Управляемость квазидифференциального уравнения

ВЕСТНИК
УДМУРТСКОГО
УНИВЕРСИТЕТА

МАТЕМАТИКА
2009. Вып. 1

УДК 517.977.1

c
⃝ В. А. Зайцев

УПРАВЛЯЕМОСТЬ КВАЗИДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ1

Установлен критерий равномерной полной и дифференциальной управляемости линейной системы с
локально интегрируемыми по Лебегу и интегрально ограниченными коэффициентами, в случае когда
критерий Калмана неприменим. Получены условия дифференциальной управляемости квазидифференциального уравнения.

Ключевые слова: управляемая система, полная управляемость, дифференциальная управляемость, квазидифференциальное уравнение.

§ 1. Определения и критерии полной управляемости

Пусть Rn — евклидово пространство размерности n, |x| =
√

x∗x — норма в Rn, ∗ означает
операцию транспонирования; Mmn — пространство вещественных m × n -матриц с нормой
|A| = max
|x|⩽1 |Ax|; Mn := Mnn. Известно [1, с. 357], что такая норма матрицы A ∈ Mmn совпадает

с
Λ(A∗A), где Λ(A∗A) — наибольшее собственное значение матрицы A∗A, и что |A∗| = |A|
[1, с. 71]. Рассмотрим линейную нестационарную управляемую систему

˙x = A(t)x + B(t)u,
(t, x, u) ∈ R × Rn × Rm.
(1)

Будем предполагать, что матричные функции A : R → Mn, B : R → Mnm измеримы и по
норме локально интегрируемы по Лебегу, то есть для любых ϑ > 0, τ ∈ R
τ+ϑ

τ
|A(s)| ds < ∞,
τ+ϑ

τ
|B(s)| ds < ∞.
(2)

Допустимым управлением будем называть всякую измеримую ограниченную по норме функцию u : R → Rm. Условия (2) обеспечивают существование и единственность решения задачи
Коши для системы (1), и это решение является локально абсолютно непрерывной функцией.
Обозначим через X(t, s) матрицу Коши системы ˙x = A(t)x, то есть решение матричной задачи Коши
˙X = A(t)X,
X(s) = I, I ∈ Mn — единичная матрица. Эта функция является
абсолютно непрерывной по каждой переменной.
Все соотношения между измеримыми функциями будем предполагать выполняющимися
почти всюду (п. в.). Запись G ∈ L1(T, Mnm), где T = [τ, τ + ϑ], означает, что G : T → Mnm,

G(t) = {gij(t)} и gij ∈ L1(T), то есть
τ+ϑ

τ
|gij(s)| ds < ∞ для всех i = 1, n, j = 1, m .

Лемма 1. |G| ∈ L2(T) ⇐⇒
τ+ϑ

τ
g2
ij(s) ds < ∞ для всех i = 1, n, j = 1, m.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Построим матрицу G∗(s)G(s). При каждом s ∈ T эта матрица симметрическая, неотрицательно определенная. Ее собственные значения вещественные и
неотрицательные 0 ⩽ λ1(s) ⩽ . . . ⩽ λm(s). Пусть Λ(s) — это наибольшее собственное значение
этой матрицы, то есть Λ(s) = λm(s). Имеет место неравенство

0 ⩽ Λ(s) ⩽ λ1(s) + . . . + λm(s) = Sp (G∗(s)G(s)) =
i,j
g2
ij(s) ⩽ mΛ(s).
(3)

1Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты 06–01–00258, 09–01–00403).