Актуальные направления научных исследований XXI века: теория и практика, 2015, № 8 (19-4)
Бесплатно
Основная коллекция
Тематика:
Наука. Науковедение
Издательство:
Воронежский государственный лесотехнический университет
Год издания: 2015
Кол-во страниц: 497
Дополнительно
Тематика:
ББК:
УДК:
ГРНТИ:
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
DOI 10.12737/issn.2308-8877 ISSN 2308-8877 АКТУАЛЬНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ XXI ВЕКА: ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА Сборник научных трудов по материалам международной заочной научно практической конференции 2015 г. № 8 часть 4 (19-4) (Volume 3, issue 8, part 4) Учредитель – Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Воронежский государственный лесотехнический университет имени Г.Ф. Морозова» (ВГЛТУ) Главный редактор В.М. Бугаков Заместитель главного редактора И.М. Бартенев Члены редакционной коллегии Д.Н. Афоничев Т.Л. Безрукова М.В. Драпалюк В.К. Зольников Н.Н. Матвеев С.М. Матвеев В.С. Петровский А.Д. Платонов А.И. Сиволапов А.В. Скрыпников С.И. Сушков О.В. Трегубов Н.А. Харченко М.П. Чернышов Ответственный секретарь И.И. Шанин Компьютерная верстка Л.А. Уточкина Сборник зарегистрирован Федеральной службой по надзору в сфере связи, информационных технологий и массовых коммуникаций. Свидетельство о регистрации ПИ № ФС77-54416 от 10.06.2013 г. Материалы настоящего сборника могут быть воспроизведены только с письменного разрешения редакционной коллегии Сборник включен в Российский индекс научного цитирования (РИНЦ). Сборник реферируется в ВИНИТИ РАН. Включен в «Ulrich's Periodicals directory». ФГБОУ ВО «ВГЛТУ» 394087, г. Воронеж,ул. Тимирязева, 8, телефон (473) 253-72-51, факс (473) 253-76-51, e-mail: conf_vglta@mail.ru www.conf.vglta.vrn.ru © ФГБОУ ВО «ВГЛТУ», 2015
МОЛОДЁЖНЫЙ ФОРУМ: ТЕХНИЧЕСКИЕ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ YOUTH FORUM: TECHNICAL AND MATHEMATICAL SCIENCE 9-12 НОЯБРЯ 2015 ГОДА, ВОРОНЕЖ November 9-12, 2015, Voronezh Международная научно-практическая конференция «Молодёжный форум: технические и математические науки» проведена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 15-37-10426) 9-12 ноября 2015 года. В настоящий сборник включены материалы Международной научно-практической конференции «Молодёжный форум: технические и математические науки», посвященной освещению вопросов анализа состояния и перспектив развития научно-исследовательской работы студентов, аспирантов, молодых ученых и молодежного инновационного предпринимательства; поиску решений по актуальным проблемам развития современной техники и технологий; обмену научными результатами и исследовательским опытом. Сборник может быть использован преподавателями, аспирантами, магистрантами и студентами при изучении различных дисциплин.
К 85-ЛЕТИЮ ВОРОНЕЖСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ЛЕСОТЕХНИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА К 65-ЛЕТИЮ КАФЕДРЫ МАТЕМАТИКИ СЕКЦИЯ «ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ» Koroleva O.A. A new proof of the Steinhaus theorem by contour integration method 3514 Аблабеков Б.С., Курманбаева А.К. Решения задачи Коши для уравнения движения грунтовых вод со свободной поверхностью 17 Абруков Д.А. Изгиб полуполосы со свободными продольными краями, на торце которой задана обобщённая поперечная сила 21 Агранович Ю.Я., Логинов Ф.Г. Эффективное вычисление приближенных значений эллиптических интегралов, основанное на свойствах многоугольных чисел 24 Алейдаров М.С. Разрешимость ФДУ второго порядка с переменными коэффициентами в пространствах со степенным весом 30 Алиев Н.А., Ахмедов Р.Г. О способах получения необходимых условий 34 Андреева Е.А., Шаповалова И.А, Суворов В.И. Моделирование иммунной системы с помощью нейронных сетей 38 Ахмедов С.З., Аббасова А.Х. Теорема разложения одной спектральной задачи для уравнения с разрывными коэффициентами с нелокальными граничными условиями 42 Ахметова А.А. Про псевдоевклидово пространство 44 Балабан О.Р., Гнилицкая Ю.А. Математическая модель течения вязких многофазных сред в сетеподобных объектах 48
Бесланеев З.О., Кодзоков А.Х. Краевая задача со смещением для уравнения третьего порядка 52 Бжеумихова О.И. Вторая краевая задача для уравнения в частных производных с запаздывающим аргументом 55 Буданов К.М. Инфинитезимальные аффинные преобразования расслоения Вейля второго порядка со связностью полного лифта над проективно-евклидовым пространством 57 Веневитина С.С., Уточкина Е.О., Шулекин Е.П. О решении дифференциального уравнения колебаний 61 Веневитина С.С., Фурменко А.И., Ющенко А.В. Краевая задача теории малых деформаций несжимаемой упругой среды 66 Волкова А. С. Расчет частот поперечных колебаний консольной балки с упругой опорой на втором конце 69 Гармашов А.А., Кулманакова М.М. Задача Коши для дифференциальных включений с бесконечным запаздыванием 73 Гуленко И.И. Корректная разрешимость задачи трансмиссии балки Кирхгофа с памятью 76 Гусейнова С.Я. Необходимое условия оптимальности особых управлений в системах с запаздыванием 80 Гучаева З.Х., Кодзоков А.Х., Бесланеев З.О. Краевая задача для уравнения смешанного эллиптико - гиперболического типа в прямоугольной области 83 Жамуратов К., Умаров Х.Р. Численное и автомодельное решения задачи о динамике грунтовых вод при наличии нелинейного испарения 86 Живенкова А.А., Дмитриев О.С. Метод определения теплофизических свойств на основе решения интегро-функционального уравнения 89 Жукова М.В. К задачам о сжатиях в метрических пространствах 93
Зайнуллов А.Р. Критерий единственности решения обратной задачи для двумерного уравнения теплопроводности по отысканию начального распределения 96 Зюкин П.Н., Сапронов И.В., Квитко К.С. Об условиях сходимости решений задачи Коши для дифференциального уравнения с параметром 98 Кабанова Н.В. Метод Эйлера и его реализация в Pascal 101 Клещина О.И. Об оценках Важевского 105 Кодзоков А.Х, Бесланеев З.О. Доказательство единственности решения краевой задачи для уравнения параболо-гиперболического типа 107 Колпаков И.Ю., Алехнович Е.К. О задаче Коши для дифференциального уравнения первого порядка, не разрешенного относительно производной 111 Копылов В.И., Никонова Е.Н. Дифференциальные уравнения в частных производных для композиций тригонометрических функций в комплексной области 114 Корнев С.В., Обуховский В.В. О негладких интегральных направляющих функциях в задаче о существовании периодических решений некоторых классов функционально-дифференциальных включений 118 Косач К.Г. Параметрическая идентификация дифференциального уравнения, описывающего динамику выпуска валового регионального продукта 121 Котов П.А. Об устойчивости линейной системы представимой безрезонансным конечномерным уравнением разрешенным относительно производных 125 Котов П.А. Основы вещественных дифференциальных уравнений и вопросы численных методов и методов фундаментальных исследований 127 Кузнецов В.В. Метод стрельбы решения краевой задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка 129
Куликова М.Х., Товсултанов А.А. О некоторых краевых задачах для сингулярных дифференциальных уравнений третьего порядка 133 Курман К.В. Задача на собственные значения для обыкновенного дифференциального оператора второго порядка с разрывным коэффициентом 135 Ловейкин В.С., Човнюк Ю.В., Ляшко А.П. Анализ вынужденных колебаний статически несбалансированного молотильного барабана зерноуборочного комбайна 138 Лунева Е.А. К задачам о топологии множеств в пространстве С[a,b] 150 Макарова А.В. Конструкции с симметрическими матрицами для стохастических дифференциальных включений с текущими скоростями 152 Малащенко В.С. Об аналитическом моделировании солитонных решений уравнения Кортевега – де Фриза, содержащего степенную нелинейность и особенность в виде закона удвоенной степени нелинейности 155 Мамбетов М.Ж. Нестационарные задачи сферически-симметричной гипотермии биоткани 159 Мамедова Л.И. Полиномиальное представлений двоичных многомерных модулярных динамических систем 163 Марголина Н. Л., Матыцина Т. Н., Ширяев К.Е. О некоторых аспектах теории показателей линейных систем 167 Мартиросян А.Н., Давтян А.В., Динунц А.С., Мартиросян Г.А. Решение пространственной задачи о залечивании геофизической трещины при наличии потока жидкости 171 Мартон М.В. Прикладная проблема устойчивости существенного спектра Апостола при некоторых возмущениях 175 Мещеряков В.В. Собственные функции операторов Дункла – Дарбу 179 Наржигитов Х. Задача поиска на графах при наличии ограниченной информации об искомой точке 182
Новикова О.В. Актуальность солитонных исследований 186 Новицкая Е.А. Обзор основных методов решения краевых задач термоупругости 190 Нугаева И.Г. О кратности собственных значений невозмущенного оператора и локализации спектра финитного возмущения одной краевой задачи в полосе 194 Нургалиева Ю.Ф. Единственность решения нелокальной граничной задачи для вырождающегося уравнения эллиптического типа 197 Орешина М.Н., Пчельникова Ю.С. О решении дифференциального уравнения второго порядка с нулевым коэффициентом при первой производной 201 Осипов Е.Н., Шацкий В.П., Спирина Н.Г. О реализации математической модели тепломассообмена в косвенно-рекуперативных водоиспарительных охладителях 205 Павленко В.А. Вывод формулы Лефшеца 209 Папкова А.С. Аналитическое решение задачи распространения звука для волновода Пекериса с неоднородным профилем скорости звука 213 Паршин М.И. Априорные оценки решенийодной начально-граничной задачи динамики термовязкоупругой среды 217 Перов А.И., Коструб И.Д. Логарифмическая норма для линейных неограниченных операторов 219 Петросян Г.Г. О непрерывной зависимости множества решений дифференциального включения дробного порядка от параметра и начального условия 223 Полежаева Н.М. Методы решения систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами 225 Попов М.А., Степанов Н.Н. Математическое моделирование тепломассообмена применительно к процессу сушки железорудного концентрата в горнорудной промышленности 228
Проконина Е.В. Итерационные методы реализации разностных схем для трехмерных эллиптических задач со смешанными производными 233 Решетников Д.А., Холькин А.М. Спектральные свойства дифференциальных операторов с блочно-треугольными операторными коэффициентами 237 Русинова А.В. К задачам о сходимости последовательностей в метрических пространствах 241 Сабитова Ю.К. Задача Дирихле для телеграфного уравнения 242 Савка И.Я., Гой Т.П. О нелокальной краевой задаче для гиперболического оператора, распадающегося на волновые множители 246 Сапронов И.В., Зенина В.В., Плюхина Н.А. Об интегральном уравнении с ядром специального вида 250 Сапронов И.В., Зюкин П.Н., Квитко К.С. Интегральное уравнение Вольтерра с вырождающимся ядром 252 Сапронов И.В., Фурменко А.И., Уточкина Е.О., Веневитина С.С. Селим Григорьевич Крейн (Памяти великого ученого и педагога) 254 Семыкина Н.А. Решение задачи управляемости для системы дифференциальных уравнений, моделирующей процесс защиты сети от вирусов 258 Ситников И.В., Саломатова Е.С., Трушников Д.Н., Беленький В.Я. Моделирование процессов испарения при электронно-лучевой сварке с осцилляцией электронного луча 262 Солдатов А.П., Тарасова О.А. Аналог формулы Келдыша-Седова для системы Ламе в изотропном случае 266 Солдатов А.П., Чернова О.В. О пространстве Гельдера на сфере Римана 270 Спирина Н.М., Веневитина С.С., Чурсина О.В. Смешанная задача для плоскости в особом случае 275
Спирина Н.М., Раецкая Е.В., Тимохина В.В. Оценка максимума модуля обобщенного решения квазилинейной задачи Неймана 276 Столярова А.С. Исследование зависимости собственных частот термоупругой области от коэффициента температурного расширения и модуля сдвига 278 Тагиев Р.К., Гашимов С.А., Габибов В.М. Об одной задаче оптимального управления для параболического уравнения с интегральным граничным условием 282 Тимошевская О.Ю. Методы исследования нелинейных систем с плохой сходимостью 284 Тишина Е.В. Математическая модель оптимальной рекламной деятельности 287 Тютеев И.И. О сосуществовании циклов для разностных уравнений со случайными параметрами 291 Убиенных Г.Ф., Убиенных А.Г. Численное решение нелинейных краевых задач математической физики методом РБФ – коллокации 295 Убиенных Г.Ф., Убиенных А.Г., Жеребцов Н.А. Моделирование ценообразования опционов на основе аппроксимации решения уравнения Блэка-Шоулза 299 Умаров Х.Р., Жамуратов К. Решение задачи о притоке к математическому совершенному горизонтальному дренажу 303 Филимоненкова Н.В., Бакусов П. А. Роль конусов Гординга в теории полностью нелинейных уравнений 308 Фурменко А.И., Веневитина С.С., Курбанов А.Б. Некоторые примеры алгебр Ли дифференциальных операторов первого порядка 312 Хазова Ю.А. Стационарные структуры в параболической задаче с отражением пространственной переменной 314 Харченко А.П., Поклонский Е.В., Немцева А.В. Описание множества статистических решений системы уравнений магнитной гидродинамики 318
Храмова Н.В., Семенова И.А. Аналитическое решение нечетно симметричной краевой задачи теории упругости для прямоугольника 322 Царева М.О. О существовании решений задачи трансмиссии балки Тимошенко 325 Цымбалова О.В. Разрешение задач о непрерывности операторов в функциональных пространствах 329 Черникова А. С. О стационарном распределении тепла в двух связных областях с межфазной трещиной 331 Чернышенко А.С., Бердник К.А. О существовании решений стохастических дифференциальных включений с текущими скоростями для однозначной текущей и многозначной осмотической скоростей с дополнительными условиями 335 Шериев М.Г., Лесев В.Н. Локальная краевая задача для параболического уравнения с переменными коэффициентами 339 Щербакова К.В. О непрерывности операторов в банаховых пространствах 343 Эркебаев У.З. Асимптотика решения задачи Дирихле с двойной особенностью 344 СЕКЦИЯ «ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ТЕХНИЧЕСКИХ И МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУК» Irina Grinev Teaching for success 349 Maria Levshin Teaching linear relations 352 Абдрашитова Д.И., Дорофеев А.В. Интерактивное пособие «олимпиадная математика: комбинаторика» в организации самостоятельной работы школьников 358
Абдреева Г.Г. Матричные многообразия в курсе математики педагогического вуза 362 Абрамова Е.В. Деловая игра на уроках математики в 5-6 классах 366 Алыкова О.М., Смирнов В.В. Использование метода проектов для подготовки конкурентоспособных специалистов 370 Андреева Н. В., Празина Е. А. Использование измеренных зенитных расстояний солнца для приближенного определения широты 375 Андреева Н.В., Угольникова А.А. Демонстрация дифракции света в школьном курсе физики 378 Анисимова И.И. Преимущества математической викторины как метода обучения школьников 381 Анисимова И.И. Роль занимательных задач в развитии мотивации к изучению математики в школе 385 Астахова Л.В. Ситуационный подход к управлению информационной безопасностью в образовании 388 Атнагулов А.И., Павленко В.А. О технологиях и их влиянии на роль преподавателя в современном образовании 391 Афанасьева У.В., Шеремет Г.Г. Методы построения эллипса с помощью живой геометрии 395 Баширова А.Р. Обучение методу моделирования при решении сюжетных задач в школьном курсе математики 399 Башкин М.А. Активизация познавательной деятельности студентов на основе использования информационных технологий при проведении лекционных занятий по дискретной математике в техническом вузе 403 Бедняк С.Г., Курбатова Л.Г. Формирование управленческой и информационной культуры бакалавра-инженера 406 Беженцева Т.Г., Уфукова О.Ю., Трефилина Е.Р. Применение различных образовательных технологий как средство оптимизазии процесса обучения 410
Белоус П.А. Принцип Дирихле как метод решения школьных олимпиадных задач по математике 414 Бобонова Е.Н. Роль электронных учебных пособий в изучении математики студентами гуманитарных специальностей 417 Боваев О.Д., Бадмаев Л.Н. Традиции трудового обучения в современной школе 421 Богатырева Ж.И., Серебрянский А.И., Смирнов Д.Н., Мамедов Э.Т. Пример применения интерактивных методов обучения при изучении дисциплины «Метрология, стандартизация и сертификация» 425 Борбат В.Н., Батан С.Н. О спецкурсах по теории чисел 429 Бурова Е.А. Использование эмулятора операционной системы MSDOS «DOSBox» для организации лабораторных работ по системному программированию 431 Бурцева Ю.А. Роль математики в системе СПО 435 Варфоломеев Н.Ю. Программисты пишут не только код 437 Васаженко Н.А. Реализация межпредметных связей в процессе формирование профессиональной компетентности специалистов экономического направления 442 Великова Т.Г. Разработка интерактивных упражнений по информатике с использованием приложения Web 2.0 - Learningapps.org 446 Вишневецкий А.Л. Вывод формулы для определителя Вандермонда 450 Гаевская В.А., Лысянская А.В., Дытюк А.Е. Структура изложения теоретического материала при изучении цикла естественных дисциплин 451 Гаимназаров О.Г. Развитие профессиональной компетентности учащихся колледжа на прикладных задачах по математике 455 Гиматдинова Г.Н. Типичные ошибки при решении логарифмических и показательных неравенств 458 Григорьев И.В., Григорьева О.И. Современные проблемы подготовки кадров высшей квалификации для лесного комплекса России 463
Гринько Е.П. О некоторых аспектах подготовки к научно исследовательской деятельности магистрантов 467 Гришаев М.Е., Рыжков Д.А. Применение методов активного обучения в процессе подготовки специалистов-метрологов 471 Гулиева Т.Ф. Применение процентных задач современного школьного курса математики в повседневной жизни 474 Гуляева В.В. Изучение геометрии с помощью оригами 476 Гурьянова В.С., Кузина Т.А. Формирование умений учащихся на элективных курсах по физике 480 Далингер В.А. Интерактивная динамичная геометрия с «Математическим конструктором» 484 Дегтярева Е.А. Роль робототехники в изучении алгоритмизации и программирования 489 Дегтярёва Ю.Г., Иванчук Н.В. Некоторые аспекты обучения учащихся решению текстовых задач методом подобия 492
СЕКЦИЯ «ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ» УДК 517.984 A NEW PROOF OF THE STEINHAUS THEOREM BY CONTOUR INTEGRATION METHOD Koroleva O.A. DOI: 10.12737/15244 Annotation. The new Steinhaus theorem proof by the contour integration method of the resolvent of the differentiation operator is given in this article. Keywords: Steinhaus theorem, Fourier series, differential operator. Let Sn(f,x ) be a partial sum of the Fourier series of f (x) trigonometric where ak= (f ( ξ),e2kπiξ)=∫ 0 1 f ( ξ)e− 2kπiξdξ. The following equiconvergence Steinhaus theorem is well know [1]. Theorem 1. If a complex function a(x) satisfies the condition: a(x) = a(1+x), |a(x) − a(t)| ≤ M |x − t|, x, t (−∞, ∞), then for any f (x) L[0, 1] (1) We give a new proof of this theorem by the contour integration method of the resolvent Rλ= (L− λE)−1 of differentiation operator L: Ly = y’ , y(0) = y (1) (where λ is the spectral parameter and E is the unit operator).This proof is based on the formula: (2) where rn=n+1/2 . More precisely, we show that it holds. Theorem 2. If f (x) L[0, 1], a(0) = a (1), |a(x) − a(t)| ≤ M |x − t|, x, t [0, 1],
that (3) where Sn(f,x ) is defined the formula (2). Easy to see, that he theorem 1 follows from the theorem 2. Indeed, if periodic (x) a~ with the period 1 denotes the function a(x) extension from the theorem 2, then (x) a~ satisfies the conditions of the theorem 1 and then the formula (3) turns into the formula (1) because of the periodicity of ), ( x f Sn . Lemma 1. It holds the formula: (4) where ∆(λ) =1λx e . This formula easily follows from the arbitrary differential operator definition [2]. Though, the (4) validity is obtained by a simple test. Lemma 2. Let Ωr (f, x) be a function where x [0, 1] and r = n + 1/2 . Then we have the estimation: (5) Proof (x) a~ denotes the function equal to a(x) at x [0, 1] and ̃a( x)= ̃a(1+x) . Let Re λ ≥ 0. Then |∆(λ)| ≥ c| eλ | (the same c denotes various constants utilizing in estimations). We have:
Let
3π
2 ≤ arg λ≤ 2π and ∫
′ means
r
=
λ
at
3π
2 ≤ arg λ≤ 2π . Then
=
x)rd
(t
e
dt
f(t)
=
dλ
dt
f(t)
x
t
e
x
x)r
(t
x
x)
λ(t
r
=
λ
1
2π
2
/
3π
cos
1
′
2
/
0
sin
1
π
θ
x)r
(t
x
x)rdθ
(t
e
dt
f(t)
But sin θ ≥( 2/π) θ. Therefore
∫
0
π /2
e− (t− x)r sin θ(t− x)rdθ≤ ∫
0
π /2
e− (t− x)r (2/ π )θ(t− x)rdθ=
∫
0
( π/2 )r(t− x )
e− 2/πτ dτ≤ c
Thereby
Therefore, it is now easy to see that the integral has the same estimation
arg λ [0, π/2 ]. Thus we have the estimation (5), when
к
=
λ
is replaced by
0
Re
,
λ
r
=
λ
. The case when Re λ ≤ 0 is considered by analogy. The proof is complete.
Proof of the theorem 2:
Let f (x )=e2kπix . Then Sn(f,x )=f ( x) with n ≥ k and Sn(f,x )= 0 with n < k. Then, when
r > k
Ωr(f,x )=a(x )f ( x)− Sn(af,x) . But a(x)f (x) can be expanded in a uniformly
convergent series in the system { e2nπix }. Therefore (3) holds for such functions f (x).
Let f 0( x) be any linear combination of system { e2nπix }. Then according to lemma
(2)
(6)
where ||·|| is
]
C[ 0,1
. Since the set { f 0 } is everywhere dense in L[0, 1], we obtain
the theorem statement from (6).
The theorem is proved.
References
1. Бари Н. К. Тригонометрические ряды.// Физматгиз М., 1961. 111 с.
2. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. // Наука М.,
1969. 459 с.
Koroleva Ol'ga Arturovna, senior lecturer, department of computer algebra
and number theory, Saratov State University, Saratov, Russia
УДК 517.946+517.95
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
ГРУНТОВЫХ ВОД СО СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ
Аблабеков Б.С., Курманбаева А.К.
DOI: 10.12737/15693
Аннотация. Рассматривается задача Коши для линейного дифференци
ального уравнения в частных производных, моделирующего эволюцию
свободной поверхности фильтрующейся жидкости.
Ключевые слова: свободная поверхность фильтрующейся жидкости,
Задача Коши, фундаментальное решение.
Постановка задачи. Требуется найти непрерывное решение
)
,
(
t
x
u
в
прямоугольной
области
]}
,0
(
,
:)
,
{(
T
t
R
x
t
x
Q
удовлетворяющее
уравнению для одномерного движения жидкости плоскими волнами (см.[1])
,0
2
3
4
4
2
2
x
t
u
x
u
x
u
t
u
начальному условию
R
x
x
u
x
u
),
(
)
0,
(
0
,
где
)
(
0 x
u
заданная функция.
1.Фундаментальное решение. Построим фундаментальное решение
)
,
(
t
x
E
оператора
. 2 3 4 4 2 2 x t x x t A По определению ) , ( t x E есть [2] обобщенная функция, удовлетворяющая уравнению ), , ( 2 3 4 4 2 2 t x x t E x E x E t E AE (1) где ) , ( t x - обобщенная функция Дирака. Ограничиваясь пространством S(R2) обобщенных функций медленного роста, для построения ) , ( t x E воспользуемся типичным приемом, применив к (1) преобразование Фурье по переменной x . Обозначим через ) t,x ( E F ) t, ( E x преобразование Фурье функции ) , ( t x E . Тогда относительно ) t, ( Eˆ получим следующее уравнение ), t( t Eˆ Eˆ Eˆ t Eˆ t, Eˆ A 2 4 2 или ). t( 1 1 Eˆ 1 t Eˆ t, Eˆ A 2 2 2 2 Его решением является функция ), t, ( Zˆ 1 ) t( t, Eˆ 2 где t 1 exp ) t, ( Zˆ 2 2 2 удовлетворяет однородному уравнению
0 Zˆ 1 dt Zˆ d 2 2 2 и начальному условию .1 ) 0, ( Zˆ Обратное преобразование дает ), , ( ) ( ) , ( t x Z t t x E где ) (t - функция Хэвисайда, а d e t x Z x i t 2 2 2 1 2 1 ) , ( . (2) 2. Задача Коши. Задача 1. Найти функцию ) , ( t x u , удовлетворяющую в классическом смысле уравнению , ) , ( ), , ( 2 3 4 4 2 2 T Q t x t x f x t u x u x u t u Au (3) начальному условию , ), ( ) 0, ( 0 R x x u x u (4) и принадлежащую при некотором γ классу ). ( ) 1,4 ( T M Q C ЛЕММА 1. Пусть ) , ( t x u является решениям задачи (8), (9). Тогда функция ) , ( ) ( ) , ( t x u t t x v является решением задачи ) ( ) ( ) ( ) , ( ) ( 0 '' 0 t x u x u t x f t Av , (5) .0 ) , ( 0 t t x v (6) ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Используя равенство ) , ( ) ( ) , ( t x u t t x v и свойство δ-функции, находим ) ( ) ( ) , ( ) ( ) , ( ) ( ) , ( ) ( ) , ( 0 x u t t x u t t x u t t x u t t x v t t t ), ( ) ( ) , ( ) ( ), , ( ) ( '' 0 x u t t x u t v t x u t v xxt xxt xx xx ). , ( ) ( t x u t v xxxx xxxx Отсюда получаем
). ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 '' 0 0 '' 0 t x u x u t x f t t x u x u Au t Av Второе из равенств (6) является прямым следствием равенства ) , ( ) ( ) , ( t x u t t x v . Действительно, 0 ) ( 0 0 t t u t v . ТЕОРЕМА 1. Если ) ( ) , ( ), ( ) ( ) 0,0 ( ) 4 ( T M M Q C t x f R C x u при γ<1-T, то существует единственное классическое решение задачи (3), (4), принадлежащее в ) ( )1,4 ( T M Q C . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Построим решение этой задачи, используя фундаментальное решение оператора L. Для этого сначала докажем существование и единственность решения соответствующей обобщенной задачи Коши (5), (6), затем покажем принадлежность обобщенного решения ) ( )1,4 ( T M Q C и воспользуемся леммой из [2]. Теперь заменим задачу (3), (4) на обобщенную задачу Коши (5), (6). Так как , ] [ , 0 1 M u L M f то существует свертка правой части уравнения (6) с фундаментальным решением оператора L и потому обобщенное решение задачи Коши (5), (6) существует в D(R2) и дается [2] по формуле ) ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) , ( ) , ( 0 '' 0 t x u x u t x f t t x E t x v (7) где символ * означает свертку. Вычислив свертку в (7), и, положив ) , ( ) ( t x u t v , приходим к заключению теоремы. Следовательно, обобщенное решение задачи (5), (6) существует, единственно. Отсюда в силу гладкости заданных функций и используя лемму 1, легко доказать, что задача (3)-(4) имеет единственное классическое решение. Список литературы 1. Дзекцер Е.С., Шадрин Г.А. О движении грунтовых вод со свободной поверхностью – Труды производственного и научно исследовательского института по инженерным изысканиям в строительстве Госстроя СССР, 1971, Вып.10, с22-44. 2. Владимиров В.С. Обобщенные функции в математической физике. М.:Наука, 1979.-329 с.
Аблабеков Бактыбай Сапарбекович, доктор физико-математических наук, профессор кафедры «Высшая и прикладная математика» Кыргызского государственного технического университета им. И. Раззакова, г. Бишкек, Кыргызская республика Курманбаева Айнура Кудайбергеновна, студент эколого-экономического факультета Кыргызского государственного технического университета им. И. Раззакова, г. Бишкек, Кыргызская республика УДК 539.3+624.073 ИЗГИБ ПОЛУПОЛОСЫ СО СВОБОДНЫМИ ПРОДОЛЬНЫМИ КРАЯМИ, НА ТОРЦЕ КОТОРОЙ ЗАДАНА ОБОБЩЁННАЯ ПОПЕРЕЧНАЯ СИЛА Абруков Д.А. DOI: 10.12737/15694 Аннотация. В работах [1-3] изучались свойства систем функций Фадля Папковича, возникающих при решении двумерной краевой задачи теории упругости в прямоугольнике (полуполосе) с однородными граничными условиями по двум противоположным сторонам. В данной работе впервые построено точное аналитическое решение краевой задачи изгиба тонкой пластины в форме полуполосы, продольные стороны которой свободны, а на торце задана обобщенная поперечная сила. Оно представляется в рядах по функциям Фадля-Папковича. Искомые коэффициенты рядов находятся с помощью систем функций, биортогональных к функциям Фадля-Папковича. Ключевые слова: изгиб пластины, функции Фадля-Папковича, аналитические решения. Рассмотрим пластину, отнесенную к декартовым координатам ,x y . Элемент пластины с внутренними силовыми факторами, соответствующими классической теории изгиба тонких пластин, показан на Рис. 1.