Согласованность и управление спектром в линейных системах с наблюдателем

ВЕСТНИК
УДМУРТСКОГО
УНИВЕРСИТЕТА

МАТЕМАТИКА
2009. Вып. 3

УДК 517.977.1 + 517.926

c
⃝ В. А. Зайцев

СОГЛАСОВАННОСТЬ И УПРАВЛЕНИЕ СПЕКТРОМ
В ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ С НАБЛЮДАТЕЛЕМ

Исследуется свойство согласованности линейной управляемой системы с наблюдателем. Получены новые необходимые условия и достаточные условия согласованности. Исследована задача управления
спектром в системе с линейной неполной обратной связью; получены необходимые и достаточные условия глобальной управляемости спектра в случае, когда коэффициенты системы имеют специальный
вид. Установлена связь между свойством согласованности стационарной системы с наблюдателем и
глобальной управляемостью спектра замкнутой системы.

Ключевые слова: управляемая система, неполная обратная связь, согласованность, управление спектром.

§ 1. Определения и обозначения

Пусть Rn — евклидово пространство размерности n с нормой |x| =
√

x∗x, ∗ означает операцию транспонирования вектора или матрицы; если x ∈ Rn — вектор-столбец, то x∗ ∈ Rn∗ —
вектор-строка; Mm,n — пространство вещественных m × n -матриц с нормой |A| = max
|x|⩽1 |Ax|;

Mn := Mn,n;
e1, . . . , en
— канонический базис в Rn, то есть e1 = col (1, 0, . . . , 0), . . . ,
en = col (0, . . . , 0, 1); I = [e1, . . . , en] ∈ Mn — единичная матрица; J — первый единичный ко
сой ряд, то есть J :=
n−1
i=1
eie∗
i+1 ∈ Mn; J0 := I, Ji := Ji, i ∈ N (то есть J1 := J, Jk = 0 ∈ Mn

при k ⩾ n ); χ(A; λ) — характеристический многочлен матрицы A; Sp A — след матрицы A.
Рассмотрим линейную управляемую систему с наблюдателем

˙x = A(t)x + B(t)u,
y = C∗(t)x,
(t, x, u, y) ∈ R × Rn × Rm × Rk,
(1.1)

где матричные функции A(·), B(·), C(·) кусочно-непрерывны и ограничены на R. Обозначим через X(t, s) матрицу Коши соответствующей однородной системы
˙x = A(t)x. Пусть
управление в системе (1.1) строится по принципу линейной неполной обратной связи в виде
u = U(t)y, где U : R → Mm,k — ограниченная кусочно-непрерывная функция. Тогда система
(1.1) переходит в замкнутую систему

˙x = (A(t) + B(t)U(t)C∗(t))x.
(1.2)

Если обратная связь — полная, то есть C(t) ≡ I, y = x, u = U(t)x, то соответствующая
замкнутая система имеет вид
˙x = (A(t) + B(t)U(t))x.
(1.3)

В системах (1.2) и (1.3) управляющими воздействиями являются коэффициенты матрицы U(t).
Исследуется задача управления асимптотическим поведением однородной системы (1.2)
(или (1.3)), в частности, задача стабилизации. В стационарном случае она заключается в том,
чтобы построить (стационарное) управление U так, чтобы спектр собственных значений матрицы системы (1.2) (или (1.3)) переместился в левую полуплоскость. В нестационарном случае
речь идет о задаче управления характеристическими показателями Ляпунова. Задача управления показателями Ляпунова может быть рассмотрена в глобальной или в локальной постановке. Первые результаты об управлении показателями Ляпунова в нестационарном случае были