîëÿðíîñòü, ÷òî è 
u1, à ïðè ïîäà÷å u1 íà âõîä 2 íàïðÿæåíèå u2 ìåíÿåò ñâîþ ïîëÿðíîñòü íà ïðîòèâîïîëîæíóþ. 
 

 
 
Ðèñ. Â.5. Èäåàëüíûé îïåðàöèîííûé óñèëèòåëü  
è åãî ñõåìà çàìåùåíèÿ â âèäå ÈÍÓÍ 

Ðèñ. Â.6. Ðåçèñòèâíûé (à), èíäóêòèâíûé (á) è åìêîñòíûé (â)  
ýëåìåíòû ýëåêòðè÷åñêîé öåïè 
 
Èäåàëüíûé ÎÓ (ðèñ. Â.5, á) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ÈÍÓÍ ñ 
áåñêîíå÷íî áîëüøèì êîýôôèöèåíòîì óñèëåíèÿ (Hu → ∞), áåñêîíå÷íî áîëüøèìè âõîäíûì ñîïðîòèâëåíèåì è âûõîäíîé ïðîâîäèìîñòüþ. 
×àñòî äëÿ àíàëèçà öåïåé ñ áèïîëÿðíûìè è ïîëåâûìè òðàíçèñòîðàìè èñïîëüçóåòñÿ ìîäåëü ÈÒÓÍ ñ êîíå÷íûì èëè, ñîîòâåòñòâåííî, áåñêîíå÷íûì âõîäíûì ñîïðîòèâëåíèåì. 
Åñëè èñòî÷íèêè ýëåêòðè÷åñêîé ýíåðãèè íàçûâàþò àêòèâíûìè 
ýëåìåíòàìè, òî ïðèåìíèêè ýëåêòðè÷åñêîé ýíåðãèè – ïàññèâíûìè 
ýëåìåíòàìè: ðåçèñòèâíûì, èíäóêòèâíûì è åìêîñòíûì. 
Ðåçèñòèâíûì ýëåìåíòîì íàçûâàþò èäåàëèçèðîâàííûé ýëåìåíò, îáëàäàþùèé òîëüêî ñâîéñòâîì íåîáðàòèìîãî ðàññåÿíèÿ 
ýíåðãèè. Óñëîâíîå îáîçíà÷åíèå ðåçèñòèâíîãî ýëåìåíòà ïîêàçàíî 
íà ðèñ. Â.6, à. Âîëüò-àìïåðíàÿ õàðàêòåðèñòèêà ðåçèñòèâíîãî ýëåìåíòà èìååò âèä: 

 
u = Ri    èëè   i = Gu. 
(Â.1) 
Êîýôôèöèåíòû ïðîïîðöèîíàëüíîñòè R è G íàçûâàþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî ñîïðîòèâëåíèåì è ïðîâîäèìîñòüþ ýëåìåíòà è ÿâëÿþòñÿ åãî êîëè÷åñòâåííîé õàðàêòåðèñòèêîé. Îíè ñâÿçàíû îáðàòíîé 
çàâèñèìîñòüþ R = 1/G. Èçìåðÿþò â ñèñòåìå ÑÈ ñîïðîòèâëåíèå 
R â îìàõ (Îì), à ïðîâîäèìîñòü G â ñèìåíñàõ (Ñì). 
Åñëè â ÂÀÕ (Â.1) ñîïðîòèâëåíèå R ïîñòîÿííî, òî ÂÀÕ ëèíåéíà (ðèñ. Â.7, à) è ðåçèñòèâíûé ýëåìåíò ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì. 
Åñëè æå R çàâèñèò îò ïðîòåêàþùåãî ÷åðåç íåãî òîêà èëè ïðèëîæåííîãî ê íåìó íàïðÿæåíèÿ, òî ÂÀÕ ñòàíîâèòñÿ íåëèíåéíîé è 
ðåçèñòèâíûé ýëåìåíò íàçûâàåòñÿ íåëèíåéíûì. 
 

 
 
Ðèñ. Â.7. Âîëüò-àìïåðíûå õàðàêòåðèñòèêè ëèíåéíîãî (à)  
è íåëèíåéíîãî (á) ðåçèñòèâíûõ ñîïðîòèâëåíèé 

Èíäóêòèâíûì ýëåìåíòîì íàçûâàþò èäåàëèçèðîâàííûé ýëåìåíò ýëåêòðè÷åñêîé öåïè, îáëàäàþùèì òîëüêî ñâîéñòâîì íàêîïëåíèÿ èì ýíåðãèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ. Óñëîâíîå îáîçíà÷åíèå èíäóêòèâíîãî ýëåìåíòà èçîáðàæåíî íà ðèñ. Â.6, á. 
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü, îïèñûâàþùàÿ ñâîéñòâà èíäóêòèâíîãî ýëåìåíòà, îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì 

 
Ψ = Li, 
(Â.2) 
ãäå Ψ – ïîòîêîñöåïëåíèå, õàðàêòåðèçóþùåå ñóììàðíûé ìàãíèòíûé ïîòîê, ïðîíèçûâàþùèé êàòóøêó. Èçìåðÿåòñÿ â âåáåðàõ (Âá). 
L – èíäóêòèâíîñòü ýëåìåíòà. Èçìåðÿåòñÿ â ãåíðè (Ãí). 
Ñâÿçü ìåæäó íàïðÿæåíèåì íà èíäóêòèâíîì ýëåìåíòå è òîêîì 
â íåì îïðåäåëÿåòñÿ ñîãëàñíî çàêîíó ýëåêòðîìàãíèòíîé èíäóêöèè 
âûðàæåíèåì 

 
Ψ
=
=
L

d
di
u
L
dt
dt . 
(Â.3) 

Åñëè âåëè÷èíà L ïîñòîÿííà è íå çàâèñèò îò ýëåêòðè÷åñêîãî 
ðåæèìà, òî âåáåð-àìïåðíàÿ õàðàêòåðèñòèêà (Â.2) ëèíåéíà è èíäóêòèâíûé ýëåìåíò ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì. Åñëè æå L çàâèñèò îò òîêà èëè íàïðÿæåíèÿ, òî âåáåð-àìïåðíàÿ õàðàêòåðèñòèêà íåëèíåéíà 
è èíäóêòèâíûé ýëåìåíò áóäåò íåëèíåéíûì. 
Èç âûðàæåíèÿ (Â.3) ñëåäóåò, ÷òî ïðè ïðîòåêàíèè ÷åðåç èíäóêòèâíûé ýëåìåíò ïîñòîÿííîãî òîêà i íàïðÿæåíèå uL = 0 è èíäóêòèâíûé ýëåìåíò ýêâèâàëåíòåí â ýòîì ñëó÷àå êîðîòêîçàìêíóòîìó ó÷àñòêó öåïè. 
Åìêîñòíûì ýëåìåíòîì íàçûâàåòñÿ èäåàëèçèðîâàííûé ýëåìåíò ýëåêòðè÷åñêîé öåïè, îáëàäàþùèé òîëüêî ñâîéñòâîì íàêàïëèâàòü ýíåðãèþ ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ. Óñëîâíîå îáîçíà÷åíèå åìêîñòíîãî ýëåìåíòà ïîêàçàíî íà ðèñ. Â.6, â. 
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü, îïèñûâàþùàÿ ñâîéñòâà åìêîñòíîãî 
ýëåìåíòà, îïðåäåëÿåòñÿ êóëîí-âîëüòíîé õàðàêòåðèñòèêîé 

 
q = CuC, 
(Â.4) 
ãäå q – ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä, èçìåðÿåìûé â êóëîíàõ (Êë); Ñ – 
åìêîñòü ýëåìåíòà, èçìåðÿåìàÿ â ôàðàäàõ (Ô). 
Ìåæäó òîêîì è íàïðÿæåíèåì íà åìêîñòíîì ýëåìåíòå ñóùåñòâóåò ñâÿçü, îïðåäåëÿåìàÿ ðàâåíñòâîì: 

 
=
=
C
dq
du
i
C
dt
dt . 
(Â.5) 

Åñëè âåëè÷èíà Ñ ïîñòîÿííàÿ, òî êóëîí-âîëüòíàÿ õàðàêòåðèñòèêà (Â.4) ëèíåéíà è åìêîñòíîé ýëåìåíò ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì. 
Åñëè æå ïàðàìåòð Ñ çàâèñèò îò ýëåêòðè÷åñêîãî ðåæèìà, òî õàðàêòåðèñòèêà (Â.4) íåëèíåéíà.