Теория вероятностей и математическая статистика

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 
И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ 
СТАТИСТИКА

Под редакцией профессора В.И. Матвеева

2-е издание, исправленное и дополненное

Рекомендовано 
Учебно-методическим объединением 
по образованию в области экономики и экономической теории 
в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, 
обучающихся по направлениям 38.03.01 «Экономика», 38.03.02 «Менеджмент», 
38.03.05 «Бизнес-информатика»

Москва
ИНФРА-М
2021

Министерство образования Российской Федерации 
Российский экономический университет имени Г.В. Плеханова

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

УДК 311(075.8)
ББК 60.6я73
 
Т11

Т11 
Теория вероятностей и математическая статистика : учебное пособие / 
Л.Г. Бирюкова, Г.И. Бобрик, Р.В. Сагитов [и др.] ; под ред. В.И. Матвеева. — 2-е изд, испр. и доп. — Москва : ИНФРА-М, 2021. — 289 с. — 
(Высшее образование: Бакалавриат). — DOI 10.12737/18865.

ISBN 978-5-16-011793-5 (print)
ISBN 978-5-16-101044-0 (online)
В книге излагаются основные сведения по теории вероятностей и математической статистике, необходимые студентам и аспирантам экономических вузов в учебном процессе и научной работе. 
Учебное пособие соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта высшего образования последнего поколения.
Издание будет также полезно экономистам различных направлений 
в их практической деятельности.

УДК 311(075.8)
ББК 60.6я73

Р е ц е н з е н т ы:
Исхаков Б.И., доктор экономических наук, профессор, заведующий кафедрой статистики Московского банковского института;
Бродецкий Г.Л., доктор технических наук, профессор 

А в т о р ы:
Бирюкова Любовь Гавриловна, кандидат философских  наук, доцент, 
доцент кафедры высшей математики Российского экономического 
университета им. Г.В. Плеханова;
Бобрик Галина Ивановна, кандидат физико-математических наук, 
доцент, доцент кафедры высшей математики Российского экономического университета им. Г.В. Плеханова;
Сагитов Риф Вагизович, кандидат технических  наук, доцент, профессор кафедры высшей математики Российского экономического 
университета им. Г.В. Плеханова;
Швед Евгений Вадимович, кандидат физико-математических наук, 
доцент, профессор кафедры высшей математики Российского экономического университета им. Г.В. Плеханова;
Матвеев Владимир Иванович (14.03.1932–04.12.2015)

ISBN 978-5-16-011793-5 (print)
ISBN 978-5-16-101044-0 (online)

ФЗ 
№ 436-ФЗ
Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 4 ст. 11

© Коллектив авторов, 2016

ПРЕДИСЛОВИЕ

Основной задачей экономической науки является выявление закономерностей, которые в наибольшей степени описывали бы общие законы 
экономического развития общества. Методы, которыми эта задача может 
быть решена, условно можно разбить на два больших класса — теоретические и эмпирические. 
Теоретические методы, основанные на наблюдениях тенденций в развитии общественной жизни, формулируют некоторые гипотезы и путем 
логических построений выдвигают соответствующие экономические теории, 
которые в общем случае требуют экспериментального подтверждения и согласования с реальными показателями состояния экономического устройства.
Эмпирические методы основаны на наблюдениях или на данных, полученных в ходе проведения планируемых экспериментов. В настоящее 
время растет признание того факта, что понимание и владение методами 
эмпирических исследований являются необходимой базой компетентности 
экономиста. Данные экспериментов и наблюдений требуют навыков использования математических методов обработки полученных опытных результатов. Экономические, финансовые и маркетинговые исследования 
рыночных отношений, а также исследования в области менеджмента имеют 
дело с процессами, зависящими от большого числа факторов. Проследить 
все связи и учесть при исследовании все факторы, обеспечить их стабильность и регулируемость в ходе эксперимента не всегда представляется возможным, потому что определяемые ими явления проявляются случайным 
образом. Эти обстоятельства обусловливают сложности, связанные с выявлением закономерностей и структурных взаимосвязей этих факторов. 
Наблюдения и измерения в экономической практике разнообразных 
показателей: прожиточного минимума, среднего числа детей в семье, поведения биржевых и рыночных цен, результатов различного рода опросов граждан, природных и экологических наблюдений, производственных проблем 
качества продукции, таблиц продолжительности жизни, страхования и пр. — 
содержат большой по объему и разнородный по структуре материал, а также 
элементы неполноты информации и случайный характер этой информации.
Необходимость принятия решений в подобных ситуациях вызывает потребность использования математического аппарата теории вероятностей 
и математической статистики, ибо вероятностно-статистические методы 
позволяют обоснованно выбрать стратегию принятия экономических, маркетинговых и управленческих решений в условиях ограниченного статистического материала, содержащего случайную составляющую.
Первые исследования закономерностей случайных событий и разработка методов их количественных оценок появились в результате интереса 

к азартным играм. Так, в ходе переписки (1654 г.) по решению задачи кавалера де Мере о справедливом распределении ставок между игроками в прерванной игре Б. Паскаль и П. Ферма установили, что «вероятность» есть 
некоторая величина, доступная измерению, а Х. Гюйгенс (1657 г.) в книге 
«О расчетах в азартных играх» обобщил полученные результаты. 
Важным обстоятельством для развития методов теории вероятностей 
и математической статистики явилось появление страховых компаний. 
В работах Э. Галлея (1693) и Де Муавра (1718) рассматриваются расчеты 
по определению страховых взносов при страховании жизни, вводя идеологию вероятностного подхода, опирающегося на идеи, впоследствии 
сформулированные в законе больших чисел и предельных теоремах. Одна 
из первых страховых компаний (образована в Лондоне в 1762 г.) на пост 
актуария (счетовода) компании в 1775 г. привлекла математика.
Дальнейшее развитие теория вероятностей и математическая статистика получили в XVIII в. в работах Я. Бернулли, П. Лапласа, С. Пуассона 
и К. Гаусса, и достигли расцвета в ХIX–XX вв. Методы, разработанные в работах знаменитого отечественного математика П. Чебышева, позволили 
по-новому рассмотреть ранее поставленные задачи, а ученики его школы 
А. Марков и А. Ляпунов получили результаты, имеющие важное значение 
для приложений.
Работы современных математиков А.Н. Колмогорова, Б.В. Гнеденко, 
Р. Фишера, Э. Пирсона, Н.В. Смирнова и др. позволили решить задачи, 
связанные с теорией прогнозирования и принятия решений, и легли в основание нового направления теории вероятностей и математической статистики — эконометрики, без использования методов которой в настоящее 
время невозможно обеспечить высокий уровень экономического образования. 
Целью нового издания учебного пособия является развитие умений 
и закрепление навыков математической деятельности у студентов, аспирантов и специалистов в области экономики, маркетинга, финансов, по использованию методов теории вероятностей и математической статистики 
в реальной деятельности по анализу поведения участников рынка, а также 
формирование фундаментальной базы для изучения серьезного курса эконометрики. Для этого расширены контекстные задачи, рассматривающие 
важнейшие методы и приемы обработки результатов наблюдений. Переработан материал седьмого раздела, дополнительно даны методические 
указания к использованию некоторых статистических таблиц. Обновлен 
библиографический список.
В учебном пособии объединен опыт преподавания курса теории вероятностей и математической статистики преподавателями кафедры высшей математики Российского экономического университета имени Г.В. Плеханова.
В написании учебного материала приняли участие: проф. В.И. Матвеев (разд. 1–6, 8, 9, 11, 12, 16–18, п. 15.1), Р.В. Сагитов (предисловие, 
разд. 7, 13), Е.В. Швед (разд. 10); доценты Л.Г. Бирюкова (разд. 14), Г.И. Бобрик (п. 12.4, 15.2).
Общее руководство и редактирование учебного пособия осуществлено 
проф. В.И. Матвеевым.