Физика твердого тела


Министерство образования и науки Российской Федерации НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ







                ФИЗИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА




Утверждено
Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия к лабораторному практикуму по курсу общей физики












НОВОСИБИРСК
2012

УДК 539.2(076.5) Ф 503



Рецензенты:
д-р физ.-мат. наук, профессор О.В. Кибис, д-р техн. наук, профессор, зав. каф. электронных приборов В. К. Макуха


Работа подготовлена кафедрой прикладной и теоретической физики





Ф 503 Физика твердого тела: учеб. пособие / А.А. Корнилович,

      В.И. Ознобихин, И.И. Суханов, В.Н. Холявко. - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2012.-71 с.
         ISBN 978-5-7782-2160-4

         Учебное пособие к физическому практикуму по курсу общей физики для студентов I и II курсов РЭФ, ФТФ, ФЭН всех специальностей и всех форм обучения. Введен теоретический раздел, в котором фундаментальные понятия квантовой механики - квантование энергии, расщепление энергетических уровней и образование энергетических зон рассматриваются на качественном уровне и на основе лабораторных работ, выполнявшихся студентами в предыдущих семестрах.







УДК 539.2(076.5)


ISBN 978-5-7782-2160-4

                 © Корнилович А.А., Ознобихин В.И.. Суханов И.И., Холявко В.Н., 2012

© Новосибирский государственный технический университет, 2012

ОГЛАВЛЕНИЕ


Предисловие................................................
ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА....................
    Дискретные уровни энергии электрона в атоме............
    Расщепление уровней энергии ...........................
    Обобществление электронов в кристалле .................
    Принцип Паули..........................................
    Проводники, диэлектрики, полупроводники ...............
    Виды полупроводников...................................
        Собственные полупроводники.........................
        Равновесные носители ..............................
        Примесные полупроводники п - типа (донорные, электронные). Примесные полупроводникир- типа (акцепторные, дырочные)...

5

6
6
11
12
13
14
17
17
18
19
21

Лабораторная работа № 40. Определение ширины запрещенной зоны полупроводника............................................... 24
    Энергетическое распределение электронов ..................... 24
    Число состояний свободных электронов в интервале dE.......... 24
    Функция распределения Ферми-Дирака .......................... 26
    Температурная зависимость концентрации подвижных носителей в собственном полупроводнике............................. 29
    Температурная зависимость электропроводности и ширина запрещенной зоны собственного полупроводника................. 31
    Общая температурная зависимость электропроводности полупроводника .................................................. 33
    Описание экспериментальной установки......................... 34

Лабораторная работа № 41. Изучение эффекта Холла, определение концентрации и подвижности носителей заряда в полупроводнике Эффект Холла ................................................
    Подвижность .............................................
    Описание экспериментальной установки.....................
    Измерение ЭДС Холла......................................

37
37
39
40
41

3

    Измерение электропроводности..............................
    Таблица результатов измерений (вариант)...................
Работа №42. Исследование спектральной характеристики фоторезистора Генерация носителей заряда....................................
    Поглощение света..........................................
    Спектральная характеристика фоторезистора.................
    Описание экспериментальной установки......................
Лабораторная работа № 44. Изучение характеристик электроннодырочного перехода............................................
    Исходное состояние........................................
    Равновесное состояние р-п- перехода.......................
    Прямое включение р-п- перехода............................
    Обратное включение р-п- перехода..........................
    Отношение обратного и прямого сопротивлений...............
    Температурные зависимости токов...........................
    Описание экспериментальной установки......................
Библиографический список......................................
Справочные данные.............................................

41
43

44
45
46
47
50

53
53
56
61
63
64
67
68

70

70

ПРЕДИСЛОВИЕ
   В настоящем издании лабораторного практикума по курсу общей физики введен теоретический раздел, в котором фундаментальные понятия квантовой механики - квантование энергии, расщепление энергетических уровней и образование энергетических зон рассматриваются на качественном уровне и на основе лабораторных работ, выполнявшихся студентами в предыдущих семестрах.
   Теоретический раздел пособия снабжен большим количеством контрольных вопросов, распределенных по разделам. Контрольные вопросы-задания, требующие вывода формул, выделены жирным шрифтом. Рабочие формулы обведены рамками.
   Рекомендуется выполнять лабораторные работы в следующем порядке: лабораторная работа № 41 - так как она не требует знания квантовой механики, лабораторная работа № 40 или № 42, затем лабораторная работа № 44.

ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ
ТВЕРДОГО ТЕЛА

ДИСКРЕТНЫЕ УРОВНИ ЭНЕРГИИ ЭЛЕКТРОНА В АТОМЕ
   Рассмотрим вначале с точки зрения классической механики взаимодействие электрона с положительным зарядом атомного ядра. Так как сила электростатического взаимодействия центральна, то сохраняется полный момент импульса электрона М (в квантовой механике момент импульса принято обозначать этой буквой). Сохраняется и полная энергия электрона
Е - Ддщ + U(г) - тv²/2 - Ze²/г ,
где Ект - тv²/2 - кинетическая энергия, т - масса, V - скорость электрона, U(г) -- Ze²/г - потенциальная энергия взаимодействия заряда электрона (-e) с зарядом ядра Ze, Z - атомный номер, г -расстояние от электрона до точечного ядра.
   Если разложить вектор скорости электрона V, касательный к траектории, на две ортогональные компоненты, радиальную -V г и азимутальную Vа (рис. 1) и выразить -Vа через величину момента импульса
М - |f х р\ - гр sin а - гтvₐ,

то полную энергию электрона можно представить в виде суммы кинетической энергии радиального движения т v2/2 и зависящей только от г эффективной потенциальной энергии иэфф - М² /2тг ² + U(г), график которой изображен сплошной кривой на рис. 2.

6

    Границы такого «одномерного» движения электрона зависят от его полной энергии. Если Е > 0, то электрон может оторваться от ядра, уйти в бесконечность, движение электрона инфинитно. Если же Е < 0, то движение электрона финитно, т. е. происходит в ограниченном пространстве. Области, отмеченные штриховыми горизонталями на рис. 2, классическому электрону недоступны, так как в них потенциальная энергия превышает полную. В частности, полная энергия не может быть меньше минимума иэфф.
    С точки зрения квантовой (волновой) механики, связанное движение электрона в атоме схоже со стоячей волной в ограниченном пространстве. Вспомним лабораторную работу № 24 «Волны на струне». Стационарные колебания струны, закрепленной на концах, достигали большой амплитуды, если на длине струны L укладывалось целое число полуволн:
L = п X/ 2, п = 1,2,3...
    Выясним физический смысл этого условия. Рассмотрим смещение струны в какой-либо плоскости АВ (рис. 3). Гармоническая волна, например, бегущая вправо, последовательно отражается от концов струны и складывается в плоскости АВ с первичной волной, проходящей эту плоскость в более поздний момент времени. Большая амплитуда суммарной волны возможна только в том случае, если составляющие

7

волны складываются в фазе. То есть набег фазы при циклическом обходе струны должен быть кратен 2л :
2 L = п Х& L = п X/ 2.

   При любом другом значении разность фаз многократно отражающихся бегущих волн будет меняться в пределах от 0 до 2л, поэтому результирующая амплитуда не будет максимальной.


Рис. 3

   В квантовой механике движению микрочастицы с импульсом р соответствует длина волны X = h/р (формула де Бройля), h - постоянная Планка. В модели атома Бора постулировались только те круговые орбиты, на которых укладывается целое число X . Определенным значениям X соответствуют определенные значения импульса р, а через импульс и определенные значения энергии W. Полученный на основе такой полуклассической модели энергетический спектр электрона соответствовал экспериментальным спектроскопическим данным. На рис. 4, а показан дискретный набор отрицательных уровней энергии в атоме водорода¹:
Еп = -R/п², п = 1,2,3..., R = 13,6эВ,1эВ = 1,6-10⁻¹⁹Дж.


    ¹ Постоянная Ридберга, пропорциональная R, также обозначается этой бу
квой.

8

Л

Е

V

Ее (эВ)

4,5

-3,4

13,6

П = ОТ

п = 3

п = 2




п = 1


о



	

Ж

Рис. 4


   Здесь п - главное квантовое число. Уровень с п = 1 соответствует основному, невозбужденному, состоянию атома водорода. Энергия ионизации Ej = 13,6 эВ - энергия, которую необходимо сообщить невозбужденному атому водорода для отрыва электрона.
   В рамках более общей теории волновой функции электрон, как волна, может быть обнаружен на любом расстоянии от ядра, однако существуют области, в пределах которых его обнаружение наиболее вероятно. На рис. 4, б для нижних трех уровней энергии показаны радиальные распределения вероятности dP(г) обнаружения электрона в сферическом слое бесконечно малой толщины dr вокруг ядра. Максимумы этих кривых примерно соответствуют классическим траекториям, однако в квантовой механике принято говорить об электронном облаке. С ростом энергии Е размеры электронного облака увеличиваются².

    ² В учебниках обычно приводят графики или картинки распределения плотности вероятности, не обращающейся в нуль при г = 0, однако полная вероятность dP, пропорциональная г²dr, обращается в нуль: электрон не может упасть на ядро.

9

   В водородоподобных ионах с одним электроном (Не⁺, Li⁺⁺, Ве³⁺ и т. д.) структура уровней энергии электрона отличается от водородной только масштабом: Еп - -ZR/п² , где Z - атомный номер.
   В многоэлектронных атомах электроны распределены по электронным оболочкам - группам близко расположенных уровней с определенными значениями квантовых чисел. Как и в атоме водорода, чем больше энергия, тем больше размер электронного облака. Взаимное отталкивание электронов ослабляет их притяжение к ядру, так что электроны внешних электронных оболочек взаимодействуют с ядром гораздо слабее, чем внутренних. Энергия связи с ядром у электронов внутренних оболочек достигает 10²...10⁴ эВ, тогда как у внешних она порядка 10 эВ. Поэтому большинство свойств атомов (химических, электрических) определяется строением внешних электронных оболочек.

Контрольные вопросы

    4.     Какие величины сохраняются при движении электрона в классическом атоме водорода?
    5.     При какой полной энергии электрон связан с ядром классического атома водорода?
    6.     Зависит ли полная энергия электрона в классическом атоме водорода от ориентации его орбитального момента импульса, т. е. от ориентации классической орбиты?
    7.     На примере колебаний струны объясните квантование волны, существующей в ограниченном пространстве.
    8.     Какие орбиты электрона постулировались в модели атома Бора? Напишите формулу де Бройля. Как она объясняет квантование энергии электрона?
    9.     Напишите формулу энергетического спектра электрона в боровской модели атома водорода, нарисуйте схему уровней.
   10.    Нарисуйте графики радиального распределения электронного облака атома водорода для нескольких значений главного квантового числа.
   11.    Чем определяются химические и электрические свойства многоэлектронных атомов? Почему?


10

РАСЩЕПЛЕНИЕ УРОВНЕЙ ЭНЕРГИИ


   Вспомним лабораторную работу № 20 «Связанные маятники». Вначале выравнивались длины маятников, чтобы частоты гармонических колебаний изолированных маятников совпали. В таком случае говорят, что маятники вырождены по частоте. Однако потом, когда маятники связывали пружиной, гармонические колебания возникали на двух разных частотах. Это очень общее явление: связь колебательных систем приводит к снятию частотного вырождения, к расщеплению нормальных частот. И чем сильнее связь, чем сильнее растягивалась пружина, тем больше расщепление.
   Список взаимодействий, приводящих к расщеплению атомных уровней энергии, обширен: внешние поля, межэлектронное взаимодействие в атоме. Даже в атоме водорода возникает слабое расщепление (тонкая структура), вызванное спин-орбитальным взаимодействием электрона «с самим собой»: внутренний магнитный момент электрона (спин) взаимодействует с магнитным полем, создаваемым током электронного «витка» при движении электрона по орбите.
   Применительно к теории электропроводности кристаллов рассмотрим расщепление, связанное с межатомным взаимодействием. На рис. 5 показано расщепление уровней изолированного атома по ме


ре уменьшения расстояния между атомами а и соответственно увели
чения потенциальной энергии межатомного взаимодействия W. Кри
сталл - система N взаимодействующих атомов. Каждый «родительский» уровень изолированного атома расщепляется на N подуровней. В кристалле размером 1 мм содержится 10¹⁹ атомов. При типичном расстоянии между уровнями энергии порядка 1 эВ расстояние между подуровнями равно примерно 10⁻¹⁹эВ. Для сравнения: при температуре Т = = 300 К энергия теплового движения кТ & 0,025 ® 1/40 эВ. То есть в кристалле образуются квазинепрерывные


        Ее


g

Рис. 5

а -е
энергетические зоны электронов. Разрешенные зоны энергии разделе
w W

11

ны запрещенными зонами. На рис. 5 6Е„ - ширина запрещенной зоны (gap - щель, зазор, промежуток). Сильнее взаимодействуют внешние электроны атомов и потому их уровни энергии сильнее расщепляются, так что зоны соседних родительских уровней атома могут перекрываться.

Контрольные вопросы

   12.   Поясните на примере связанных маятников, что такое расщепление частот колебаний и что влияет на величину расщепления.
   13.   Перечислите основные источники расщепления энергетических уровней атомов.
   14.   Нарисуйте схему образования энергетических зон в кристалле, состоящем из N атомов.

   ОБОБЩЕСТВЛЕНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ В КРИСТАЛЛЕ

   Электроны изолированных атомов «привязаны» к своему ядру. По мере сближения атомов волновые функции электронов перекрываются все сильнее, прежде всего у внешних электронных оболочек. На рис. 6, а штриховой и пунктирной линиями показаны вероятности распределения отдельных электронов. Плюсы ионов даны соответственно в штриховой или пунктирной окружности. Сплошной линией показана результирующая вероятность dP обнаружения электрона на бесконечно малом промежутке dr кристалла. Видно, что электрон с высокой вероятностью может быть обнаружен не только вблизи ядер, но и практически в любой точке кристалла. Совокупность свободных электронов в кристалле образует электронный газ.
   Это явление можно объяснить и классически. Потенциальные кривые U (r) отдельных ядер (штриховые и пунктирные линии на рис. 6, б) частично накладываются друг на друга. Результирующая кривая потенциальной энергии (сплошная линия) понижается: притяжение электрона к ближайшему ядру частично компенсируется притяжением к соседним ядрам. Поэтому верхняя энергетическая зона А - А оказывается во всем кристалле выше потенциального барьера


12