Сопротивление материалов

Учебник

В двух частях

часть 2

Москва
КУРС 

ИНФРА-М 

СОПРОТиВЛение 

МАТеРиАЛОВ

А.Г. СхиРТЛАдзе

А.В. чекАнин
В.В. ВОЛкОВ

Допущено

Учебно-методическим объединением вузов 

по образованию в области автоматизированного машиностроения (УМО АМ) 

в качестве учебника для студентов высших учебных заведений,  

обучающихся по направлениям подготовки 

«Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительных производств», 

«Автоматизация технологических процессов и производств»

Удк 539.9/8 (075.8)
ббк 30.121
 
С92

Схиртладзе А.Г.,
Сопротивление материалов : в 2 ч. Ч. 2. : учебник  / А.Г. Схирт-

ладзе, А.В. Чеканин, В.В. Волков. — М.: КУРС : ИНФРА-М, 

ISBN 978-5-906923-66-0 (КУРС, общ.)
ISBN 978-5-906923-67-7 (КУРС)
ISBN 978-5-16-013516-8 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-106099-5 (ИНФРА-М, online)

В учебнике представлен теоретический материал по отдельным разде-

лам курса «Сопротивление материалов», даны примеры решения типовых 
задач с пояснениями.

Предполагается, что обучающийся знаком с основными разделами 

курса, рассматривающими базовые понятия дисциплины и подробно из-
ложенными в части I учебника.

В учебнике представлены как традиционные, так и современные кон-

цепции и методики расчетов по проектированию деталей и конструкций.

Учебник может быть использован для студентов машиностроительных 

специальностей всех форм обучения.

Авторы выражают благодарность профессору Д.В. Чернилевскому за 

помощь, оказанную в процессе подбора материалов для написания дан-
ного учебника, и критические замечания.

УДК 539.9/8 (075.8)
ББК 30.121

С92

ISBN 978-5-906923-66-0 (КУРС, общ.)
ISBN 978-5-906923-67-7 (КУРС)
ISBN 978-5-16-013516-8 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-106099-5 (ИНФРА-М, online)

ФЗ 

№ 436-ФЗ

Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 4 ст. 11

© СхиртладзеА.Г., Чеканин А.В.,    
      Волков В.В., 2017
© КУРС, 2017

Р е ц е н з е н т ы:
Бакушев С.В., доктор технических наук, профессор, зав. кафедрой сопро-

тивления материалов и теории упругости Пензенского государственного уни-
верситета архитектуры и строительства;

Романенко И.В. , кандидат технических наук, доцент, зав. кафедрой механи-

зации и автоматизации производства Пензенского государственного универ-
ситета архитектуры и строительства

Предисловие

Все инженерные конструкции должны проектироваться и изго-
товляться так, чтобы в каждом их элементе под действием внешних 
сил обеспечивалась полная надежность и долговечность без риска 
поломки или опасного изменения размеров и формы.
Объектом изучения курса сопротивления материалов является 
реальное твердое тело, находящееся под действием внешних сил. 
Основным свойством этого тела является его способность изменять 
свою форму и размеры под действием внешних сил и при некоторой 
величине этих сил разрушаться.
Изменение формы и размеров тел под действием приложенных 
к нему сил называется деформацией, а тела, способные деформиро-
ваться, — деформируемыми телами.
В отличие от теоретической механики, где тело рассматривается 
как абсолютно твердое, в сопротивлении материалов рассматрива-
ются деформируемые тела.
Деформации, исчезающие после снятия нагрузок, называют уп-
ругими; деформации, остающиеся в теле, — остаточными или плас-
тическими.
Все инженерные конструкции должны быть прочными. Под про-
чностью будем понимать способность детали или элемента кон-
струкции не разрушаться под действием приложенных к ним 
внешних сил и не получать пластических деформаций.
Кроме расчетов на прочность, во многих случаях приходится про-
изводить расчеты на жесткость и устойчивость.
Целью расчета на жесткость является определение таких размеров 
конструкции или отдельных ее элементов, при которых деформации 
не будут превышать заданных величин, действующих по условиям 
нормальной эксплуатации конструкции.
При проектировании часто размеры детали определяются из рас-
четов на прочность и жесткость. В этом случае, чтобы обеспечить 
выполнение обоих требований, из двух полученных по расчету раз-
меров принимают больший.
Расчет на устойчивость должен обеспечить отсутствие качествен-
ного изменения характера деформации элемента конструкции, при-
водящей к разрушению этого элемента или весьма большим его де-
формациям. Это требование относится прежде всего к гибким сжа-
тым элементам.

При выполнении указанных видов расчета необходимо стре-
миться к наибольшей экономии материала, к достаточным, но не 
завышенным размерам элементов конструкции.
Требования надежности и экономичности проектируемой кон-
струкции едины, но и противоречивы по своей сути. Если принцип 
надежности (прежде всего прочности) ведет к большому расходу ма-
териала, то принцип экономичности требует по возможности мень-
шего расхода материала. Эти противоречивые требования обуслов-
ливают главным образом развитие сопротивления материалов как 
науки, обеспечивая единство теории и практики.
Таким образом, сопротивление материалов — наука об инженер-
ных методах расчета на прочность, жесткость, устойчивость и эко-
номичность элементов конструкций.
Наука о сопротивлении материалов имеет свою историю. Начало 
развития сопротивления материалов как науки обычно относят 
к первой половине XVII столетия и связывают с именем знаменитого 
физика, математика и астронома Галилео Галилея (1564–1642). Он 
впервые поставил вопрос о необходимости проведения аналитиче-
ских расчетов для оценки сопротивляемости стержней действию 
внешних сил.
В 1676 г. Р. Гук (1635–1703) установил пропорциональную зависи-
мость между усилием и удлинением при растяжении. Эта зависи-
мость известна под названием закона Гука, который имеет исключи-
тельную важность в сопротивлении материалов. Развитию этой на-
уки в XVIII в. в большей степени способствовали успехи высшей 
математики и механики; особую важность имели работы Л. Эйлера 
(1707–1783) и Ж.Л. Лагранжа (1736–1813).

Глава 1
НаПряжеННое и деформироваННое 
состояНия в точке тела. 
обобщеННый закоН Гука 
для изотроПНоГо материала

В случае простых нагружений стержня, рассмотренных в части I 
учебника, задача оценки прочности не вызывает затруднений. Достаточно 
в его опасной точке вычислить максимальное напряжение 
и сопоставить с предельным напряжением материала, полученным 
непосредственно из опыта. Так, при оценке прочности стержня, работающего 
на растяжение, максимальное расчетное напряжение 
сравнивается с предельным напряжением материала, полученным 
при испытании на растяжение. Для стержня, испытывающего деформацию 
кручения, максимальное расчетное напряжение сопоставляется 
с пределом текучести или прочности материала при кручении, 
опять-таки полученным опытным путем.
А если стержень одновременно закручивается и изгибается, как 
в этом случае оценить прочность? И это вопрос не праздный, так как 
на практике очень часто встречаются детали, испытывающие совместное 
действие нескольких видов деформации. Например, валы 
различных машин испытывают одновременное действие изгиба 
и кручения. И хотя для материала известно предельное напряжение 
при кручении, известно также предельное напряжение при изгибе, 
тем не менее нельзя сказать, как он поведет себя при совместном 
действии изгиба и кручения, так как нам неизвестно, при каком соотношении 
касательных напряжений кручения и нормальных изгибных 
напряжений в материале появляются признаки разрушения.
Естественно, лучший способ — создать такие же напряжения 
в образце и, пропорционально увеличивая их, довести образец до 
разрушения и тем самым непосредственно из испытания определить 
предельные напряжения. Но если хотя бы одно из напряжений изменится, 
то результатами предыдущего эксперимента уже воспользоваться 
нельзя, так как новому соотношению напряжений изгиба 
и кручения будут соответствовать свои диаграммы испытания, другими 
словами, свои предельные напряжения. Таким образом, возникает 
задача оценки прочности при сложном напряженном состоянии. 
Прежде чем перейти к решению этой задачи, необходимо 

ознакомиться с некоторыми понятиями, изложенными в следующих 
параграфах.

1.1. основные понятия о напряженном состоянии 
в точке тела

Напряженное состояние в точке нагруженного тела характеризуется 
всем множеством напряжений, возникающих в площадках, которые 
можно провести через данную точку.
В различных площадках, проходящих через одну и ту же точку, 
возникают, вообще говоря, различные напряжения, в чем мы могли 
убедиться ранее, изучая растяжение и сжатие.
Пусть имеется тело, нагруженное произвольной системой сил 
(рис. 1.1). Возьмем некоторую точку K и в окрестности этой точки 
выделим бесконечно малый прямоугольный параллелепипед. Если 
размеры граней параллелепипеда уменьшать, или, как иногда говорят, 
стягивать его в точку, то в пределе все грани пройдут через выбранную 
нами точку K и напряжения в них можно рассматривать как 
напряжения в точке K.

F1
F2

F5
F4

F3

K

Рис. 1.1. Тело, нагруженное произвольной 
системой сил

В общем случае нагружения в каждой грани параллелепипеда возникают 
напряжения, причем полное напряжение в каждой из них 
может быть разложено на три составляющие, параллельные выбранным 
осям координат. Составляющие, перпендикулярные к площадкам, 
называются нормальными напряжениями: sx, sy, sz, а составля-
ющие, лежащие в плоскостях граней, — касательными напряжени-
ями: txy, txz, tyx, tyz, tzx, tzy (рис. 1.2).

τyx

y

x

z

σy

σx

σz

τyz

τzy
τzx

τxy

τxz

Рис. 1.2. Напряжения на площадках 
бесконечно малого прямоугольного 
параллелепипеда

Эти составляющие напряжений называются компонентами напря-
женного состояния. На противоположных гранях возникают равные, 
но противоположно направленные напряжения. Не останавливая 
внимание на вопросе индексации напряжений, заметим, что из 
условия равновесия выделенного элемента составляющие касатель-
ных напряжений на двух взаимно перпендикулярных гранях, пер-
пендикулярные к общему ребру, должны быть равны по величине 
и направлены либо к ребру, либо от него. Ранее указывалось, что эта 
зависимость носит название закона парности касательных напряже-
ний. По этому закону

τ
τ
xy
yx
=
, τ
τ
yz
zy
=
, τ
τ
xz
zx
=
.

По известным компонентам напряженного состояния в трех вза-
имно перпендикулярных гранях могут быть найдены напряжения 
в любой площадке, проходящей через данную точку.
Если выделенный параллелепипед поворачивать вокруг точки K, 
то будут изменяться как нормальные, так и касательные напряжения. 
В теории напряженного состояния доказано, что для любого вида 
напряженного состояния всегда может быть найдено такое положе-
ние параллелепипеда, при котором в его гранях (секущих площадках) 
касательные напряжения обращаются в нуль. Такие площадки назы-
ваются главными, а нормальные напряжения, возникающие в них, — 
главными напряжениями. Принято самое большое в алгебраическом 
смысле напряжение обозначать через s1, промежуточное — через s2 
и минимальное — через s3.
Так, для элемента, показанного на рис. 1.3, а,

σ1
60
=
 МПа, σ2
20
=
 МПа, σ3
40
= −
 МПа;

 
• для элемента на рис. 1.3, б

σ1
250
=
 МПа, σ2
0
= , σ3
120
= −
 МПа;

 
• для элемента на рис. 1.3, в

σ
σ
1
2
0
=
= , σ3
60
= −
 МПа.

По известным главным напряжениям в точке могут быть опреде-
лены напряжения в любой площадке, проходящей через данную 
точку.
Если все три главных напряжения не равны нулю (рис. 1.3, а), то 
напряженное состояние называется трехосным или объемным.
При двух главных напряжениях, не равных нулю, возникает двух-
осное или плоское напряженное состояние (рис. 1.3, б), и наконец, если 

не равно нулю одно главное напряжение — одноосное или линейное 
(рис. 1.3, в).

40 МПа

60 МПа

20 МПа

250 МПа

120 МПа
60 МПа

а)
б)
в)

Рис. 1.3. Виды напряженного состояния:
а — трехосное напряженное состояние; б — двухосное напряженное состоя-
ние; в — одноосное напряженное состояние

При простом растяжении, сжатии или чистом изгибе в точках тела 
возникает одноосное напряженное состояние.
Если главные напряжения в данной точке известны, то могут 
быть найдены напряжения в любой площадке, проходящей через эту 
точку. Рассмотрим пример определения напряжений в площадках, 
параллельных одному из главных напряжений, допустим s2 
(рис. 1.4, а).

а)
б)
в)

σ2

σ1

σ3

α

α

σ1

σ3
x

y

σα

τα

α

σ1

σ3
x

y

σα

τα

Рис. 1.4. Напряжения, возникающие в наклонной площадке

Для этого рассечем элемент произвольной плоскостью, парал-
лельной s2, и, составив уравнения равновесия оставленной треуголь-
ной призмы (рис. 1.4, б), определим напряжения sa и ta, возника-
ющие на наклонной площадке. Площадь указанной наклонной пло-
щадки обозначим через dA, тогда площади боковой и нижней граней 
призмы соответственно будут равны: dAcosa и dAsina. Спроецируем 
все силы, действующие на выделенную призму, на оси x и y, одна из 
которых перпендикулярна площадке (ось y), а другая — параллельна 
(ось x). На рис. 1.4, в изображена проекция призмы на вертикальную 
плоскость. Проецируя все силы на ось x, получим

X
dA
dA
dA
=
−
+
=
∑
τ
σ
α
α
σ
α
α
α
(
cos )sin
(
sin )cos
1
3
0,

откуда

τ
σ
σ
α
α =
−
(
)
1
2
2
2
sin
.

Проецируя все силы на ось y, получим

Y
dA
dA
dA
=
−
−
=
∑
σ
σ
α
α
σ
α
α
α
(
cos )cos
(
sin )sin
1
3
0,

откуда

σ
σ
α
σ
α
α =
+
1
2
3
2
cos
sin
.

Воспользовавшись известными из тригонометрии формулами

cos
cos
2
1
2
2
α
α
=
+
(
)
 и sin
cos
2
1
2
2
α
α
=
−
(
)
,

перепишем выражение для sa:

σ
σ
σ
σ
σ
α
α =
+
(
)
+
−
(
)
1
3
1
3
2
2
2
cos
.

Проанализируем полученные выражения. Максимальные каса-
тельные напряжения возникают в площадках, проведенных под уг-
лом a = 45°, и величина их определится по формуле

τ
σ
σ
max =
−
1
3 2.

Если же наклонные площадки провести параллельно s1 или s3, 
то можно получить аналогичные формулы для наибольших касатель-
ных напряжений, возникающих в этих площадках:

τ
σ
σ
max =
−
2
3 2  и τ
σ
σ
max =
−
1
2 2 .

Вспомнив, что s1 — наибольшее в алгебраическом смысле глав-
ное напряжение, а s3 — наименьшее, можно заключить, что наи-
большее из всех касательных напряжений будет равно

 
τ
σ
σ
max =
−
1
3 2  
(1.1)

и будет возникать в площадке, параллельной s2.

1.2. деформированное состояние в точке тела

В предыдущем параграфе мы выяснили, каким образом могут 
быть найдены напряжения в произвольной площадке по заданным 
главным напряжениям в исследуемой точке.
Зачастую приходится решать обратную задачу: по компонентам 
напряженного состояния определять главные напряжения.
Пусть по компонентам напряженного состояния (рис. 1.5, а) тре-
буется определить главные напряжения. Такое напряженное со-
стояние называется упрощенным плоским, оно возникает в точках 

стержня, работающего на изгиб с кручением, или на растяжение 
с кручением, или на растяжение, изгиб и кручение.

а)
б)
в)

α

y

σα
τα

σα
τα

α
α

σ
τ

τ

τ
σ

τ
τ
τ

σ

Рис. 1.5. Определение напряжений на главных площадках

Для стержня круглого сечения исключение составляют лишь 
точки, лежащие на его продольной оси, так как в них напряжения 
и s, и t равны нулю. Для того чтобы убедиться в этом, выделим бес-
конечно малый элемент у контура поперечного сечения стержня 
круглого сечения, работающего на изгиб с кручением (рис. 1.6, а).

B

M1

A

M2

B

M1

A

M2

а)

A
A

B
B

τmax

τmax
σmax p

σmax c
б)

A
B
τmax

τmax

τmax
τmax
σmax p

в)

Рис. 1.6. Определение напряжений на площадках параллелепипеда, 
вырезанного из вала, при изгибе с кручением

Как известно, при изгибе на площадке поперечного сечения возникают 
нормальные напряжения, причем максимальные из них воз-