Об одной задаче уклонения в конусе


ВЕСТНИК УДМУРТСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

МАТЕМАТИКА



2009. Вып. 2

УДК 517.977

© И. Н. Шуравина
ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ УКЛОНЕНИЯ В КОНУСЕ
Рассматривается линейная задача уклонения одного убегающего от группы преследователей, при условии, что игроки обладают равными динамическими возможностями, убегающий не покидает пределы выпуклого конуса. Доказывается, что если число преследователей меньше размерности пространства, то убегающий уклоняется от встречи на интервале [0, ж).
Ключевые слова: дифференциальные игры, групповое преследование, поимка, пример Понтрягина.

§ 1. Постановка задачи
   В пространстве Rk (k ^ 2) рассматривается дифференциальная игра Г n + 1 лиц: n преследователей P1,... ,Pₙ и убегающий E.
   Закон движения каждого из преследователей Pi имеет вид
xi = axi + Ui, ||uiH < 1•                       (1-1)
   Закон движения убегающего E имеет вид
y = ay + v, ||v| < 1.                           (1.2)
   Здесь xᵢ,y,uᵢ,v E Rk, a E R¹. При t = 0 заданы начальные позиции преследователей x0,..., xП и убегающего y⁰, причем x0 = y⁰ для всех i = 1,..., n.
   Предполагается, что убегающий E не покидает выпуклый конус
D = {y : y Е Rk, (pj,y) < 0, j = 1 ,...,r},
где p 1,... ,pᵣ — единичньie векторы Rk такие, что Int D = 0, y⁰ E Int D.
   При a = 0 и отсутствии фазовых ограничений задача рассматривалась в [1], при a = 0 с фазовыми ограничениями задача рассматривалась в [2, 3]. При a< 0 и отсутствии фазовых ограничений задача рассматривалась в [4], при a < 0, n ^ k с фазовыми ограничениями задача рассматривалась в [5]. В работе [6] доказано, что если a < 0, n < k и убегающий не покидает пределы конуса, то в игре происходит уклонение от встречи в классе кусочнопрограммных стратегий. В данной работе аналогичный результат доказывается в случае a > 0.
   Пусть а — разб иение 0 = 1₀ < 11 < 12 < ... < tₖ < ... интер вала (0, ж), не имеющее конечных точек сгущения, Dᵣ(q) — шар радиуса r с центром в точке q.
   Определение!. Кусочно-программной стратегией V игрока E, задан ной на [0, ж), соответствующей разбиению а, называется семейство отображений {bl}j=₀, ставящих в соответствие величинам
(ti,x 1(ti),.. .,Xn(ti),y(tl))
измеримую функцию v = vₗ(t), определенную для t E [tₗ,tₗ₊₁) и такую, что W(t)|| < 1, y⁽t) E D , t E [tl,tl+i).
   Определение 2. Будем говорить, что в игре Г происходит уклонение от встречи, если существуют разбиение а, стратегия V игрока E, соответствующая а такая, что для любых траекторий x 1(t),...,xₙ(t) преследователей P1 ,...,Pₙ выполнено xi(t) = y(t), t ^ 0, i = 1,... ,n, где y(t) — реализовавшаяся траектория E.