Методы оптимизации в задачах аэрогазодинамики


Министерство образования и науки Российской Федерации
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ






А.Н. ШИПЛЮК





                МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ЗАДАЧАХ АЭРОГАЗОДИНАМИКИ




Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия










НОВОСИБИРСК
2014

УДК 533.6:519.8(075.8)
     Ш633




Рецензенты:
д-р физ.-мат. наук С.М. Аулъченко канд. физ.-мат. наук Ю.А. Гостеев





        Шиплюк А.Н.

Ш 633 Методы оптимизации в задачах аэрогазодинамики: учеб. по
       собие / А.Н. Шиплюк. - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2014. -107 с.
         ISBN 978-5-7782-2453-7

          Пособие состоит из десяти теоретических разделов, в которых описаны классическая задача оптимизации, методы численного решения одномерных задач оптимизации, задачи минимизации функций многих переменных, прямые методы безусловной минимизации многомерных задач, задачи многокритериальной оптимизации, популяционные методы и генетические алгоритмы, задачи многокритериальной оптимизации и численные методы их решения, задачи оптимизации в робастном проектировании.
          Теоретическое изложение иллюстрируется примерами и рисунками, облегчающими самостоятельное знакомство с материалом. Предназначено для студентов специальности 161700.







УДК 533.6:519.8(075.8)



ISBN 978-5-7782-2453-7

                  ©Шиплюк А.Н., 2014
© Новосибирский государственный

технический университет, 2014

        ОГЛАВЛЕНИЕ


ВВЕДЕНИЕ........................................................
  В.1. Аэродинамика лопаточных машин............................
  В.2. Тепломассообмен..........................................
  B.3. Процессы горения.........................................
  В.4. Требования к вычислительным ресурсам.....................
1. КЛАССИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ОПТИМИЗАЦИИ. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ.............................................
  1.1. Минимум функции одной переменной.........................
  1.2. Унимодальные функции.....................................
  1.3. Выпуклые функции.........................................
  1.4. Условие Липшица..........................................
  1.5. Классическая минимизация функции одной переменной........
  1.6. Контрольные вопросы......................................
2. ОДНОМЕРНАЯ МИНИМИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ. ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ
  2.1. 0 прямых методах.........................................
  2.2. Метод перебора...........................................
  2.3. Метод поразрядного поиска................................
  2.4. Метод дихотомии..........................................
  2.5. Метод золотого сечения...................................
  2.6. Сравнение методов перебора, дихотомии и золотого сечения.
  2.7. Метод парабол............................................
  2.8. Контрольные вопросы......................................
3. ОДНОМЕРНАЯ МИНИМИЗАЦИЯ. МЕТОДЫ, ИСПОЛЬЗУЮЩИЕ ИНФОРМАЦИЮ О ПРОИЗВОДНЫХ ЦЕЛЕВОЙ ФУНКЦИИ................
  3.1. Метод средней точки......................................
  3.2. Метод хорд...............................................
  3.3. Метод Ньютона............................................
  3.4. Методы минимизации многомодальных функций................
  3.5. Контрольные вопросы......................................
4. ЗАДАЧА МИНИМИЗАЦИИ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ.
  4.1. Постановка задачи и определения..........................
  4.2. Общие принципы многомерной минимизации...................
  4.3. Метод градиентного спуска................................

. 6
.7
.8
10
11

13
13
14
15
16
16
17
18
18
18
19
20
20
22
22
23

23
24
25
25
27
28
28
28
29
33

3

  4.4. Метод наискорейшего спуска...........................34
  4.5. Метод сопряженных направлений........................35
  4.6. Метод сопряженных градиентов.........................36
  4.7. Контрольные вопросы..................................37
5. ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ БЕЗУСЛОВНОЙ МИНИМИЗАЦИИ МНОГОМЕРНЫХ ЗАДАЧ................................................38
  5.1. Проблема минимизации многомерных задач...............38
  5.2. Минимизация функций по правильному (регулярному) симплексу.40
  5.3. Минимизация функций при помощи нерегулярного симплекса.....45
  5.4. Метод циклического покоординатного спуска............48
  5.5. Метод Хука-Дживса....................................49
  5.6. Методы случайного поиска.............................49
  5.7. Контрольные вопросы..................................50
6. ПОПУЛЯЦИОННЫЕ МЕТОДЫ.....................................51

  6.1. Эволюционные стратегии..................................55
     Мутация и эволюционное программирование...................57
  6.2. Генетический алгоритм...................................58
     6.2.1. Кроссинговер и мутация.............................59
     6.2.2. Селекция...........................................59

  6.3. Вариации на тему использования найденных решений.........62
     6.3.1. Элитаризм...........................................62
     6.3.2. Стационарный генетический алгоритм..................62

  6.4. Вариации на тему «эксплуатация против исследования».
  6.5. Оптимизация методом роя частиц......................
  6.6. Преимущества и недостатки ГА........................
  6.7. Контрольные вопросы.................................
7. МНОГОКРИТЕРИАЛЬНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ..........................

63
64
66
67
68

  7.1. Задачи многокритериальной оптимизации....................68
  7.2. Доминирование по Парето..................................72
  7.3. Скаляризация.............................................75
     Взвешенная сумма...........................................75
  7.4. Недоминируемая сортировка................................77
  7.5. Парето-сила..............................................81
  7.6. Основные особенности многокритериальных эволюционных алгоритмов .....................................................85

4

  7.7. Пример метода многокритериальной оптимизации..............88
  7.8. Контрольные вопросы.......................................90
8. ОПТИМИЗАЦИЯ В РОБАСТНОМ ПРОЕКТИРОВАНИИ (ROBUST DESIGN OPTIMIZATION).....................................91
  8.1. Идентификация неопределенностей, выбор математической модели......................................................92
     8.1.1. Учет неопределенности в величинах переменных параметров .....................................................94
     8.1.2. Учет неопределенности в параметрах внешней среды.....94
     8.1.3. Учет точности математической модели..................95
  8.2. Вероятностные критерии....................................95
  8.3. Расчет вероятностных критериев. Выбор методов оптимизации.97
  8.4. Многокритериальность в задаче робастной оптимизации......100
  8.5. Многоуровневая робастная оптимизация.....................102
  8.6. Контрольные вопросы......................................104
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ...............................................104

            ВВЕДЕНИЕ


   В самолетостроении, двигателестроении и других высокотехнологичных отраслях машиностроения инженерные вычисления - это основной способ снижения затрат на проектирование новой продукции, поскольку позволяет избежать длительных испытаний при доводке конструкции на натурных образцах [1]. Поэтому виртуальная инженерия, которая включает исследование и оптимизацию геометрических и физических свойств изделия в вычислительной среде [2], становится наиболее передовой современной тенденцией. Использование вычислительного эксперимента в виртуальной среде - обязательный компонент ключевой компетенции компании, работающей на рынке высокотехнологичной машиностроительной продукции, такой как гражданские и военные самолеты, газотурбинные двигатели. Существенно повысить эффективность летательных аппаратов можно с помощью новых концептуальных решений. Для их поиска в настоящее время применяются самые передовые достижения вычислительной математики и аэрогазодинамики, многопараметрическая (100 и более переменных) и многокритериальная робастная оптимизация с использованием эволюционных стратегий, генетических алгоритмов и искусственных нейронных сетей. Большую перспективность и актуальность этого направления подчеркивает тот факт, что Американский институт авиации и космонавтики в 2014 г. будет проводить уже 15 конференцию по многодисциплинарному анализу и оптимизации.
   В процессе поиска оптимального решения используются математические модели различных уровней (от самых простых квазиодномер-ных моделей до самых сложных математических моделей прямого численного моделирования трехмерных нестационарных реагирующих течений). Ниже рассмотрим особенности некоторых наиболее сложных вычислительных задач аэрогазодинамики.

6

        В.1. АЭРОДИНАМИКА ЛОПАТОЧНЫХ МАШИН

   В настоящее время при проектировании компрессоров и турбин газотурбинных двигателей преобладающим подходом численного моделирования аэродинамики является решение усредненных по Рейнольдсу (Фавру) уравнений Навье-Стокса в стационарной и нестационарной постановке. Основная идея этого метода заключается в замене мгновенных значений характеристик турбулентного потока суммой их усредненных по времени значений и отклонений от усредненных значений. Это позволяет упростить уравнения Навье-Стокса, но в результате появляются дополнительные неизвестные, для определения которых приходится вводить новые уравнения. Например, в модели к-& решается два дополнительных уравнения для транспорта кинетической энергии турбулентности и транспорта диссипации турбулентности. Известны также другие широко применяемые дифференциальные модели турбулентности: к—о, SST, Спаларта-Алмараса и т. д. Основные их достоинства - это относительная простота и низкие затраты при вычислениях. Для обеспечения достоверности получаемых результатов такие модели содержат модельные постоянные, определяемые экспериментально. В большинстве случаев RANS-подход позволяет получить удовлетворительную точность на этапе выполнения проектировочных расчетов с использованием обычных персональных компьютеров. Так, размерность сетки для предварительного пространственного стационарного расчета аэродинамики одного межлопаточного канала лопатки компрессора или неохлаждаемой турбины составляет около 300 000 узлов (при использовании «пристенных» функций в пограничном слое), что требует 400...450 Мбайт оперативной памяти неструктурированного CFD-солвера.
   Однако описанный выше подход не позволяет с высокой степенью достоверности описывать такие физические эффекты, как нестационарное «статор-ротор» взаимодействие венцов турбомашин (статор -неподвижный лопаточный венец, ротор - вращающийся лопаточный венец), распространение следов за лопатками и скачков уплотнения по тракту турбомашины, детальное формирование пограничного слоя на поверхности лопаток, его взаимодействие с потоком в радиальном зазоре, отрывные и вихревые течения, их влияние на аэродинамическую эффективность компрессора или турбины в целом [3]. Такие физические эффекты являются параметрами неопределенности при проектировании и вынуждают разработчика закладывать характеристики узла с запасом по расходу воздуха до 5 % и по коэффициенту полезного действия до 3 %. Запасы устойчивой работы компрессора во всем диа

7

пазоне рабочих режимов сегодня также не поддаются надежному прогнозированию. В конечном итоге, учитывая погрешности при изготовлении узлов в производстве, выполнить все требования технического задания на проектирование становится затруднительно.
   Решить проблему надежного обеспечения аэродинамических характеристик турбомашин можно при выполнении следующих условий:
   •    экспериментальное изучение фундаментальных физических процессов в проточной части турбомашин (пограничные слои и вихревые течения, ударные волны, распространение следов за лопатками, взаимодействие «статор-ротор»);
   •    совершенствование математических моделей и методов моделирования аэродинамики на основе эксперимента.
   Перспективные научные подходы, существующие сегодня, такие как моделирование крупных (LES) и отсоединенных вихрей (DES), а также прямое численное моделирование (DNS), требуют на один и даже два порядка более подробных расчетных сеток и соответствующих вычислительных ресурсов, которые в настоящее время недоступны для инженерных приложений. Погрешности моделирования аэродинамических характеристик ступени турбомашины с использованием традиционного RANS-подхода (размерность сетки 300 000 узлов) и перспективного LES-моделирования (размерность сетки 3 000 000 узлов) составляют по КПД 3 и 0,9 %, по массовому расходу - 5 и 2,2 %, по степени сжатия -1,8 и 0,2 % соответственно.
   Примеры использования таких моделей для ступени компрессора при решении практических задач аэродинамики в отечественной практике сегодня единичны и касаются в первую очередь решения задач нестационарной аэродинамики и акустики вентилятора и сопла газотурбинного двигателя. Однако тенденции роста производительности процессоров и вычислительных мощностей суперкомпьютеров свидетельствуют о том, что в ближайшие годы такие подходы будут все более активно применяться в решении практических задач.

        В.2. ТЕПЛОМАССООБМЕН

   Основная задача тепломассообмена в газотурбинном двигателе -это определение теплового состояния наиболее нагруженных его элементов. Одним из самых сложных элементов двигателя является охлаждаемая лопатка турбины. Тепловое состояние лопатки можно определить с помощью дифференциального уравнения теплопроводности, решение которого не составляет особого труда. Основную сложность

8

представляет определение граничных условий второго рода (температура среды, омывающей металл, и коэффициент теплообмена между средой и металлом лопатки). Таким образом, определение теплового состояния неразрывно связано с решением задачи внешнего обтекания профиля лопатки горячим газом и внутреннего течения хладагента во внутренней полости лопатки. Традиционно коэффициент теплообмена между металлом лопатки и средой устанавливается на основе полуэм-пирических экспериментальных зависимостей, что дает приемлемый уровень точности прогнозирования на этапе проектирования. К недостаткам такого метода относится ограниченный диапазон применения критериальных зависимостей, особенно для современных высокона-груженных лопаток турбин. На этапе пространственной оптимизации лопатки турбины точность прогнозирования теплового состояния на основе обобщенных экспериментальных данных оказывается недостаточной, поскольку невозможно описать пространственные эффекты взаимодействия пограничных слоев друг с другом и с ударной волной, эффекты перехода пограничного слоя из ламинарного состояния в турбулентное, эффекты реламинаризации и т. д. [4].
   Наиболее перспективным инженерным подходом к определению тепломассообмена в охлаждаемой лопатке турбины стало решение задачи в сопряженной постановке, когда на основе совместного итерационного решения усредненных уравнений Навье-Стокса и уравнения энергии находится тепловой баланс системы «горячий газ - металл -охлаждающий воздух». Такой подход позволяет избежать вычисления коэффициента теплообмена, который является фактором неопределенности при нахождении температуры металла лопатки. При этом возможен учет практически всех значимых для определения теплообмена факторов. Основной недостаток при таком подходе - это высокие требования к сеточной дискретизации и вычислительным ресурсам. Из-за геометрической сложности объекта размер сетки для определения теплового состояния охлаждаемой лопатки с петлевой или «вихревой» конвективно-пленочной системой охлаждения составляет не менее 6 млн узлов, что требует не менее 8 Гбайт оперативной памяти.
   Переход к решению аналогичной задачи в нестационарной RANS-постановке требует уже не менее 12 Гбайт ОЗУ и применения распараллеливания минимум на 80 процессорных ядер для получения приемлемого времени счета. Переход к решению задачи с применением, например, LES-метода требует увеличения размерности сетки на порядок и распараллеливания на 600...800 ядер. При этом для обеспечения адекватной точности прогнозирования необходима идентификация


9

математических моделей на основе физического эксперимента (теплообмен при интенсивном вихреобразовании, ламинарно-турбулентный переход, реламинаризация).

        В.З. ПРОЦЕССЫ ГОРЕНИЯ

   К современным камерам сгорания сегодня предъявляется несколько основных требований: высокий уровень полноты сгорания, нормированное значение окружной и радиальной неравномерности поля температур перед турбиной и низкие уровни эмиссии вредных веществ в атмосферу. Проектирование камеры сгорания - одна из сложнейших задач при создании газотурбинного двигателя. Это объясняется, прежде всего, сложностью самого процесса горения топлива. На процесс горения в основном влияет качество смешения топлива и окислителя (воздуха). В процессе распыла и смешения жидкого топлива капли топлива взаимодействуют между собой и с окислителем, испаряются, происходит их дробление и коагуляция. В результате этого получается топливовоздушная смесь, качество смешения которой зависит от конструктивных особенностей завихрителей и форсунок камеры сгорания. Большинство работ по проектированию и доводке камеры сгорания сегодня выполняется с использованием натурного эксперимента. Методы моделирования на основе RANS-подхода позволяют с удовлетворительным качеством определять аэродинамику (потери) в камере сгорания.
   При моделировании процессов горения погрешность прогнозирования поля температур за камерой сгорания составляет в среднем до 5 % (в локальных областях до 20 %), а эмиссии вредных веществ до 300 %. При моделировании с использованием инженерного подхода косвенно учитываются характеристики распыла и смешения, а химическая кинетика процесса горения основывается на учете двух-трех основных реакций. При этом используемые модели горения являются полуэмпирическими (содержат коэффициенты модели, подобранные на основе модельных экспериментов) и имеют ограниченный диапазон применения. Размерность сетки при моделировании сектора камеры сгорания с форсунками и завихрителями в RANS-постановке составляет не менее 15 млн узлов.
   Применение более прогрессивных методов типа LES и DES к оценке процессов в камере сгорания требует увеличения размерности сетки в 5 раз по сравнению с RANS-подходом и распараллеливания на 1000 ядер для получения разумного времени счета. Моделирование полноразмерной камеры сгорания увеличивает эти требования еще на порядок.


10

        В.4. ТРЕБОВАНИЯ К ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫМ РЕСУРСАМ

   Повышение точности прогнозирования процессов аэродинамики, тепломассообмена и горения в газотурбинных двигателях может быть достигнуто за счет:
   •    экспериментального изучения факторов, влияющих на состояние пограничного слоя в проточной части турбомашин, процессов распыла и смешения топлива;
   •    разработки редуцированных моделей химической кинетики, описывающих процесс горения топлива;
   •    совершенствования математических моделей на основе экспериментальных исследований;
   •    совершенствования методов решения задач на основе указанных моделей, обеспечивающих параллелизм (тысячи и десятки тысяч процессорных ядер) на вычислительных машинах с распределенной памятью.
   Перечисленные выше требования к вычислительным ресурсам, наличие которых позволит перейти к более точному определению параметров конструкции ГТД за счет использования расчетных методов, сведены в табл. В.1. Данные по размерности различных задач получены опытным путем в «НПО «Сатурн» [5]. Количество процессорных ядер определяется по эмпирическому правилу, подтвержденному практикой «НПО «Сатурн», согласно которому оптимальное соотношение цена / производительность системы достигается при выделении одного ядра на каждые 0,2 Гбайт памяти. При этом все задачи рассматриваются в стационарной и нестационарной постановке. Отметим также, что в каждом случае рассматривается расчет только одного сектора проточной части двигателя. Для расчета проточной части целиком (сектор 360°) необходимо увеличить требуемое количество ресурсов в соответствующее число раз. Так, для полного нестационарного расчета камеры сгорания потребуется 2,5 Тбайт оперативной памяти и 12 350 процессорных ядер, что при нынешнем уровне развития микропроцессорной техники примерно соответствует системе производительностью 150 Тфлопс.
   Из приведенных данных следуют потенциальные ограничения, с которыми сталкиваются отечественные разработчики ГТД, решающие задачу поддержания компетенций в проектировании на мировом уровне. Помимо упомянутых выше задач экспериментального исследования различных процессов и создания новых математических моделей на их основе, необходима разработка численных методов и реализация этих методов в программном коде, поддерживающем эффективное распаралле

11

ливание на 1000...10 ООО ядер. Следует отметить, что в настоящее время отечественные программные продукты для расчетного исследования аэродинамики лопаточных машин, тепломассообмена и процессов горения отсутствуют, предприятия отрасли вынуждены использовать зарубежные коммерческие пакеты программ, которые допускают эффективное распараллеливание не более чем на 100 ядер. В то же время ведущие зарубежные компании аэрокосмической отрасли имеют собственные проприетарные программы, которые позволяют решать указанные задачи.
Таблица В.1

Вычислительные мощности, необходимые для решения задач инженерного анализа при проектировании ГТД методами моделирования вихрей LES/DES

                          Размерность   Необходимая     Количество    
                          (млн ячеек)   память, Гбайт  процессорных   
         Задача                                            ядер       
                          ста-  неста-   ста-  неста-   ста-  неста- 
                          цио-  ционар-  цио-   цио-    цио-  ционар                         нарная   ная   нарная нарная  нарная   ная  
Аэродинамика неохлаж-                                                
даемой ступени турбо-                                                
машины (сектор 10...12°)   5       9      7      13      35     63   
Аэродинамика охлаж-                                                  
даемой ступени турбо-                                                
машины (сектор 10...12°)   30     54      42     75     210   380    
Сопряженный тепломас-                                                
сообмен охлаждаемой                                                  
решетки турбомашины                                                  
(одна лопатка, сектор                                                
10...12°)                  50     90      70     125    350   630    
Аэродинамика и горение                                               
в камере сгорания (одна                                              
форсунка, сектор 20°)      75     135    105     190    525   950    

   Вначале кратко рассмотрим классический подход к численному решению задач оптимизации. Более подробно этот вопрос можно изучать по многочисленным учебникам и учебным пособиям, см. например [6].

            1. КЛАССИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ОПТИМИЗАЦИИ. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ


        1.1. МИНИМУМ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

   Рассмотрим математическую модель оптимизации, в которой целевая функция зависит от одной переменной, определенной на множестве U вещественной оси:
f (х) ^ min, х е U.             (1)
   Максимизация целевой функции (f(х) ^ max) эквивалентна минимизации противоположной величины (-f(х) ^ min), поэтому, не умаляя общности, будем рассматривать только задачи минимизации.
   Определение. Точка х е U называется точкой глобального (абсолютного) минимума или просто точкой минимума функции f(х) на множестве U, еслиf(х ) </(х) для всех х е U. Множество всех точек минимума f(х) на U будем в дальнейшем обозначать через U*.
   Определение. Точка х е U называется точкой локального минимума функции Дх), если f (х) < f (х) для всехх е ^достаточно близких к х, т. е. если существует £ > 0 такое, что это неравенство выполняется для любого
х е|х е U, |х - ,х| < е}.
   Определение. Пусть функция f(х) определена и ограничена снизу на множестве U, т. е. f(х)>Д>-да для всех хеU. f* называется
точной нижней гранью функции f(х) на множестве U (f * = infц/(х), если f(х) > f* при всех хеU и для любого е>0 найдется точка хе е U такая, что f(х₈) < f * + £ (т. е. среди значений f(х) на множестве U найдутся сколь угодно близкие f *).

13