Условия дистрибутивности решетки конгруэнций полуколец непрерывных функций

ВЕСТНИК
УДМУРТСКОГО
УНИВЕРСИТЕТА

МАТЕМАТИКА
2009. Вып. 3

УДК 512.556

c
⃝ Д. В. Чупраков

УСЛОВИЯ ДИСТРИБУТИВНОСТИ РЕШЕТКИ КОНГРУЭНЦИЙ
ПОЛУКОЛЕЦ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ

Исследуются решетки конгруэнций полуколец непрерывных функций на произвольном топологическом
пространстве. Получены критерии дистрибутивности решетки конгруэнций полукольца непрерывных
неотрицательных функций.

Ключевые слова: полукольцо и полуполе непрерывных функций, решетка конгруэнций, F -пространство.

Введение

Данная работа относится к теории колец и полуколец непрерывных функций на топологических пространствах. Главным объектом теории служит кольцо C(X) всех непрерывных
вещественнозначных функций, заданных на произвольном топологическом пространстве X, с
поточечно определенными операциями сложения и умножения функций.
Достаточно новым направлением развития теории колец C(X) является исследование полуколец непрерывных функций, где основными объектами являются полукольцо C+(X) всех
непрерывных неотрицательных функций на топологическом пространстве X и полуполе U(X)
всех непрерывных положительных функций на X. Если операцию сложения + заменить на
операцию взятия максимума ∨, то получим идемпотентные полукольцо C∨(X) и полуполе
U∨(X). Заметим, что кольцо C(X) служит кольцом разностей как полукольца C+(X), так и
полуполя U(X).
Важную роль в теории полуколец непрерывных функций играют решетки конгруэнций,
исследование которых начато в работе [1]. В этой работе введены отображения γ и δ, связывающие решетки конгруэнций произвольного полукольца с решеткой идеалов его кольца
разностей. Установлено, что отображение δ является эпиморфизмом, а отображение γ сохраняет операцию пересечения.
В параграфе 2 настоящей работы доказано, что отображение γ из решетки идеалов Id C(X)
в решетку конгруэнций Con U(X) есть гомоморфизм (предложение 4) и решетка Id C(X)
является ретрактом решетки Con U(X) (теорема 1).
В 1998 г. В. И. Варанкина, Е. М. Вечтомов и И. А. Семенова установили, что если решетка конгруэнций Con C+(X) или Con U(X) дистрибутивна, то пространство X является F пространством [1, следствие 3.2]. В 2003 г. Д. В. Широков доказал, что дистрибутивность решетки Con U(X) равносильна свойству пространства X быть F -пространством [2]. В статье [3] установлено, что множества Con U(X) и Con U∨(X) равны тогда и только тогда, когда
пространство X является F-пространством. Возникает естественный вопрос, когда в точности решетка конгруэнций Con C+(X) дистрибутивна? Ответу на него посвящен параграф 3
данной работы. В теореме 2 доказано, что дистрибутивность решетки Con C+(X) также необходима для того, чтобы X было F -пространством. В предложении 6 показано, что на F пространствах X решетка Con C∨(X) дистрибутивна.

§ 1. Основные понятия

Основные понятия теории полуколец имеются в монографии Голана [4]. Теория колец непрерывных функций изложена в книге Гилмана и Джерисона [5].