О нескейлинге вероятности протекания простой кубической решетки : теория и компьютерный эксперимент


ВЕСТНИК УДМУРТСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

МЕХАНИКА



2009. Вып. 2

УДК 531.19, 519.24


© С. Р. Галлямов, С. А. Мельчуков




                О НЕСКЕЙЛИНГЕ ВЕРОЯТНОСТИ ПРОТЕКАНИЯ ПРОСТОЙ
                КУБИЧЕСКОЙ РЕШЁТКИ: ТЕОРИЯ И КОМПЬЮТЕРНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ




На основе известных свойств функции вероятности протекания простой кубической решётки размера L = 2 в приближении линейной связи порога протекания бесконечной решётки xc и среднего значения xcL конечной решётки введена нескейлинговая функция вероятности протекания для решётки размера L > 2. Показано, что на пороге протекания нескейлинговые вероятности для всех ПК решёток одинаковы.
   Компьютерные эксперименты на основе метода Монте-Карло согласуются с предлагаемой в работе теорией.

Ключевые слова: перколяция, решётка, вероятность протекания, нескейлинг, компьютерный эксперимент.




                Введение




   В теории перколяции вероятность протекания P = P(x) как функция от концентрации x интересующей нас фазы является основной характеристикой перколяционной системы. Через вероятность протекания можно выразить свойства физических величин, зависящих от топологии больших кластеров, например, спонтанную намагниченность M(x) или проводимость ст⁽x) [1].
   Общепринятое скейлинговое описание поведения P (x) и ст (x) при помощи критических индексов в и t: P(x) о |x — x,p и ст(x) о |x — xd* применимо вблизи критической концентрации xc и для системы бесконечных размеров [2, 3, 4].
   Известно, что численное моделирование физических процессов можно осуществлять на решётках больших, но конечных размеров ввиду ограниченных возможностей любого компьютера. В настоящее время точное выражение для P = P(x, L) как функции от концентрации x l размера решётки L неизвестны для пространств размерности d > 1. Для теории и практики интерес представляет простая кубическая (далее ПК) решётка размера L > 2 в задаче узлов.
   В § 1 данной работы на основе упрощающих допущений введена функция P (x, L) для конечных решёток и в широком диапазоне 0 < x < 1, что являлось основной целью данной работы. Эта цель достигалась на основе результата из [5] для функции P(x) ПК решётки размера L = 2 в приближении [6] о линейной связи порога протекания бесконечной решётки xc со средним значением xcL конечной решётки в трёхмерном случае.
   В § 2 представлена вычислительная схема компьютерного эксперимента по определению величин, необходимых для задания функции P(x, L).
   Для краткости функцию, характеризующую какое-либо перколяционное свойство (вероятность протекания P(x, L) в том числе) конечной решётки в широком интервале концентрации x интересующей нас фазы, мы условно назвали нескейлинговой функцией, или нескейлингом. В качестве нескейлинга можно рассматривать средний размер конечного кластера (скейлинговое описание которого общепринято записывать через критический индекс y ■ S(x) о |x — xc|⁻⁷ ), а также другие важные характеристики перколяционной системы, которые вблизи критической точки xc описываются показательной функцией с различными критическими индексами.