Работа 8. Моделирование системы двигатель-нагрузка с помощью методов пространства состояний

РАБОТА 8. МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМЫ

ДВИГАТЕЛЬ-НАГРУЗКА С ПОМОЩЬЮ МЕТОДОВ

ПРОСТРАНСТВА СОСТОЯНИЙ

Цель работы — изучение методов пространства состояний для 

анализа регуляторов линейных объектов управления.

Задачи работы — промоделировать фрагмент системы (объект 

без регулятора) с помощью метода пространства состояний.

Порядок выполнения работы

1. Познакомиться с основными положениями метода простран
ства состояний на примере моделирования подсистемы двигательнагрузка.

2. Построить модель объекта управления (подсистемы двига
тель-нагрузка) с учетом индуктивности якорной цепи в пространстве 
состояний и сравнить результаты с моделированием соответствующей подсистемы из работы 6.

3. Построить модель объекта управления с учетом податливости 

элементов привода в пространстве состояний и сравнить результаты с 
моделированием соответствующей подсистемы из работы 7.

Содержание отчета

1. Модель подсистемы двигатель-нагрузка из желаемой системы 

в пространстве состояний. Сопоставление с результатами моделирования фрагмента из работы 5.

2. Модель подсистемы двигатель-нагрузка с учетом индуктив
ности якорной цепи двигателя в пространстве состояний. Сопоставление с результатами моделирования фрагмента из работы 6.

3. Модель подсистемы двигатель-нагрузка с учетом податливо
сти элементов привода в пространстве состояний. Сопоставление с 
результатами моделирования фрагмента из работы 7.

Пояснения к выполнению работы

Методы пространства состояний

Методы пространства состояний – это мощный и хорошо про
работанный класс формальных подходов к синтезу стабилизирующих 
управлений, разработанный в 60-70 годах XX века американскими и 
советскими учеными.

Сущность методов пространства состояний может быть резю
мирована в следующих положениях [5]:

Не используется преобразование Лапласа (анализ и синтез 

осуществляется непосредственно с использованием математического 
аппарата линейных дифференциальных уравнений).

Объект управления представляется в виде

,
=

,
=

Du
Cx
y

Bu
Ax
x
(42)

где u – управляющее воздействие, x – вектор пространства состояний,
y – выход объекта управления. Все переменные x, y, u могут быть векторными. Матрицы A, B, C, D – постоянные матрицы соответствующих размерностей.

Постулируется, что для линейного объекта в пространстве со
стояний линейная пропорциональная обратная связь стабилизирует 
его динамику, т. е. асимптотически обращает в ноль производные 
вектора состояния, 
0
)
(t
x
. Таким образом, стабилизирующая об
ратная связь ищется в виде 
x
K
u =
, где K – матрица постоянных 

коэффициентов.

Для решения задач синтеза и анализа систем используются 

численные и оптимизационные алгоритмы, реализованные программно, в т. ч. и в системе MATLAB.

Прежде, чем приступить к решению задачи синтеза регулятора 

для системы двигатель-нагрузка, модель которой представлена уравнениями (39), составим модель этой системы в пространстве состояний. Отправной точкой являются пять последних уравнений в (39):

./
=

,
/
=

,
=

,
=

,
)/
(
=

н

м

i

i
M
M
J

I
c
M

c
E

R
E
u
I

д

д
д

д

д
e

д





(43)

Перепишем уравнения (43) таким образом, чтобы в левой части 

были только первые производные (в т. н. форме Коши).

.
)
(
1
=

,
=

1

н i
M
c
u
R
c

J
д
e
д

м

д

д
д





(44)

Входом системы является напряжение на обмотке двигателя 
д
u , 

выходом является угловое положение вала редуктора

.
=
1
i
д
(45)

Заметим, что величина 
н
M
является возмущением, о котором 

известно, что оно может находиться в пределах от 0 до номинального 
значения момента нагрузки.

Запишем уравнения модели в матричном виде

н
м
м
1
0
0

0

1
0

=
M

i
J

u

R
J
c

R
J

c
c
д

д

д

e

д

д



(46)

Далее сделав обозначения
,
x
x
y
u
u
д
д
д
:=
,
:=
,
:=
,
:=
2
1

можно записать модель (43), (44) в стандартном виде (42)

.
i
C
M
i
J

,

R
J
c
B

R
J

c
c
A

,
Cx
y
Bu
Ax
x

e

0
1
=
,
1
0

=

0

=
,
0

1
0

=

=
,
=

н

м
м



(47)

Поскольку в уравнении состояния для x присутствует возмуще
ние
, то рассматриваемая система является возмущенной. Положив 

,0
=
можно перейти к невозмущенной (или номинальной) системе. 

В линейных системах аддитивное постоянное возмущение качественно не влияет на их поведение, т. е. устойчивая система сохраняет устойчивость, а неустойчивая остается неустойчивой. Важно понимать, 
что для синтеза регулятора далее используется только номинальная 
модель и одновременно подразумевается, что на систему действуют 
аддитивные возмущения.

Рассмотрим моделирование системы (47) в среде Simulink. Для 

начала введем численные параметры системы с помощью следующего скрипта MATLAB команд (рис. 31):

Рис. 31. Вид m-файла с параметрами

После выполнения этого файла, переменные A, B, C появятся в 

окружении Workspace и будут доступны для использования в моделях 
Simulink.

Далее воспользуемся блоком State Space
(из библиотеки 

Simulink/ Continous). Для настройки блока необходимо ввести имена 
матриц A, B, C в соответствующие поля (рис. 32). В качестве переменной D необходимо ввести 0, поскольку управляющий вход в рассматриваемой модели не влияет на выход непосредственно. Начальные состояния задаются вектором [0 0], что соответствует значениям 

0
=
(0)
0,
=
(0)
д
д
.

Рис. 32. Параметры блока State Space

Для проверки правильности моделирования в пространстве со
стояний возьмем фрагмент модели на рис. 28 (работа 5), соответствующий модели объекта управления. Отключим блок, моделирующий 
момент нагрузки, получив невозмущенную систему, и сравним реакции двух моделей на управляющее воздействие uд = 10 (рис. 33).

Выходной сигнал модели в пространстве состояний точно на
кладывается на осциллографе на сигнал модели из работы 5 (рис. 34). 
Таким образом, делаем вывод, что две сравниваемые модели дают 
идентичные результаты.

Рис. 33. Сравнение моделей объекта управления

Рис. 34. Выходные сигналы моделей

РАБОТА 9. СИНТЕЗ РЕГУЛЯТОРА МЕТОДОМ

РАЗМЕЩЕНИЯ ПОЛЮСОВ

Цель работы — изучение методов пространства состояний для 

синтеза регуляторов линейных объектов управления.

Задачи работы — выполнить синтез регулятора электромехани
ческой системы методом размещения полюсов.

Порядок выполнения работы

1. Познакомиться с основными положениями метода простран
ства состояний для синтеза системы управления степенью подвижности робота методом размещения полюсов.

2. Построить в пространстве состояний модель системы с уче
том индуктивности якорной цепи, выполнить синтез системы управления методом размещения полюсов и сравнить результаты с моделированием в работе 6.

3. Построить в пространстве состояний модель системы с уче
том податливости элементов привода, выполнить синтез системы 
управления методом размещения полюсов и сравнить результаты с 
моделированием в работе 7.

Содержание отчета

1. Модель системы с регулятором в пространстве состояний. 

Синтез регулятора методом размещения полюсов. Сопоставление с 
результатами моделирования из работы 5.

2. Модель системы с регулятором и учетом индуктивности 

якорной цепи двигателя в пространстве состояний. Синтез регулятора 
методом размещения полюсов. Сопоставление с результатами моделирования из работы 6.

3. Модель системы с регулятором и учетом податливости эле
ментов привода в пространстве состояний. Синтез регулятора методом размещения полюсов. Сопоставление с результатами моделирования из работы 7.

Пояснения к выполнению работы

Сформулируем задачу синтеза регулятора. Рассматривается за
дача стабилизации номинальной системы (47) и серворегулирования с 

обнулением сигнала ошибки по положению 
0
=
*
.

Для того, чтобы система была астатической по сигналу ошибки 

положения , необходимо применение интегрального принципа регулирования. Достижение астатизма возможно интегрированием сигнала ошибки, для чего уравнения модели (47) дополняются новым состоянием

y
r
z
=
=
=
*

(48)

где 
*
=
r
(это стандартное обозначение сигнала уставки).

В результате получаем расширенную систему с вектором со
стояний 
T
z
x
X
)
,
(
=
, которая может быть записана в матричном виде 

следующим образом

,
B
Bˆ

,
C
A
Aˆ

,r
u
Bˆ
X
Aˆ
X

0
=

0
0
=

1
0
=


(49)

где 0 – понимается как нулевая матрица соответствующей размерности.

Задача синтеза регулятора состоит в определении матрицы K

обратной связи по состоянию 
)
(
=
=
2
1
z
K
x
K
KX
u
для стабилиза
ции системы (49). Из (48) очевидно, что система (49) устойчива только при нулевом сигнале ошибки 
0
=
=
y
r
– таким образом, стаби
лизация влечет за собой решение задачи регулирования выхода.

Следующим важным шагом (который уже применялся выше) 

является отбрасывание возмущения в виде слагаемого 
r
1

0
, как не 

влияющего на устойчивость.

В MATLAB существует алгоритмическая процедура, осуществ
ляющая автоматическое вычисление матрицы K по матрицам A и B. 
Алгоритм реализует так называемый метод размещения полюсов (pole 
placement). Он оформлен в виде процедуры place, доступной для использования в скриптах и консоли MATLAB. Дополнительным параметром, который специфицирует скорость регулирования (время переходных процессов) является вектор собственных чисел P.

Вектор P должен удовлетворять следующим условиям:

размерность вектора равна числу состояний объекта управле
ния,

все компоненты вектора строго отрицательные, вещественные 

и различные по значению,

постоянная времени переходных процессов 
зависит от абсо
лютных величин компонентов вектора 
iP : при увеличении нормы 
|
|
iP

этого вектора время регулирования 
уменьшается, увеличиваются 

значения коэффициентов матрицы K и возрастают амплитуды входных воздействий u .

Дополнительные сведения о методе размещения полюсов со
держатся в [6], а также в [5], где метод называется модальным управлением (это более распространенное название в русскоязычной литературе).

Перейдем к решению задачи регулирования. Для этого опреде
лим в скрипте матрицы Aˆ и Bˆ :

A_ = [A zeros(2,1); -C 0];
B_ = [B; 0];
Вычислим матрицу обратной связи. Поскольку расширенный

вектор состояний X = (x, z)T имеет три переменных (два от x и одну
от дополнительной z ), то необходимо задать три собственных числа 

для размещения полюсов с помощью функции place, например,

P = [-10 -11 -12];
K = place(A_, B_, P);

После выполнения скрипта с объявлением матриц Aˆ , Bˆ и вы
числением K соответствующие переменные будут доступны для использования в модели.

Модифицируем модель в Simulink, добавив следующие блоки:

сумматор (вычитатель) для вычисления сигнала ошибки ,
интегратор для вычисления сигнала z ,
мультиплексор (Mux) для составления расширенного вектора 

состояния X ,

усилитель (Gain) для формирования пропорциональной об
ратной связи 
KX
u =
.

Заметим, что в свойствах мультиплексора (Mux) необходимо 

ввести число входов (Number of inputs): 3. Также очень важно правильно настроить блок усилителя Gain, выбрав тип умножения 
(Multiplication): Matrix (K*u), а также задав коэффициент усиления 
(Gain) в виде выражения: K.

В качестве сигнала уставки возьмем 
1
=
=

*
r
. Также вернем 

обратно действие возмущения Мн .Окончательный вид модели показан на рис. 35.

Рис. 35. Модель объекта управления с замкнутой обратной связью

Моделирование дает выходную реакцию 
=
y
, показанную на 

рис. 36. Из моделирования следует, что выход достигает желаемого 
значения примерно за 1 с, ошибка регулирования пренебрежимо мала, 
эффекты перерегулирования не наблюдаются.