Расширения в классе конечно-аддитивных мер условия асимптотической нечувствительности при ослаблении части ограничений

ВЕСТНИК
УДМУРТСКОГО
УНИВЕРСИТЕТА

МАТЕМАТИКА
2009. Вып. 1

УДК 517.972.8

c
⃝ А. Г. Ченцов

РАСШИРЕНИЯ В КЛАССЕ КОНЕЧНО-АДДИТИВНЫХ МЕР
И УСЛОВИЯ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ НЕЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ
ПРИ ОСЛАБЛЕНИИ ЧАСТИ ОГРАНИЧЕНИЙ 1

Для абстрактной задачи управления рассматривается конструкция расширения в классе векторных
конечно-аддитивных мер и исследуются условия асимптотической нечувствительности достижимого
множества при ослаблении части ограничений.

Ключевые слова: расширение, конечно-аддитивная мера, асимптотическая нечувствительность.

§ 1. Содержательная постановка задачи

Рассматриваемая ниже абстрактная постановка имеет своим источником следующую содержательную задачу управления линейной системой:

·x (t) = A(t)x(t) + B(t)f(t)
(1.1)

на конечном промежутке времени I0
△= [t0, ϑ0] (здесь и ниже
△= — равенство по определению),
t0 < ϑ0; начальные условия заданы: x(t0) = x0 ∈ Rn, где n — размерность фазового пространства. В (1.1) A(·) — непрерывный покомпонентно (n × n) -матрицант на I0, B(·) — (n × r) 
матрицант на I
△= [t0, ϑ0[, допускающий покомпонентное равномерное приближение кусочнопостоянными (к.-п.) и непрерывными справа (н. спр.) вещественнозначными (в/з) функциями
на I. Пусть F — множество всех к.-п. и н. спр. неотрицательных покомпонентно r -векторфункций на I, U — непустое подмножество (п/м) F; предполагаем, что в (1.1) u ∈ U, причем
на выбор u накладывается ограничение

ϑ0

t0
S(t)u(t)dt ∈ Y,
(1.2)

где S(·) есть (m × r) -матрицант на I того же типа, что и B(·), Y
— замкнутое п/м Rm.
Ограничение (1.2) порождает множество U∂, U∂ ⊂ U, всех допустимых (в смысле (1.2)) управлений из U. При этом каждая функция f ∈ F, рассматриваемая как управление в системе
(1.1), формирует единственную траекторию ϕf данной системы, определенную на отрезке I0 и

принимающую значения в Rn. Множество G
△= {ϕu(ϑ0) : u ∈ U∂} есть область достижимости
(ОД) в момент ϑ0; см. [1].
Если Y в (1.2) меняется, то меняется и ОД. Ограничимся сейчас обсуждением ослаблений
условия (1.2), имея в виду замену Y каким-то множеством Y1, Y ⊂ Y1 ⊂ Rm, что приводит
к новой ОД G1. Зачастую бывает трудно указать конкретную степень ослабления (1.2), в то
время как тип ослабления понятен. В этой связи полагаем, что Y
«заменяется» непустым
семейством п/м Rm, пересечение всех множеств которого совпадает с Y. Рассматриваем (сейчас) две версии упомянутого семейства: Y1 и Y2; в обоих случаях полагаем, что множества
из упомянутых семейств — метрические ε -окрестности Y, ε > 0. Одна из метрик — нормируемая (сопоставляем вектору из Rm наибольший из модулей его компонент), а другая отвечает
ситуации, когда ослабление Y -ограничения (1.2) касается лишь части координат, и является

1Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (06-01-00414, 07-01-96088).