Книжная полка Сохранить
Размер шрифта:
А
А
А
|  Шрифт:
Arial
Times
|  Интервал:
Стандартный
Средний
Большой
|  Цвет сайта:
Ц
Ц
Ц
Ц
Ц

Об одном семействе подпространств пространства прерывистых функций

Покупка
Основная коллекция
Артикул: 486155.0013.99.0002
Доступ онлайн
от 49 ₽
В корзину
Родионов, В. И. Об одном семействе подпространств пространства прерывистых функций / В. И. Родионов. - Текст : электронный // Вестник Удмуртского университета. Серия 1. Математика. Механика. Компьютерные науки. - 2009. - №4. - С. 7-24. - URL: https://znanium.com/catalog/product/527142 (дата обращения: 29.03.2024). – Режим доступа: по подписке.
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов. Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в ридер.

ВЕСТНИК УДМУРТСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

МАТЕМАТИКА



2009. Вып. 4

УДК 517.5


© В. И. Родионов




                ОБ ОДНОМ СЕМЕЙСТВЕ ПОДПРОСТРАНСТВ ПРОСТРАНСТВА ПРЕРЫВИСТЫХ ФУНКЦИЙ




В пространстве прерывистых функций исследовано параметрическое семейство подпространств специального вида и подпространство, представляющее их пересечение. Оно содержит в себе пространство функций ограниченной вариации. Исследована решетка подпространств, зависящая от параметра. Исследованы вопросы существования интеграла Римана-Стилтьеса на элементах подпространств. Доказана полнота подпространств (в каждом подпространстве используется собственная норма). Исследованы соотношения между нормами.

Ключевые слова: прерывистая функция, интеграл Римана-Стилтьеса, банахова алгебра.





                Введение




   Непрерывные функции x : K ^ C, где K — это отрезок или интервал, обладают достаточно высокой степенью регулярности («порядка»), заключающейся в том, что близость аргументов влечет близость значений непрерывной функции. «Не слишком разрывные» прерывистые функции тоже обладают хорошей регулярностью (в англоязычной литературе они так и называются — regulated functions, то есть упорядоченные функции). Они обладают тем свойством, что в каждой точке t G K определены три значения x(t — 0), x(t) и x(t + 0), что позволяет конструировать другие сопутствующие атрибуты функций и получать новые результаты.
   Настоящая работа продолжает цикл публикаций [1-4]. В силу специфики этих работ изложение ведется в терминах алгебр и подалгебр.

§1 . Алгебра G[a, b] прерывистых функций




                1.1. Обозначения, определения и вспомогательные утверждения




   Зафиксируем отрезок K = [a, b] и через G = G(K) = G[a, b] обозначим пространство прерывистых (см. [5, с. 16]) функций, то есть функций x : K ^ C, обладающих конечными пределами x(t — 0) = lim х(т) при всех t G (a,b] и x(t + 0) = lim х(т) при всех t G [a, b). т ^t—0                                                т ^t--0
Пространство G, наделенное естественной операцией умножения функций, является алгеброй над полем C, ив дальнейшем м ы будем называть G как пространством, так и алгеброй. Через GL обозначим подпространство (подалгебру) в G, состоящее из тех функций, что x(t — 0) = x(t) при t G (a,b] и x(a + 0) = x(a). Симметричное подпространство (подалгебра) GR состоит из тех функций, что x(t + 0) = x(t) при t G [a, b) и x(b — 0) = x(b). Функции из GL будем называть непрерывными слева, а функции из GR — непрерывными справа прерывистыми функциями. Через G₀ обозначим пространство (алгебру) таких функций x : K ^ C, что при любом е > 0 множество {t G K : |x(t)| ^ е} состоит из конечного числа точек. Нет никаких ограничений для того, чтобы считать, что функции x вещественнозначны, то есть x : K ^ R, — читатель может так и поступать, однако мы будем вести изложение для комплекснозначных функций, отступая от этого принципа лишь в исключительных случаях. Отметим еще, что в [5] дается определение прерывистых функций, действующих из K в произвольное банахово пространство.
   Функция x : K ^ C называется ступенчатой, если существует такое конечное разбиение a = т₀ < т1 < ... < тп = b, что на кажд ом интервале (тк—1,т^), к = 1, ...,n, функция x тождественно равна константе Ck G C. Очевидно, всякая ступенчатая функция является прерывистой. Более того, справедливо

Доступ онлайн
от 49 ₽
В корзину