Детерминированная финансовая математика

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТФакультет математики, механики и компьютерных наук

С.В. Жак

Детерминированная 
финансовая математика

Учебное пособие

Ростов-на-Дону

Издательство Южного федерального университета
2008

УДК 334:51(075.8)
ББК 65в6я73
 
Ж 22

Печатается по решению редакционно-издательского совета
Южного федерального университета

Рецензенты

доктор технических наук, профессор Нейдорф Р.А.; 
кафедра высшей математики и исследования операций ЮФУ

Учебное пособие подготовлено и издано в рамках национального проекта 
«Образование» по «Программе развития федерального 
государственного образовательного учреждения высшего 
профессионального образования “Южный федеральный университет” 
на 2007–2010 гг.»

Жак С.В. 
Детерминированная финансовая математика: учеб. пособие / 
С.В. Жак. – Ростов н/Д: Изд-во ЮФУ, 2008. – 160 с.
ISBN 978-5-9275-0509-8
Пособие является частью материалов, обеспечивающих подготовку 
магистров по специальности «Финансовая математика» на кафедре высшей математики и исследования операций ЮФУ.
Оно создано на основе ранее опубликованных и многократно апробированных (в РГУ, РГАСХМ, ДГТУ, РГУПС, АЧГАА) пособий, активно использующихся в обучении студентов, специализирующихся по кафедре высшей математики и исследования операций. Необходимость обновления и 
переработки этих пособий определяется тем, что в магистратуру по указанной специальности могут прийти студенты, не слушавшие и не сдававшие 
эти курсы, пришедшие с других кафедр и даже других факультетов и вузов.
Пособие представляет собой начальный, пропедевтический курс знакомства 
магистрантов с проблемами финансовой математики, поэтому оно посвящено 
«статике» вопроса, детерминированным моделям (детерминированным эквивалентам стохастических задач, рассматриваемых в дальнейших разделах курса 
подготовки магистров).
УДК 334:51(075.8)
ББК 65в6я73
ISBN 978-5-9275-0509-8
© Жак С.В., 2008
© Оформление. Макет. Издательство
Южного федерального университета, 2008

Ж 22

ОПРЕДИСЛОВИЕ ........................................................................................6

ВВЕДЕНИЕ. ЦЕЛИ И СТРУКТУРА КУРСА И ПОСОБИЯ .......................8

1.  ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ЭКОНОМИКИ ..........................................12

1.1. 
Затраты, выручка, прибыль .................................................12
1.2.  Равенство спроса и предложения – 
необходимое условие максимизации прибыли ...............16
1.3.  Прибыль, инфляция и дисконтирование 
(соизмерение разновременных затрат) ............................17
1.4.  Простейшие задачи .............................................................21

2.  ЭЛЕМЕНТЫ ЭКОНОМЕТРИИ .........................................................29

2.1. 
Метод наименьших квадратов ...........................................29
2.2.  Типовые зависимости и приведение 
их к линейному виду относительно параметров ..............32
2.3.  Программа DAEZ и ее применение ....................................34
2.4.  Идентификация зависимостей спроса от цены, затрат 
от тиража, производственной функции Кобба–Дугласа ...35

3.  ЭКОНОМЕТРИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ФИРМЫ ..................................43

3.1.  Совершенная монополия и оптимальная 
равновесная цена ................................................................43
3.2.  Учет конкуренции эластичностью спроса. 
Уравнение для оптимальной равновесной цены 
и его решение ......................................................................45
3.3.  Диапазон равновесных цен, 
отвечающих неотрицательности прибыли ........................49

3.4. 
Программа MARKET, дополнительные условия, 
влияние параметров налогообложения ............................50
3.5.  Модель банка и точка Лаффера .........................................56
3.6.  Соотношение интересов фирмы, общества 
и коллектива .........................................................................58

4.  СПРОС И ПРЕДЛОЖЕНИЕ ..............................................................61

4.1.  Паутинная модель равенства спроса и предложения ......61
4.2.  Функция полезности. Рациональный потребительский 
спрос и теорема о предельной полезности ......................65
4.3. 
Взаимодействие паутинной модели и модели 
рационального потребительского выбора ........................72

5.  ВНУТРЕННИЕ, ХОЗРАСЧЕТНЫЕ 
ДОГОВОРНЫЕЦЕНЫ ...................................................................76

5.1. 
Основные соотношения ......................................................76
5.2. 
Максимизация общей равной нормы 
прибыли (ρ-задача) ..............................................................81
5.3. 
Учет задержки платежей в ρ-задаче ..................................85

6.  ЗАДАЧА УНИФИКАЦИИ .................................................................88

7. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ 
И ЗАМЕНА ОБОРУДОВАНИЯ ........................................................94

8.  ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ 
МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОГО ВЫБОРА .........................................101

8.1.  Основные понятия и подходы 
к решению многокритериальных задач ..........................101
8.2.  Интерактивное формирование функции ценности ........109

9.  ДИНАМИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПРИБЫЛИ .......................116

10. ВЫБОР ПАРКА МАШИН ДЛЯ РАБОТЫ   
В СЛУЧАЙНОЙ СРЕДЕ ..................................................................127

11. МЕТОД ВЕТВЕЙ И ГРАНИЦ И ФОРМИРОВАНИЕ 
ПОРТФЕЛЯ ИНВЕСТИЦИЙ ...........................................................130

12. ЭЛЕМЕНТЫ МАКРОЭКОНОМИКИ ..............................................136

12.1.  Модель Солоу – односекторная модель экономики 
(неоклассическая модель экономического роста) ..........136
12.2.  Двухсекторная модель экономики 
и оптимальное управление ..............................................139

ЗАКЛЮЧЕНИЕ ......................................................................................147

ПРИЛОЖЕНИЯ .....................................................................................151

Аннотации комплекса программ SSPDM ...................................153

ЛИТЕРАТУРА .........................................................................................158

ПДанное пособие является частью материалов, обеспечивающих подготовку магистров по специальности «Финансовая математика» на кафедре «Исследование операций» ЮФУ.
Оно создано на основе ранее опубликованных и многократно 
апробированных (в РГУ, РГАСХМ, ДГТУ, РГУПС, АЧГАА) пособий: 
Жак С.В. Математические модели менеджмента и маркетинга, 
Ростов н/Д: ЛаПО, 1997, 320 с.;
Жак С.В. Экономика для инженеров. М.: Вузовская книга, 
2004, 232 с.
Эти пособия активно используются в обучении студентов, 
специализирующихся по кафедре «Исследование операций», но 
необходимость их обновления и переработки определяется тем, 
что в магистратуру по указанной специальности могут прийти 
студенты с других кафедр и даже других факультетов и вузов, не 
слушавшие и не сдававшие эти курсы.
Хотя в указанных пособиях не всюду делался акцент на финансовые вопросы, практически все экономические проблемы 
и вопросы связаны с финансами, с издержками и прибылью, 
поэтому все математико-экономические модели в той или иной 
мере можно отнести к проблемам и моделям финансовой математики.
Пособие представляет собой начальный, пропедевтический 
курс знакомства магистрантов с проблемами финансовой математики, поэтому оно посвящено «статике» вопроса, детерминированным моделям (детерминированным эквивалентам стохастических задач, рассматриваемых в дальнейших разделах курса 
подготовки магистров).

Этим же объясняется и некоторое повторение материалов, 
излагающихся в других курсах магистерской подготовки – актуарная математика, многокритериальные задачи и т.д.
Некоторые специальные методы анализа оптимизационных 
моделей, редко и мало излагаемые в основном учебном процессе (подготовки бакалавров), решено в данное пособие включить 
дополнительно.

В. 
ЦБеда в том, что нас не подготовили к жизни в технократическом 
обществе. 

Вуди Аллен

Необходимость создания специального пособия предлагаемого типа назрела и определяется, прежде всего, тремя причинами. 
Во-первых, современные технологии и технические, производственные расчеты требуют наличия экономического обоснования, ответов не только на вопросы «Как это сделать?» и 
«Что в результате получится?», но и на вопросы «Во что это 
обойдется?», «В какой срок это окупится?», «Насколько это 
прибыльно?». Не случайно экономические требования включены в образовательный стандарт подготовки всех специальностей.
Во-вторых, существующие общие курсы экономики (увы, как 
и математики) страдают оторванностью от конкретной среды 
их применения: прослушав и сдав эти курсы, формально зная 
основные категории и законы, даже успешно написав рефераты 
или проекты, специалисты плохо представляют, как применить 

знания на практике, как выбрать способ не просто изящный и 
прогрессивный, но и наиболее эффективный, а следовательно, 
имеющий наибольшие шансы на реализацию. При этом неслучайны и грубые расчетные ошибки, в первую очередь связанные 
с неумелым или неправильным дисконтированием, соизмерением разновременных затрат и неправильным выбором критериев 
отбора вариантов.
В-третьих, широкое распространение современной вычислительной техники и ее программного обеспечения существенно облегчает проведение экономических расчетов, 
позволяет поднять их на более высокий научный уровень, 
использовать более тонкие и адекватные модели экономических процессов.
Для преодоления этих недостатков и предлагается данное пособие, возникшее на основе многолетних и достаточно массовых 
исследований задач математического моделирования и оптимизации производственных процессов в сельскохозяйственном 
машиностроении, станкостроении, электротехнике и электровозостроении, связанных с экономическими, а значит – c финансовыми проблемами.
В какой-то степени пособие продолжает концепцию первого 
утвержденного федерального учебника «Экономика. Компьютерное моделирование» (Ростов н/Д: ЛаПО, 1998).
Вместо более или менее абстрактного рассмотрения микро- 
и макроэкономики в нем последовательно излагаются основные 
экономические категории и показатели применительно к типовым технологическим и экономическим процессам, рассматриваются основные оптимизационные задачи экономического анализа, приводятся расчетные формулы и алгоритмы вычисления 
экономических показателей, описываются программы для этих 
расчетов и приемы их использования.
Особое внимание уделено простейшим финансовым расчетам: дисконтированию потока платежей, оценке годовой доходности проектов, оценке условий погашения ссуды, расчету амор

тизации оборудования как части себестоимости производимой 
продукции.
Рассмотрены сравнительно новые и не включаемые в традиционные курсы экономики задачи выбора оборудования для 
заданного технологического процесса, сроков смены типов выпускаемой продукции с учетом морального износа, выбора парка 
машин и устройств для работы в случайной среде.
Так как «нельзя объять необъятное», в учебнике опущены некоторые мало формализуемые разделы макроэкономики, лежащие вне сферы практической деятельности инженеров: национальный доход, международные экономические отношения и т.п. 
Они могут составить предмет дополнительного, чисто экономического курса.
Из тех же соображений в учебник не включены и разделы, 
имеющие достаточно широкое и важное применение в экономике: элементы теории массового обслуживания, теория запасов, 
модели и методы демографического анализа и страхового дела 
и т.д. Они, в случае необходимости, могут составить предмет дополнительных курсов.
Некоторые сложные выкладки приведены для полноты описания задач, но могут быть опущены или переданы для факультативного изучения.
Естественно, у слушателей и читателей предполагается знание основных понятий и методов математического анализа, 
алгебры и линейного программирования (теоремы Лагранжа, 
независимости векторов, симплекс-метода и т.п.), основ теории 
вероятностей и математической статистики.
Предлагаемые модели иллюстрируются типовыми расчетами, которые рекомендуется выполнять «вручную», а затем проверять (и варьировать с изменением различных параметров) с 
помощью прилагаемых к пособию программ для персональных 
компьютеров. Широкое применение компьютеров в курсе экономики является, на взгляд автора, совершенно необходимым, так 
как превращает «вербальный», описательный курс в рабочий ин

струмент, приучает к обязательной количественной оценке рассматриваемых производственных и технологических процессов 
с экономической точки зрения.
Для контроля работы студентов прилагаются также примеры 
индивидуальных заданий выполнения расчетов. 

1. ОЕсли, следя за каким-то явлением, 
наблюдатели увидят одно и то же, 
тогда это наука. Если увидят разное – 
не наука, а поэзия, еще что-нибудь, что 
угодно. 

Б.В. Раушенбах

Основным объектом изучения экономических процессов является предприятие («фирма»), деятельность которого определяется объемом выпускаемой продукции R (штук, тысяч штук 
или комплектов изделий) и отпускной ценой Р. Взаимодействие 
между отдельными предприятиями, государством и рынком, а 
также многообразие выпускаемой продукции опираются на модели деятельности отдельной фирмы, представляют собой следующие «этажи» моделирования и анализа.
По этим параметрам P и R (которые пока считаются независимыми) рассчитываются экономические показатели фирмы: выручка, издержки (затраты) Z, прибыль П, норма прибыли ρ и т.д. 

1.1. Затраты, выручка, прибыль

При расчете экономических показателей необходимо иметь в 
виду, что кроме цены производителя Р существуют цены потребителя:
(
)
1
1
1
 
P
 P
  q
=
+
 
(
)
(
)
2
1
1
1
1
1
 1
1
,  
P
P
q
P
q
=
+
+ α =
+ α
α =
+ α ,  
(1.1)
где q1 – доля налога на добавленную стоимость (фактически являющегося налогом с оборота), α – доля торговой наценки. Различие P, P1 и P2 существенно, так как в расчете прибыли фирмы 
торговая наценка не участвует, но спрос потребителя определяется ценой P2, которую ему приходится платить за товар.
Затраты Z на производство продукции являются монотонно 
возрастающей функцией объема производства:

( ),   ( )
0,
Z
Z R
Z R
′
=
>
 Z(R) = Z0 + Z1(R),

где Z0 – постоянная часть издержек – аренда или плата за амортизацию помещения и т.п. Однако если ввести удельные затраты 
C(R) = Z1(R)/R, то они являются убывающей функцией объема 
R – иначе не было бы известного эффекта выгодности массового 
производства.
Если выделить постоянное слагаемое C(R), то получим:
[
]
1
0
1
( )
( )
( ) ,
Z R
R C R
R a
C R
=
⋅
=
+

1
1
( )
0,  
( ) 0
Z R
C R
′
′
>
<
.  
(1.2) 
Вообще говоря, функция Z(R) не является непрерывной, так 
как при росте R возникает необходимость дополнительных единовременных затрат (строительство новых цехов и складов, покупка дополнительных станков и автоматических линий и т.п.), 
могут иметься точки нарушения гладкости, «излома» (рис. 1.1). 
Соответственно, в этих точках разрыва непрерывности и излома имеет разрывы функция С1(R) (рис. 1.2). Поэтому строже было 
бы применять анализ в отдельности на каждом отрезке непрерывности, но для упрощения расчетов целесообразно считать 
зависимости гладкими (пунктирные кривые на том же рисунке), 
а после получения рекомендаций по выбору оптимальных значений – провести уточненный поверочный расчет.
Имеется также и верхний предел объема R, превышение которого дает рост удельных затрат, но и это обстоятельство удобнее 
учитывать на втором этапе, при поверочных расчетах.

Z

a

R

Z

R

Рис. 1.1                                                           Рис. 1.2