Сопротивление материалов

Учебник

В двух частях

часть 1

Москва
КУРС 

ИНФРА-М 

СОПРОТиВЛение 

МАТеРиАЛОВ

Допущено

Учебно-методическим объединением вузов  

по образованию в области автоматизированного машиностроения (УМО АМ) 

в качестве учебника для студентов высших учебных заведений,  

обучающихся по направлениям подготовки  

«Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительных производств», 

«Автоматизация технологических процессов и производств»

А.Г. СхиРТЛАдзе

А.В. чекАнин
В.В. ВОЛкОВ

Удк 539.9/8 (075.8)
ббк 30.121
 
С92

Схиртладзе А.Г.,
Сопротивление материалов : в 2 ч. Ч. 1. : учебник: / А.Г. Схирт-

ладзе, А.В. Чеканин, В.В. Волков. — М.: КУРС : ИНФРА-М, 

ISBN 978-5-906923-66-0 (КУРС, общ.)
ISBN 978-5-906923-65-3 (КУРС)
ISBN 978-5-16-013462-8 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-102767-7 (ИНФРА-М, online)

В учебнике представлен теоретический материал по основным разде-

лам курса «Сопротивление материалов», даны примеры решения типовых 
задач с подробными пояснениями, приведены контрольные вопросы для 
самопроверки студентами полученных знаний и тестовые тренировоч-
ные задания, которые могут быть использованы как для самостоятельной 
подготовки студентов к контрольным работам, зачетам и экзаменам, так 
и для проведения выходного контроля по завершении изучения данной 
дисциплины.

В учебнике представлены как традиционные, так и современные кон-

цепции и методики расчетов по проектированию деталей и конструкций.

Учебник может быть использован для студентов машиностроительных 

специальностей всех форм обучения.

Авторы выражают благодарность профессору Д.В. Чернилевскому за 

помощь, оказанную в процессе подбора материалов для написания дан-
ного учебника, и критические замечания.

УДК 539.9/8 (075.8)
ББК 30.121

С92

ISBN 978-5-906923-66-0 (КУРС, общ.)
ISBN 978-5-906923-65-3 (КУРС)
ISBN 978-5-16-013462-8 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-102767-7 (ИНФРА-М, online)

ФЗ 

№ 436-ФЗ

Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 4 ст. 11

© СхиртладзеА.Г., Чеканин А.В.,    
      Волков В.В., 2017
© КУРС, 2017

Р е ц е н з е н т ы:
Бакушев С.В., доктор технических наук, профессор, зав. кафедрой сопро-

тивления материалов и теории упругости Пензенского государственного уни-
верситета архитектуры и строительства;

Романенко И.В. , кандидат технических наук, доцент, зав. кафедрой механи-

зации и автоматизации производства Пензенского государственного универ-
ситета архитектуры и строительства

Предисловие

Все инженерные конструкции должны проектироваться и изго-
товляться так, чтобы в каждом их элементе под действием внешних 
сил обеспечивались полная надежность и долговечность без риска 
поломки или опасного изменения размеров и формы.
Объектом изучения курса сопротивления материалов является 
реальное твердое тело, находящееся под действием внешних сил. 
Основным свойством этого тела является его способность изменять 
свою форму и размеры под действием внешних сил и при некоторой 
величине этих сил разрушаться.
Изменение формы и размеров тел под действием приложенных 
к нему сил называется деформацией, а тела, способные деформиро-
ваться, — деформируемыми телами.
В отличие от теоретической механики, где тело рассматривается 
как абсолютно твердое, в сопротивлении материалов рассматрива-
ются деформируемые тела.
Деформации, исчезающие после снятия нагрузок, называют уп-
ругими; деформации, остающиеся в теле, — остаточными или плас-
тическими.
Все инженерные конструкции должны быть прочными. Под про-
чностью будем понимать способность детали или элемента кон-
струкции не разрушаться под действием приложенных к ним 
внешних сил и не получать пластических деформаций.
Кроме расчетов на прочность, во многих случаях приходится про-
изводить расчеты на жесткость и устойчивость.
Целью расчета на жесткость является определение таких размеров 
конструкции или отдельных ее элементов, при которых деформации 
не будут превышать заданных величин, действующих по условиям 
нормальной эксплуатации конструкции.
При проектировании часто размеры детали определяются из рас-
четов на прочность и жесткость. В этом случае, чтобы обеспечить 
выполнение обоих требований, из двух полученных по расчету раз-
меров принимают больший.
Расчет на устойчивость должен обеспечить отсутствие качествен-
ного изменения характера деформации элемента конструкции, при-
водящей к разрушению этого элемента или весьма большим его де-
формациям. Это требование относится прежде всего к гибким сжа-
тым элементам.

При выполнении указанных видов расчета необходимо стре-
миться к наибольшей экономии материала, к достаточным, но не 
завышенным размерам элементов конструкции.
Требования надежности и экономичности проектируемой кон-
струкции едины, но и противоречивы по своей сути. Если принцип 
надежности (прежде всего прочности) ведет к большому расходу ма-
териала, то принцип экономичности требует по возможности мень-
шего расхода материала. Эти противоречивые требования обуслов-
ливают главным образом развитие сопротивления материалов как 
науки, обеспечивая единство теории и практики.
Таким образом, сопротивление материалов — наука об инженер-
ных методах расчета на прочность, жесткость, устойчивость и эко-
номичность элементов конструкций.
Наука о сопротивлении материалов имеет свою историю. Начало 
развития сопротивления материалов как науки обычно относят 
к первой половине XVII столетия и связывают с именем знаменитого 
физика, математика и астронома Галилео Галилея (1564–1642). Он 
впервые поставил вопрос о необходимости проведения аналитиче-
ских расчетов для оценки сопротивляемости стержней действию 
внешних сил.
В 1676 г. Р. Гук (1635–1703) установил пропорциональную зависи-
мость между усилием и удлинением при растяжении. Эта зависи-
мость известна под названием закона Гука, который имеет исключи-
тельную важность в сопротивлении материалов. Развитию этой на-
уки в XVIII в. в большей степени способствовали успехи высшей 
математики и механики; особую важность имели работы Л. Эйлера 
(1707–1783) и Ж.Л. Лагранжа (1736–1813).

Глава 1
ОснОвные ОПределения  
и ПОлОжения дисциПлины 
«сОПрОтивление материалОв»

1.1. Основные задачи сопротивления материалов

Отдельные части машин и механизмов под действием нагрузок 
изменяют свою форму и размеры. Для нормальной работы машин 
такие изменения размеров, называемые деформациями, не должны 
превышать определенного значения.
Чтобы рассмотреть взаимодействие реальных упругих элементов 
машин (вместо абсолютно твердых тел), следует изучить состояние 
деформированных тел и установить зависимости между нагрузками 
и деформациями.
Способность конструкции выдерживать заданные нагрузки без 
разрушения или появления в ней остаточных пластических дефор-
маций называется прочностью.
Способность детали воспринимать заданные внешние нагрузки, 
не изменяя свои первоначальные формы и размеры сверх норм, уста-
новленных на основе условий ее нормальной работы, называется 
жесткостью детали.
Чтобы гарантировать нормальную работу ряда деталей, может 
оказаться недостаточным проведение расчетов лишь на прочность 
и жесткость, а потребуется дополнительная проверка устойчивости 
первоначальной формы равновесия. Так, тонкий длинный стержень, 
размеры которого были выбраны из условия прочности и жесткости, 
при действии на него осевой сжимающей нагрузки до некоторого 
значения F остается прямолинейным, но при увеличении нагрузки 
до некоторого для данного стержня значения, называемого крити-
ческим (Fкр), вдруг внезапно искривляется (рис. 1.1) — теряет устой-
чивость. Первоначальная прямолинейная форма равновесия стано-
вится неустойчивой, возникает новая устойчивая форма равнове-
сия — криволинейная. Если при этом стержень не разрушится, то 
в нем возникнут недопустимо большие перемещения, способные 
нарушить работоспособность всего узла, в состав которого входит 
этот стержень. Следовательно, перед инженером-конструктором воз-

никает еще одна задача — проверка устойчивости элементов соору-
жений (конструкций).

F

а)
б)

= F
F1
кp

Рис. 1.1. Устойчивость стержня:
а — расчетная схема; б — потеря 
устойчивости

Сопротивление материалов является одной из важнейших технических 
дисциплин. Основными задачами сопротивления материалов 
как технической дисциплины являются расчеты на прочность, жесткость 
и устойчивость элементов различных машин и сооружений. 
В задачи сопротивления материалов как науки входит обобщение 
инженерного опыта создания машин и сооружений, разработка научных 
основ проектирования надежных изделий, совершенствование 
методов оценки прочностной надежности и долговечности конструкций.

Сопротивление материалов тесно связано с теоретической механикой 
и базируется на основных законах и теоремах теоретической 
механики и, в первую очередь, широко использует уравнения статического 
равновесия различных систем сил, полученные для абсолютно 
твердого тела. Однако следует отметить и их принципиальное 
отличие: в теоретической механике для упрощения решения задач 
все тела принимаются абсолютно твердыми, а в сопротивлении материалов — 
деформируемыми, т.е. способными изменять первоначальную 
форму и размеры при действии на них внешних сил. В теоретической 
механике рассматривается замена одной системы сил на 
другую, эквивалентную первой, рассматриваются условия равновесия 
различных систем сил, изучаются законы движения тел, но никогда 
не ставится вопрос о целостности рассматриваемого тела под 
действием приложенных к нему сил, т.е. о его прочности. Вопрос 
оценки прочности тела может быть решен только методами сопротивления 
материалов.
С точки зрения теоретической механики нет никакого различия 
между случаями нагружения тела, показанными на рис. 1.2, а, б. Если 
же рассматривать эти примеры в сопротивлении материалов, то 

легко заметить, что тела будут по-разному реагировать на приложение 
сил: в первом случае стержень будет деформироваться по всей 
длине, а во втором — только на участке AB.

а)
б)

F

A

F

B

Рис. 1.2. Нагружение тела в зависимости 
от точки приложения силы:
а — нагружение тела по всей длине; 
б — нагружение тела на отдельном 
участке

Вследствие общности основных положений сопротивление материалов 
можно рассматривать как раздел механики, называемый механикой 
деформируемого твердого тела [25, 26].
Сопротивление материалов вместе с такими смежными дисциплинами, 
как «Теория упругости, пластичности, ползучести», «Строительная 
механика» и др. занимается вопросами, связанными с поведением 
деформируемых твердых тел. В теории упругости, по сути, анализируются 
те же вопросы, что и в сопротивлении материалов, но задачи 
ставятся без упрощающих гипотез. Поэтому для их решения приходится 
использовать сложный математический аппарат, что в какой-то 
степени ограничивает возможность их применения в практических 
инженерных расчетах. Однако результаты более точного и глубокого 
анализа явлений, рассматриваемых в перечисленных дисциплинах, 
достаточно широко используются в сопротивлении материалов при 
создании приближенных методов расчета.
В последние годы в сопротивлении материалов все большее 
место занимают методы, которые ранее применялись лишь в дисциплинах 
математического характера. Это стало возможным благодаря 
все возрастающему влиянию ЭВМ и созданию на основе их 
применения математических моделей прочностной надежности 
элементов конструкции.

1.2. Упругая и пластическая деформация.  
Основные гипотезы и допущения

Все реальные тела под воздействием внешних сил в большей или 
меньшей степени изменяют свои размеры — деформируются, т.е. из-

меняют первоначальную форму и размеры при действии на них 
внешних сил. Деформации, полностью исчезающие после снятия 
нагрузок, называются упругими, а остающиеся — пластическими или 
остаточными.
Материал считается абсолютно упругим, если после прекращения 
действия на него внешних сил полностью исчезают вызванные ими 
деформации.
Как правило, возникновение пластических деформаций является 
недопустимым, а потому рассматривается как выход из строя детали.
Для создания достаточно простых и удобных для инженерной 
практики расчетов используются допущения и гипотезы о свойствах 
материалов и характере деформации.
К основным допущениям о свойствах материалов относятся сле-
дующие.
1. Гипотеза сплошности и однородности материала. Предполагается, 
что материал полностью заполняет весь объем без каких-либо пустот 
и его свойства не зависят от выделенного из тела объема, т.е. материал 
во всех точках обладает одинаковыми свойствами. Гипотеза позволяет 
использовать в сопротивлении материалов методы анализа беско-
нечно малых (дифференциальное и интегральное исчисления).
2. Гипотеза изотропности. Сплошная среда является изотропной, 
т.е. физико-механические свойства материалов во всех направлениях 
одинаковы.
Материалы, не обладающие указанным свойством, называются 
анизотропными. Анизотропны дерево, бумага, фанера, в некоторой 
степени — стальной прокат.
При сжатии дерева вдоль волокон деформации в несколько раз 
меньше, чем при сжатии поперек волокон. В настоящее время ши-
рокое распространение получили анизотропные композиционные 
материалы, состоящие из двух компонентов — наполнителя и связу-
ющего. Наполнитель состоит из уложенных в определенном порядке 
высокопрочных нитей — матрицы, что и определяет значительную 
анизотропию композита. Композиционные материалы имеют высо-
кую прочность при значительно меньшем, чем металлы, весе.
Сталь при обычной температуре состоит из частиц феррита и це-
ментита, присутствующих в виде отдельных включений или в виде 
тонкой механической смеси, называемой перлитом. Феррит обладает 
сравнительно низкой прочностью, но высокой пластичностью. Це-
ментит, наоборот, имеет большую прочность, но низкую пластич-
ность. Для перлита характерно цельное сочетание высоких проч-
ности и пластичности.

Материалы и сплавы, как правило, изотропны. Благодаря нали-
чию в теле большого количества беспорядочно расположенных крис-
таллов свойства всей массы материала в различных направлениях 
выравниваются. Допущение об изотропности хорошо подтвержда-
ется практикой для большинства материалов.
3. Гипотеза идеальной упругости. До определенных пределов на-
гружения материал является идеально упругим, т.е. после снятия 
нагрузки деформации полностью исчезают. При больших нагрузках 
все материалы перестают обладать этим свойством, а потому данная 
гипотеза становится неприменимой.
Рассмотрим теперь гипотезы и допущения, связанные с характе-
ром деформаций.
1. Гипотеза малости деформаций. Перемещения, возникающие 
в упругих телах под воздействием внешних сил, малы по сравнению 
с размерами тела.
Эта гипотеза позволяет при составлении уравнений равновесия 
не учитывать изменения в расположении сил. Указанное допущение 
носит название принципа начальных размеров. Проиллюстрируем дан-
ное положение простым примером. Момент силы F относительно 
точки A заделки считают равным Fl, а не Fl1 (рис. 1.3), так как раз-
ница Dx = l - l1 в действительности незначительна.

A
F

F

∆x
l1
M = Fl
l

Рис. 1.3. Деформации 
консольно нагруженной балки

2. Гипотеза линейности деформаций. Перемещения точек упругого 
тела прямо пропорциональны действующим нагрузкам. Суть допу-
щения покажем на примере (рис. 1.4). Если балка при действии силы 
F прогнется на расстояние f, то вдвое большая сила вызовет в два раза 
больший прогиб балки 2f. Тела, для которых справедлива эта гипо-
теза, называются линейно деформируемыми.
3. Принцип независимости действия сил. Результат действия на 
тело системы сил не зависит от порядка приложения внешних сил 
и равен сумме результатов действия каждой силы в отдельности.
Пусть на тело (рис. 1.5) действуют две силы F1 и F2, при этом 
точка A балки получит перемещение f (рис. 1.5, а). Если к балке при-
ложить силу F1, точка получит перемещение f1 (рис. 1.5, б), при дей-
ствии силы F2 — перемещение f2 (рис. 1.5, в). При одновременном 

действии обеих сил перемещение точки А равно алгебраической 
сумме перемещений:

f
f
f
=
+
1
2.

A
f
F2
F1

а)

б)

в)

F1

A

f1

F2
A
f2

Рис. 1.5. Деформации тела 
от системы сил:
а — деформация от совместного 
действия сил; б — деформация 
от консольной силы F1; 
в — деформация от силы F2

Указанный принцип суперпозиций справедлив лишь для линейно 
деформируемых тел.
В сопротивлении материалов помимо указанных гипотез исполь-
зуются гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли) и так называ-
емый принцип Сен-Венана, о которых будет сказано далее.

1.3. реальный объект — расчетная схема

Приступая к расчету, необходимо выделить самое существенное 
для рассматриваемого элемента, отбросив частности, несуще-
ственные для решения, но значительно его усложняющие, т.е. со-
здать расчетную схему элемента.
Можно привести примеры различных тел, ничем не напомина-
ющих друг друга по внешнему виду, но рассчитываемых по одной 
геометрической схеме. Например, стенки и днища баков, фюзеляж 

F

2F

а)

б)

f
2f

Рис. 1.4. Деформации балки в 
зависимости от величины нагрузки