Базис дифференциальных инвариантов группы симметрии уравнения Грина-Нагди


ВЕСТНИК УДМУРТСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

МЕХАНИКА                                          2009. Вып. 2



УДК 517.9

© Н. В. Любашевская, А. П. Чупахин




                БАЗИС ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ИНВАРИАНТОВ ГРУППЫ СИММЕТРИИ УРАВНЕНИЙ ГРИНА—НАГДИ¹




Рассматривается система уравнений Грина-Нагди, описывающая распространение длинных волн на поверхности жидкости. Построены продолжения операторов алгебры симметрии уравнений Грина-Нагди, вычислены ее дифференциальные инварианты и операторы инвариантного дифференцирования. Доказана теорема о базисе дифференциальных инвариантов алгебры симметрии уравнений Грина-Нагди. Кроме того, описаны связи между дифференциальными инвариантами, порождаемые операторами инвариантного дифференцирования и самими дифференциальными уравнениями. Для построения в дальнейшем дифференциально инвариантных решений необходимо исследование условий совместности полученной переопределенной системы.

Ключевые слова: уравнения Грина-Нагди, дифференциальные инварианты, операторы инвариантного дифференцирования, базис дифференциальных инвариантов.




                Введение




   Групповой анализ дифференциальных уравнений [1] позволяет получать широкие классы точных решений уравнений произвольного вида. Особенно эффективны его алгоритмы при исследовании математических моделей физики и механики континуума, обладающих по своему построению широкой группой симметрии. Многочисленные примеры новых нетривиальных решений в газовой динамике можно найти в работах [2, 3, 4].
   Инвариантные решения строятся путем дописывания к исходной системе дифференциальных уравнений представлений всех исходных функций через инварианты. Для частично инвариантных решений лишь часть искомых функций имеет такое представление, а оставшиеся являются, вообще говоря, произвольными. Такая ситуация порождает переопределенную систему дифференциальных уравнений для этих функций, число которых меньше числа уравнений в исходной системе. Условия совместности этой переопределенной системы при приведении ее в инволюции служат для определения этих функций, названных в [1] «лишними». Приведение переопределенной системы дифференциальных уравнений в инволюцию осуществляется алгоритмом Картана, но его практическая реализация в конкретных случаях может оказаться достаточно сложной. Вместе с тем, частично инвариантные решения представляют значительный интерес, поскольку они обладают большей общностью по сравнению с инвариантными и не могут быть получены иначе, чем регулярным применением теоретико-групповых методов.
   Дальнейшим обобщением инвариантных решений являются дифференциально инвариантные. Они получаются при дописывании к системе дифференциальных уравнений соотношений, связывающих дифференциальные инварианты [1]. Исследование дифференциальных инвариантов групп непрерывных преобразований было начато в работах Софуса Ли. Позже эта теория получила свое развитие в работах Овсянникова [1] и Олвера [5, 6]. Исследование таких решений представляется очень сложной задачей, поскольку на сегодняшний день отсутствует законченная теория дифференциально инвариантных решений [7]. Имеются примеры построения таких решений, носящие в значительной мере «экспериментальный» характер [8, 9]. Одной из основных проблем этой теории сегодня является отсутствие теорем о редукции дифференциально инвариантных решений к инвариантным или частично инвариантным. Между тем
   Работа поддержана грантом Президента РФ для молодых кандидатов наук (МК-2817.2008.1) и Российским фондом фундаментальных исследований (проекты 06-01-00258, 09-01-00403).