Лекции по теории интегральных уравнений

Петровский И.Г.

Лекции по

теории интегральных

уравнений

МОСКВА

ФИЗМАТЛИТ ®

УДК 517.94
ББК 22.161.6
П 30

Издание осуществлено при поддержке
Российского фонда фундаментальных
исследований по проекту 08-01-07069

П е т р о в с к и й И. Г. Лекции по теории интегральных уравнений / Под ред. О. А. Олейник. — 5-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ,
2009. — 136 с. — ISBN 978-5-9221-1081-5.

В книге дано простое и доступное изложение теории Фредгольма,
теории уравнений Вольтерра и теории Гильберта–Шмидта интегральных уравнений с симметрическим ядром. Это классическая теория
линейных интегральных уравнений, которая является необходимым
элементом университетского образования математиков и физиков.

Допущено Министерством высшего и среднего специального
образования СССР в качестве учебника для студентов физикоматематических специальностей университетов.

ISBN 978-5-9221-1081-5
c⃝ ФИЗМАТЛИТ, 2009

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие к первому изданию . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9

Предисловие ко второму изданию . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9

Предисловие редактора . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10

Г л а в а 1. Введение. Теоремы Фредгольма . . . . . . . . . . .
15
§ 1. Определения. Примеры . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
§ 2. Типичные задачи, сводящиеся к линейным интегральным
уравнениям. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
§ 3. Аналогия между линейными интегральными уравнениями и линейными алгебраическими уравнениями. Формулировка теорем Фредгольма. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
§ 4. Интегральные уравнения с вырожденными ядрами . .. . .
28
§ 5. Интегральные уравнения с достаточно малыми по абсолютной величине непрерывными ядрами . .. . . . . . . . . .
36
§ 6. Интегральные уравнения с ядрами, близкими к вырожденным . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
§ 7. Интегральные уравнения с равномерно непрерывными ядрами . .. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48

§ 8. Интегральные уравнения с ядрами вида K(P ,Q)

P Qα
. . . . . .
50

§ 9. Примеры особых интегральных уравнений . .. . . . . . . . .
62

Г л а в а 2. Уравнения Вольтерра . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
§ 10. Уравнения Вольтерра . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64

Г л а в а 3. Интегральные уравнения с действительными
симметрическими ядрами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
§ 11. Геометрические аналоги некоторых соотношений между
функциями (пространство функций) . .. . . . . . . . . . . . .
69
§ 12. Доказательство
существования
собственных
функций
у интегральных уравнений с симметрическими ядрами
83

Оглавление

§ 13. Некоторые свойства собственных функций и собственных
значений интегральных уравнений с симметрическими
ядрами. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
§ 14. Теорема Гильберта–Шмидта . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .
100
§ 15. Теорема о разложении ядер . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
105
§ 16. Классификация ядер. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
107
§ 17. Теорема Дини и ее приложения . .. . . . .. . . . . . . . . . . .
108
§ 18. Пример . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
112

Д о п о л н е н и е . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
116
§ 19. Приведение квадратичной формы к каноническому виду
ортогональным преобразованием. .. . . . . . . . . . . . . . . .
116
§ 20. Теория интегральных уравнений с симметрическими ядрами в классе функций, интегрируемых вместе с их квадратами по Лебегу. .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
122

Предисловие к первому изданию

Эти лекции я читал в 1946 г. в Московском государственном
университете.
Мою
рукопись
просмотрели
П. С. Александров,
И. М. Гельфанд
и
А. Д. Мышкис.
Они
сделали ряд очень ценных замечаний, которые я использовал
при окончательном редактировании и за которые их горячо
благодарю.

28 мая 1947 г.
И. Петровский

Предисловие ко второму изданию

При подготовке этого издания я использовал те замечания
к первому изданию, которые были сделаны И. М. Гельфандом,
С. Н. Крачковским,
С. Г. Михлиным,
А. Д. Мышкисом
и
О. А. Олейник.
Особенно
большую
помощь
оказала
мне
О. А. Олейник. Всех этих товарищей я горячо благодарю.

14 февраля 1951 г.
И. Петровский

Предисловие редактора

Теория линейных интегральных уравнений возникла в начале XX века в связи с изучением задач математической физики. В настоящее время она представляет собой важный раздел современной математики, имеющий широкие приложения
в теории дифференциальных уравнений, классической и современной математической физике, в задачах естествознания
и техники. Поэтому владение методами теории интегральных
уравнений необходимо не только математику, но и механику,
физику, инженеру-исследователю.
Настоящая книга является четвертым изданием учебника «Лекции по теории интегральных уравнений», написанного выдающимся советским математиком И. Г. Петровским
в 1947 г. на основе курса лекций, которые он читал в 1946 г.
на механико-математическом факультете Московского государственного университета. В соответствии с учебными планами МГУ того времени теория линейных интегральных уравнений входила в курс уравнений математической физики. Такое положение сохранилось до сих пор во многих университетах и вузах нашей страны. Это нашло отражение в ряде учебников по курсу уравнений математической физики (см., например, Соболев С. Л. Уравнения математической физики. —
4-е изд. — М.: Наука, 1966; Владимиров В. С. Уравнения
математической физики. — 4-е изд. — М.: Наука, 1981; Михлин С. Г. Курс математической физики. — М.: Наука, 1968),
где отдельные главы посвящены изложению теории линейных
интегральных уравнений. В конце сороковых годов в учебный
план механико-математического факультета МГУ по инициативе А. Н. Колмогорова был включен курс «Анализ III», который объединил теорию функций действительного переменного, вариационное исчисление и линейные интегральные уравнения. В этом курсе обычно теория линейных интегральных
уравнений излагается с общих позиций операторных уравнений и теории компактных операторов. Такое положение определяется бурным развитием функционального анализа, про

Предисловие редактора
11

никновением его идей и методов в другие области математики
и, особенно, в теорию интегральных уравнений и уравнений с частными производными и соответствует историческому пути развития теории линейных интегральных уравнений.
Начало этой теории было положено знаменитыми работами
И. Фредгольма «Sur une nouvelle m´ethode pour la r´esolution
du probl´eme de Dirichlet» (Kong. Vetenskaps–Academiens F¨orh.
Stockholm. — 1900. — S. 39–46) и «Sur une classe d’equations
fonctionnelles» (Acta Math. — 1903. — V. 27. — P. 365–390).
В этих работах была построена теория линейных интегральных уравнений Фредгольма второго рода и с помощью
этой теории впервые было получено решение краевых задач
Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа. Эту теорию
можно рассматривать как широкое обобщение теории линейных алгебраических систем, так как линейные интегральные
уравнения Фредгольма второго рода обладают свойствами,
близкими свойствам таких систем. Фредгольм исходил из
идеи аппроксимации интеграла, входящего в интегральное
уравнение, конечными интегральными суммами. Им получены
решения интегральных уравнений с помощью так называемых
определителей Фредгольма, доказаны теоремы об альтернативе Фредгольма. Эта красивая, хотя и несколько громоздкая, теория излагалась позднее в ряде учебных руководств
(см., например, Гурса Э. Курс математического анализа. Т. III.
Ч. II. — М.–Л.: ГТТИ, 1934; Привалов И. И. Интегральные
уравнения. — М.: ОГИЗ, 1935; Ловитт У. В. Линейные интегральные уравнения. — М.–Л.: ГТТИ, 1933; Трикоми Ф. Интегральные уравнения. — М.: ИЛ, 1960; Михлин С. Г. Лекции
по линейным интегральным уравнениям. — М.: Физматгиз,
1959).
В 1907–1908 гг. Э. Шмидтом был предложен новый подход к построению теории линейных интегральных уравнений
Фредгольма второго рода. Этот подход основан на представлении ядра интегрального оператора в виде суммы вырожденного ядра и ядра, малого по некоторой норме. Он позволяет
значительно упростить вывод основных теорем Фредгольма.
Идея Э. Шмидта используется в главе 1 настоящей книги при
изложении теории Фредгольма.
В 1917 г. Ф. Рисс исследовал класс функциональных уравнений очень общей природы и установил для них теоремы
Фредгольма, основываясь лишь на понятии вполне непре

Предисловие редактора

рывного оператора (см. Рисс Ф. О линейных функциональных уравнениях // Успехи математических наук. — 1935. —
Вып. 1. — С. 175–199). Эти исследования были продолжены
Ю. Шаудером и другими математиками. В настоящее время
абстрактная теория функциональных уравнений, построенная
Ф. Риссом, получила широкие обобщения, в частности для
операторов в банаховых и локально-выпуклых пространствах
(см. Робертсон А. П., Робертсон В. Дж. Топологические векторные пространства. — М.: Мир, 1967). Теория Ф. Рисса
включает значительную часть фредгольмовской теории интегральных уравнений. Изложение основ теории Рисса можно найти, например, в следующих учебных руководствах:
Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному
анализу. — М.: Мир, 1979; Колмогоров А. Н., Фомин С. В.
Элементы теории функций и функционального анализа. —
М.: Наука, 1972; — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004; Мизохата С.
Теория уравнений с частными производными. — М.: Мир,
1977; и других. Теория линейных интегральных уравнений
Фредгольма излагается в той или иной мере почти во всех
современных учебниках по функциональному анализу как
приложение теории компактных операторов на основе идеи
Ф. Рисса.
В начале нашего века трудами Д. Гильберта и Э. Шмидта
была
создана
теория
линейных
интегральных
уравнений
Фредгольма
с
симметрическим
ядром.
Дальнейшее
развитие
этой
теории
связано с
работами
Т. Карлемана,
Ф. Рисса, Дж. Неймана и других. Этой теории посвящена
глава 3 настоящей книги. Теория интегральных операторов
с
симметрическим
ядром
имеет
исключительно
важные
приложения
в
теоретической физике
и
других
разделах
естествознания. Большую роль в ее развитии сыграли монография Д. Гильберта «Grundz¨uge einer allgemeinen Theorie
der linearen Integralgleichungen» (Leipzig, 1912), а также
книга Р. Куранта и Д. Гильберта «Методы математической
физики», Т. 1 (М.–Л.: Гостехиздат, 1951). Эта теория также
нашла обобщения для операторных уравнений и составляет
одну
из
основных
глав
современного
функционального
анализа
—
теорию
симметрических вполне
непрерывных
операторов
в
гильбертовом
пространстве.
Ее
изложение
содержится
в
учебниках
по
функциональному
анализу
и
включает
основные
результаты
теории
интегральных

Предисловие редактора
13

операторов
Гильберта–Шмидта
(см.,
например,
Рисс
Ф.,
Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. —
М.: Мир, 1979; Рид М., Саймон Б. Методы современной
математической физики. I. Функциональный анализ. — М.:
Мир, 1977; Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный
анализ. — М.: Наука, 1977; и другие).
Настоящая книга И. Г. Петровского была одним из первых учебников, где теория линейных интегральных уравнений Фредгольма излагалась на основе идеи Э. Шмидта. Такое изложение придает теории доступность, простоту и изящество. Основная часть книги не использует теорию интеграла Лебега. Она доступна не только математикам, но и
широким кругам физиков и инженеров; чтение книги требует лишь знания основ классического математического анализа. В дополнении к основному тексту книги указаны те
изменения, которые необходимо учесть, если в интегральных
уравнениях заменить интеграл Римана на интеграл Лебега.
Большой ясности изложения способствует проведение в книге аналогий с теорией линейных алгебраических систем и
геометрией квадратичных форм в евклидовом пространстве.
Изложение теории Гильберта–Шмидта в главе 3 отличается
наглядностью и простотой. Книга содержит также главу 2 об
интегральных уравнениях Вольтерра. Более подробно с уравнениями Вольтерра можно познакомиться по упоминавшейся
выше книге Ф. Трикоми. В настоящей книге не излагается
теория сингулярных интегральных уравнений, так как она не
включается в учебные программы университетов. Основы этой
теории были заложены в работах Д. Гильберта, А. Пуанкаре,
Т. Карлемана, Ф. Нётера. Она получила дальнейшее развитие в работах Н. И. Мусхелишвили и грузинской математической школы, а также в работах С. Г. Михлина, А. Кальдерона,
А. Зигмунда и других математиков. Эта теория имеет очень
важные приложения в физике и технике. Многие приложения
интегральных уравнений Фредгольма, а также сингулярных
интегральных уравнений, можно найти в книге С. Г. Михлина
«Интегральные уравнения» (М.: ОГИЗ, 1949). Основные руководства по теории сингулярных интегральных уравнений
указаны в настоящей книге в конце главы 1.
Отметим, что теория линейных интегральных уравнений,
начиная с момента ее зарождения, играла исключительно важную роль в исследовании краевых задач для уравнений с част

Предисловие редактора

ными производными и систем. Сведение краевой задачи к решению линейного интегрального уравнения с помощью потенциалов, построенных на основе фундаментальных решений
или параметриксов, являлось до последнего времени одним
из основных методов исследования краевых задач в теории
уравнений с частными производными. Этот метод, ведущий
свое начало от работ И. Фредгольма и К. Неймана, сохранил
свое значение и в настоящее время, несмотря на широкое
и плодотворное применение в современных исследованиях по
уравнениям с частными производными новых идей и методов.
Важным этапом в развитии теории интегральных уравнений
явилось создание в 60-е годы теории псевдодифференциальных операторов, объединившей в себе теорию широких классов интегральных и дифференциальных операторов и способствовавшей решению ряда важных проблем теории уравнений
с частными производными. С теорией псевдодифференциальных операторов и их применением, а также более общей теорией интегральных операторов Фурье можно познакомиться
по книгам: сб.: Псевдодифференциальные операторы. — М.:
Мир, 1967; Олейник О. А., Радкевич Е. В. Уравнения второго
порядка с неотрицательной характеристической формой. —
М.: ВИНИТИ, Итоги науки, 1971; Шубин М. А. Псевдодифференциальные операторы и спектральная теория. — М.: Наука,
1978; Taylor M. Pseudo-differential operators // Lect. Notes
Math. — Berlin, 1974. — V. 416; Трев Ф. Введение в теорию
псевдодифференциальных операторов и интегральных операторов Фурье. — М.: Мир, 1984.
Таким образом, содержание книги И. Г. Петровского «Лекции по теории интегральных уравнений» тесно связано с современными проблемами математики и ее приложений, является необходимым элементом математического образования
математика, физика, инженера и составляет основу важных
современных методов исследования. Знакомство с ней послужит надежным фундаментом для дальнейшего изучения
теории интегральных уравнений.
В новое издание внесены лишь редакционные поправки.
Некоторые из них предложены А. Д. Мышкисом.

Июнь 1983 г.
О. А. Олейник

Г л а в а 1

ВВЕДЕНИЕ. ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМА

§ 1. Определения. Примеры

Интегральными
уравнениями
принято
называть
такие
уравнения,
которые
содержат
искомую
функцию
под
знаком интеграла. В частности, интегральным уравнением
относительно функции ϕ(ξ) является следующее уравнение:

a(x) ϕ(x) + f(x) =

ba
K(x, ξ) ϕ(ξ) dξ,
(1.1)

где a(x), f(x), K(x, ξ) — известные функции, а ϕ(ξ) — неизвестная функция; переменная x принимает, так же как и ξ,
все значения из интервала (a, b).
Мы в этой книге будем рассматривать только уравнения,
в которые неизвестная функция входит линейно, т. е. только
уравнения вида (1.1). Они называются линейными интегральными уравнениями. Если a(x) не обращается в нуль, то, разделив обе части уравнения (1.1) на a(x), получим уравнение
вида

ϕ(x) =

ba
K(x, ξ) ϕ(ξ) dξ + f(x).
(1.2)

Такие уравнения называются линейными интегральными
уравнениями 2-го рода, или интегральными уравнениями
Фредгольма, по имени математика, который их впервые исследовал. Если f(x) ≡ 0, то уравнение (1.2) называется однородным.
Если a(x) ≡ 0, то уравнение (1.1) обращается в уравнение

ba
K(x, ξ) ϕ(ξ) dξ = f(x),

Гл. 1. Введение. Теоремы Фредгольма

которое называется линейным интегральным уравнением 1-го
рода.
Функция K(x, ξ) называется ядром интегрального уравнения.
Можно рассматривать интегральные уравнения, где неизвестные функции зависят не от одного аргумента, а от многих.
Таким является, например, уравнение

ϕ(x, y) =
G
K(x, y; ξ, η) ϕ(ξ, η) dξ dη + f(x, y)

относительно неизвестной функции ϕ(ξ, η), где интегрирование распространяется по некоторой области G на плоскости
(ξ, η). Точка (x, y) также принадлежит этой области. Такое
уравнение можно записать в виде

ϕ(P) =
G
K(P, Q) ϕ(Q) dQ + f(P),

где P ∈ G и Q ∈ G 1).
Можно рассматривать системы интегральных уравнений
со многими неизвестными функциями.

З а м е ч а н и е. Всюду в дальнейшем, кроме § 20, если даже
это не оговорено особо, мы будем предполагать, что рассматриваемые функции точек P или Q определены в конечной
d-мерной области G, что они непрерывны в этой области всюду, за исключением, быть может, некоторого конечного числа
точек, достаточно гладких линий и поверхностей, до (d − 1)-го
измерения включительно. На этих особых точках, линиях и
поверхностях функции могут быть не определены. Границу
области G мы будем считать состоящей из конечного числа
кусков гладких (d − 1)-мерных поверхностей или конечного
числа гладких дуг, если d = 2.
Интегрирование всюду в дальнейшем, кроме § 20, мы будем понимать в обычном смысле, если функции непрерывны
в G; если эти функции имеют на некоторых точках, линиях
или поверхностях разрывы, то интегралы рассматриваются
как несобственные; все рассматриваемые функции будем считать абсолютно интегрируемыми.

1) Запись A ∈ M означает, что точка A принадлежит множеству M.