Сборник прикладных задач по математике

Министерство образования и науки Российской Федерации

Сибирский федеральный университет

В. А. Шершнева
О. А. Карнаухова

СБОРНИК ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧ
ПО МАТЕМАТИКЕ

Допущено Учебно-методическим объединением вузов

по университетскому политехническому образованию в качестве

учебного пособия для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по машиностроительным и приборостроительным

направлениям подготовки, 30.12.2010

2-е издание, исправленное и дополненное

Красноярск

СФУ
2011

УДК 519(07)
ББК 22.12я73
Ш507

Рецензенты:
В. А. Охорзин, д-р техн. наук, проф. кафедры «Прикладная математика» СибГАУ им. акад. М. Ф. Решетнева;

А. К. Шлепкин, д-р физ.-мат. наук, проф. зав. кафедрой «Высшая
математика» КрасГАУ

Шершнева, В. А.
Ш507
Сборник прикладных задач по математике: учеб. пособие /
В. А. Шершнева, О. А. Карнаухова. — 2-е изд. испр. и доп. —
Красноярск: Сиб. федер. ун-т, 2011. — 219 с.
ISBN 978-5-7638-2410-0

Приведены краткие теоретические сведения и задачи прикладного характера,
охватывающие основные разделы математики. Даны подробные решения наиболее
трудных задач с описанием их применения в инженерной практике.

Предназначен для студентов, обучающихся по машиностроительным и приборостроительным направлениям подготовки. Представляет интерес для студентов
инженерных направлений подготовки.

УДК 519(07)
ББК 22.12я73

c⃝ Сибирский
федеральный
университет, 2011

ISBN 978-5-7638-2410-0

Предисловие ко второму изданию

Первое издание Сборника прикладных задач по математике вышло
в 2008 году. С тех пор в российской системе высшего профессионального образования произошли значительные изменения, направленные на её
модернизацию. Прежде всего, это относится к переходу на федеральные
государственные образовательные стандарты (ФГОС), которые предъявляют новые требования к математической компетентности выпускника
инженерного вуза.

Настоящее издание является переработанным и дополненным:
уточнено содержание задач, добавлены исторические сведения, доработан теоретический материал, в гл. 14 даны решения прикладных задач
в обучающей электронной среде.

Основное содержание сборника изложено в 12 главах: «Матрицы
и системы линейных уравнений», «Векторы», «Аналитическая геометрия», «Введение в анализ», «Дифференциальное исчисление функций
одной переменной», «Интегральное исчисление функций одной переменной», «Функции нескольких переменных», «Дифференциальные уравнения», «Кратные и криволинейные интегралы», «Ряды», «Теория вероятностей» и «Математическая статистика».

С учетом возрастающей роли информационно-коммуникационных
технологий в процессе математического моделирования в сборник включены гл. 13 «Решение математических задач с помощью пакетов прикладных программ» и гл. 14 «Реализация решения прикладных математических задач в web-ориентированной обучающей среде Moodle».

Прикладные задачи, представленные в настоящем сборнике, предназначены для рассмотрения на лекциях, практических занятиях
и самостоятельной работы студентов (для этого разработана webориентированная обучающая среда). Среди задач, включённых в сборник, имеются междисциплинарные и профессионально направленные задачи (связанные с направлением инженерной подготовки студента). Поскольку прикладные задачи могут вызывать дополнительные трудности, каждая глава содержит краткий теоретический материал, основные
формулы, связанные с приложениями, а также примеры решения задач.

3

Многие задачи снабжены указаниями к решению, а наиболее трудные —
полными решениями. В конце сборника приведены ответы к задачам.
Часть задач составлена самими авторами, а часть взята из сборников,
приведённых в библиографическом списке.

Необходимо отметить, что методологической основой данного сборника задач является теория контекстного обучения, созданная членомкорреспондентом Российской академии образования А. А. Вербицким и
его научной школой. Учтён также опыт работы коллектива кафедры
прикладной математики и компьютерной безопасности Сибирского федерального университета (СФУ) в процессе обучения математике студентов инженерных направлений подготовки.

Авторы выражают глубокую благодарность заместителю директора по научной работе Института космических и информационных технологий СФУ д-ру физ.-мат. наук, профессору М. В. Носкову за оказанную
помощь в издании сборника, д-ру физ.-мат. наук, профессору Н. Н. Осипову и канд. физ.-мат. наук, доценту Т. О. Кочетковой за организацию
подготовки сборника к изданию, старшему преподавателю Т. В. Зыковой, а также сотрудникам отдела обучающих систем СФУ за содействие
при разработке и внедрении электронного курса «Прикладные задачи по
математике».

Авторы будут благодарны за отзывы и замечания, а также новые
прикладные задачи, которые просят направлять по электронному адресу: vshershneva@yandex.ru.

4

Введение

Математика является одной из древнейших наук. Она зародилась
под влиянием потребностей практической деятельности человечества
как прикладная наука. Мореплавание, землемерие, строительство, торговля, государственное управление требовали развития арифметики и
геометрии. Историческое развитие математики превратило её в логически стройную систему. Однако многочисленные задачи естествознания
и техники ставят перед математикой всё новые задачи. В процессе их
решения она продолжает развиваться, сохраняя свою прикладную суть.

Многие математические результаты внесли и продолжают вносить
важный вклад в науку и технику. Среди них общеизвестны: теория реактивного движения ракет, формула для расчёта подъёмной силы крыла, объяснение явления флаттера — разрушительной вибрации самолёта, методы расчёта ядерных реакторов, теория кумулятивного взрыва.
Значение математики для инженерной деятельности огромно, и потому
будущему инженеру необходимо получить математическую подготовку
высокого качества.

Цель обучения математике в инженерном вузе состоит в том, чтобы
будущие инженеры получили фундаментальную математическую подготовку и математическую культуру, а также навыки математического моделирования в области будущей профессиональной деятельности, в том
числе с применением информационных компьютерных технологий. Все
составляющие этой цели принципиально важны.

Однако их нелегко достичь, если содержание обучения математике абстрактно и изолировано от специфики инженерной работы. В этой
ситуации, например, трудно сформировать навыки математического моделирования инженерных объектов и процессов. Дисциплина «Математика» часто предстаёт исключительно как совокупность абстрактных понятий и теорем, и её прикладной характер в учебном процессе разглядеть
почти невозможно.

«Вернуть» на занятия прикладную сущность математики, показать связь изучаемых понятий и теорем с инженерной практикой, други
5

ми учебными дисциплинами могут прикладные математические задачи.
Если содержание такой задачи связано с работой будущего инженера,
то для него эта задача — профессионально направленная, его познавательная активность возрастает, повышается качество фундаментальной
математической подготовки, формируются навыки математического моделирования.

Как правило, этап построения математической модели наиболее
сложен. Каждая из прикладных задач создаёт проблемную ситуацию, в
которой необходимо понять, с чего начать применение математических
знаний. Именно в ситуации, которую можно выразить поговоркой «Пойди туда, не знаю куда, найди то, не знаю что» по-настоящему активизируется мышление. Накапливая по крупицам опыт применения математических знаний за пределами предметного поля математики, будущий
инженер учится применять их в профессиональной деятельности, формируется его математическая компетентность.

Авторы считают, что следует оптимально сочетать фундаментальность и прикладную направленность обучения, использовать эти задачи
в единстве с традиционными математическими задачами, широко представленными в сборниках задач для студентов инженерных вузов. Подбирая задачи соответствующей профессиональной направленности и оптимально «вкрапляя» их в содержание обучения, можно эффективно
учить будущего инженера применять знания по основным разделам математики в профессиональной деятельности. В двух последних главах
показано, как можно решать математические задачи с помощью пакетов прикладных программ MathCad, Maple, Excel, а также обучающей
электронной среды.

В заключение подчеркнём, что задачи, включённые в данный сборник, предназначены для установления более тесных связей содержания
обучения математике с инженерной деятельностью.

6

Глава 1

Матрицы и системы линейных
уравнений

Теория матриц и систем линейных уравнений находит многочисленные
практические применения в задачах, связанных с экономикой (отражение соотношения затрат и результатов производства), электротехникой
и механикой (при исследовании малых колебаний механических систем),
транспортными перевозками (логистикой), современными вычислительными технологиями (идентификация систем, обработка сигналов) и т. д.

Матрицей размера m×n называется прямоугольная таблица чисел
или буквенных выражений, размещённых в m строках и n столбцах:

A = (aij) =

a11
a12
. . .
a1n
a21
a22
. . .
a2n
. . .
. . .
. . .
. . .
am1 am2 . . . amn

,

где aij (i = 1, m, j = 1, n) — элементы матрицы A. Матрица размера
n × n называется квадратной порядка n.

Матрицы упоминались ещё в древнем Китае и назывались тогда «волшебными квадратами». Чуть позднее «волшебные квадраты» стали известны
арабским математикам, возник принцип сложения матриц. Впервые матрица как математическое понятие появилась в середине XIX в. в работах
У. Гамильтона, А. Кэли, Дж. Сильвестра. Последний в 1850 г. ввёл термин
«матрица». Фундаментальные результаты в теории матриц принадлежат
К. Вейерштрассу, К. Жордану, Г. Фробениусу (вторая половина XIX и
начало XX в.).

7

Многие технические объекты и производственные процессы допускают описание или представление в виде матриц. Изучение таких объектов эффективно проводится методами матричной алгебры, которая позволяет: осуществлять компактную запись исследуемого объекта или процесса с помощью матриц и действий над ними; проводить преобразования систем линейных уравнений и находить их решения; делать точные
и приближённые вычисления по известным формулам при программной
реализации на компьютере.

Суммой матриц A = (aij) и B = (bij) одного размера m × n
называется матрица A + B = (aij + bij) того же размера.

Произведением матрицы A = (aij) размера m × n на число k называется матрица kA = (kaij) того же размера.

Произведением матрицы A = (aij) размера m × n на матрицу
B = (bjk) размера n × p называется матрица AB = (cik) размера m × p,
элементы которой находятся по формуле

cik =

n
j=1
aijbjk
(i = 1, m, k = 1, p).

Произведение произвольных матриц A и B не всегда определено (их
размеры должны быть согласованы). Для квадратных матриц A и B
одного порядка существуют оба произведения AB и BA, однако в общем
случае они не совпадают: AB ̸= BA.

Определителем (детерминантом) квадратной матрицы A порядка n называется число, обозначаемое det A или |A|, которое может быть
вычислено по формуле

|A| = a11A11 + a12A12 + · · · + a1nA1n.

Здесь A1j = (−1)1+jM1j — алгебраическое дополнение элемента a1j первой строки матрицы A, а M1j — определитель матрицы порядка n − 1,
получаемой из A вычёркиванием первой строки и j-го столбца (j = 1, n).
Указанная формула вычисления определителя называется разложением
его по элементам первой строки. Отметим, что определитель можно вычислять, разлагая его по элементам любой строки или столбца; значение
определителя при этом не изменится.

8

Идею определителя приписывают японскому математику С. Кова (1683)
и независимо Г. Лейбницу (1693), который пришёл к этому понятию при
решении систем линейных уравнений. Основы теории определителей были заложены швейцарским математиком Г. Крамером, опубликовавшим
в 1750 г. правило решения систем линейных уравнений с буквенными коэффициентами (правило Крамера). Примерно в это же время появился и
метод Гаусса. Термин «определитель» в современном его значении ввёл
О. Коши в 1815 г., а обозначение определителя с помощью вертикальных
линий предложил А. Кэли в 1841 г.

Квадратная матрица A называется невырожденной, если её определитель отличен от нуля: |A| ̸= 0. В противном случае матрицу A называют вырожденной. Матрица A−1 называется обратной к квадратной
матрице A порядка n, если AA−1 = A−1A = E, где

E =

1
0
. . .
0
0
1
. . .
0
. . . . . . . . . . . .
0
0
. . .
1

— единичная матрица порядка n. Обратная матрица определена только
для невырожденных матриц и может быть вычислена по формуле

A−1 = 1

|A| (Aij)T = 1

|A|

A11 A21 . . . An1
A12 A22 . . . An2
. . .
. . .
. . .
. . .
A1n A2n . . . Ann

,

где верхний индекс T означает операцию транспонирования матрицы
(переход к матрице, строки которой являются столбцами исходной).

Систему из m линейных уравнений с n неизвестными x1, . . . , xn
n
j=1
aijxj = bi,
i = 1, m,

с помощью матриц можно записать в виде AX = B, где

A =

a11
a12
. . .
a1n
a21
a22
. . .
a2n
. . .
. . .
. . .
. . .
am1 am2 . . . amn

,
X =

x1
x2...
xn

,
B =

b1
b2...
bm

.

9

Основным методом решения произвольной системы линейных уравнений является метод последовательного исключения неизвестных, или
метод Гаусса. При m = n система линейных уравнений называется квадратной. Если при этом матрица A невырожденна, то такая система имеет
единственное решение, которое можно найти по формуле

X = A−1B

(метод обратной матрицы) или формулам Крамера:

xj = ∆j

∆ ,
j = 1, n,

где ∆j — определитель, который получается из определителя ∆ = |A|
заменой j-го столбца на столбец B свободных членов системы.

Для решения систем линейных уравнений по указанным формулам
можно использовать системы компьютерной алгебры (Maple, MathCAD
и др.), в которых реализованы стандартные операции над матрицами.

Задача 1.1. В соответствии с программой строительно-дорожных
работ установлено, что для ремонта и строительства дорог необходимо:

1) для 1-го района — 4 единицы техники типа I и 2 единицы типа II;

2) для 2-го района — 12 ед. техники типа I и 3 ед. техники типа III;

3) для 3-го района — 8 ед. техники типа III.

Определить расход горюче-смазочных материалов видов p и q в каждом
районе, если нормы расхода материалов для одной единицы техники таковы: для техники типа I — 2 ед. материала p и 5 ед. материала q; для
техники типа II — 10 ед. материала p и 20 ед. материала q; для техники
типа III — 10 ед. материала p и 50 ед. материала q.

Решение. Данные задачи удобно записать в виде матрицы A необходимых затрат по типу техники и матрицы B норм расхода горючесмазочных материалов:

A =

4
2 0
12 0 3
0
0 8

,
B =

2
5
10 20
10 50

.

10