Об одном семействе подпространств пространства прерывистых функций
Покупка
Основная коллекция
Издательство:
Удмуртский Государственный университет
Автор:
Родионов В. И.
Год издания: 2009
Кол-во страниц: 18
Дополнительно
Доступ онлайн
В корзину
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
ВЕСТНИК УДМУРТСКОГО УНИВЕРСИТЕТА МАТЕМАТИКА 2009. Вып. 4 УДК 517.5 © В. И. Родионов ОБ ОДНОМ СЕМЕЙСТВЕ ПОДПРОСТРАНСТВ ПРОСТРАНСТВА ПРЕРЫВИСТЫХ ФУНКЦИЙ В пространстве прерывистых функций исследовано параметрическое семейство подпространств специального вида и подпространство, представляющее их пересечение. Оно содержит в себе пространство функций ограниченной вариации. Исследована решетка подпространств, зависящая от параметра. Исследованы вопросы существования интеграла Римана-Стилтьеса на элементах подпространств. Доказана полнота подпространств (в каждом подпространстве используется собственная норма). Исследованы соотношения между нормами. Ключевые слова: прерывистая функция, интеграл Римана-Стилтьеса, банахова алгебра. Введение Непрерывные функции x : K ^ C, где K — это отрезок или интервал, обладают достаточно высокой степенью регулярности («порядка»), заключающейся в том, что близость аргументов влечет близость значений непрерывной функции. «Не слишком разрывные» прерывистые функции тоже обладают хорошей регулярностью (в англоязычной литературе они так и называются — regulated functions, то есть упорядоченные функции). Они обладают тем свойством, что в каждой точке t G K определены три значения x(t — 0), x(t) и x(t + 0), что позволяет конструировать другие сопутствующие атрибуты функций и получать новые результаты. Настоящая работа продолжает цикл публикаций [1-4]. В силу специфики этих работ изложение ведется в терминах алгебр и подалгебр. §1 . Алгебра G[a, b] прерывистых функций 1.1. Обозначения, определения и вспомогательные утверждения Зафиксируем отрезок K = [a, b] и через G = G(K) = G[a, b] обозначим пространство прерывистых (см. [5, с. 16]) функций, то есть функций x : K ^ C, обладающих конечными пределами x(t — 0) = lim х(т) при всех t G (a,b] и x(t + 0) = lim х(т) при всех t G [a, b). т ^t—0 т ^t--0 Пространство G, наделенное естественной операцией умножения функций, является алгеброй над полем C, ив дальнейшем м ы будем называть G как пространством, так и алгеброй. Через GL обозначим подпространство (подалгебру) в G, состоящее из тех функций, что x(t — 0) = x(t) при t G (a,b] и x(a + 0) = x(a). Симметричное подпространство (подалгебра) GR состоит из тех функций, что x(t + 0) = x(t) при t G [a, b) и x(b — 0) = x(b). Функции из GL будем называть непрерывными слева, а функции из GR — непрерывными справа прерывистыми функциями. Через G₀ обозначим пространство (алгебру) таких функций x : K ^ C, что при любом е > 0 множество {t G K : |x(t)| ^ е} состоит из конечного числа точек. Нет никаких ограничений для того, чтобы считать, что функции x вещественнозначны, то есть x : K ^ R, — читатель может так и поступать, однако мы будем вести изложение для комплекснозначных функций, отступая от этого принципа лишь в исключительных случаях. Отметим еще, что в [5] дается определение прерывистых функций, действующих из K в произвольное банахово пространство. Функция x : K ^ C называется ступенчатой, если существует такое конечное разбиение a = т₀ < т1 < ... < тп = b, что на кажд ом интервале (тк—1,т^), к = 1, ...,n, функция x тождественно равна константе Ck G C. Очевидно, всякая ступенчатая функция является прерывистой. Более того, справедливо
Доступ онлайн
В корзину