Теоретическая механика

.. .. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ
МЕХАНИКА

Издание 4-е, переработанное и дополненное

УЧЕБНИК

Москва
КУРС
ИНФРА-М
2014

В.Л. Цывильский

Рекомендовано
Министерством образования и науки РФ
в качестве учебника для студентов 
высших технических учебных заведений

УДК 
531
ББК 
22.21
 
Ц93

Цывильский В.Л.
Теоретическая механика: Учебник / В.Л. Цывильский. — 4-е издание, перераб. и доп. — М.: КУРС : ИНФРА-М, 2014. — 368 с.

ISBN 978-5-905554-48-3 (КУРС, print)
ISBN 978-5-16-009461-8 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-100587-3 (online)

Книга содержит краткое изложение теории и методику решения задач 
основного курса теоретической механики в соответствии с программами 
подготовки бакалавров по техническим направлениям в высших учебных 
заведениях. Рассмотрены основы механики материальной точки и механической системы (разделы «Статика», «Кинематика», «Динамика»). Изложение теории сопровождается пояснениями и примерами. Приводится 
подробное решение типовых задач с рекомендациями методического характера. Упражнения для самостоятельной работы содержат вопросы по 
контролю усвоения курса.
Для студентов вузов очной и заочной форм обучения, а также для самостоятельного изучения основ теоретической механики.

УДК  531
ББК  22.21

Ц93

© КУРС, 2014

ISBN 978-5-905554-48-3 (КУРС, print)
ISBN 978-5-16-009461-8 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-100587-3 (online)

Подписано в печать 20.10.2013. 
Формат 60×90/16. Бумага офсетная. Гарнитура Newton. 
Печать офсетная. Усл. печ. л. 23,0. Уч.-изд. л. 23,0.
Тираж 700 экз. Заказ № 
ТК 255900 — 12873 — 201013
ООО «КУРС»
127273, Москва, ул. Олонецкая, д. 17А, офис 104.
Тел.: (499) 709-16-28.
E-mail: kursizdat@gmail.com

ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М»
127282, Москва, ул. Полярная, д. 31В, стр. 1 
Тел.: (495) 380-05-40, 380-05-43. Факс: (495) 363-92-12
E-mail: books@infra-m.ru     http://www.infra-m.ru

Редактор Рожкова М.А.
Корректор Маркова Л.А.
Компьютерная верстка Михайлова Н.С.

Рецензенты: 
д-р техн. наук, проф. В.В. Андронов; кафедра теоретической
механики Московского института коммунального хозяйства 
и строительства (зав. кафедрой д-р техн. наук, проф. А.Б. Каплун)

ФЗ
№ 436-ф3
Издание не подлежит маркировке
в соответствии с п. 1 ч. 1 ст. 11

ПРЕДИСЛОВИЕ

В книге изложены основы механики материальной точки и механической системы (разделы «Статика», «Кинематика», «Динамика») в соответствии с программами бакалавриата по техническим
направлениям высших учебных заведений.
Учебник предназначен для студентов очной и заочной форм
обучения, а также для тех, кто изучает теоретическую механику самостоятельно. Материал книги изложен так, что им можно пользоваться при обучении по полной и сокращенным программам бакалавриата различных технических направлений.
В настоящем курсе краткое изложение теории сопровождается
примерами решения задач с пояснениями и указаниями методического характера, которые могут служить руководством при выполнении контрольных работ. По всем темам предлагаются упражнения для самостоятельной работы, которые должны способствовать
лучшему усвоению материала.
Изложение курса выполнено с позиций пользователя, для которого важны не математические подробности выводов, а осмысление и возможность использования теоретических результатов для
практического применения. Методика изложения некоторых тем и
последовательность их рассмотрения несколько отличаются от существующих учебников; особенно это касается разделов «Статика»
и «Динамика». Студенты, заинтересованные в углубленном изучении отдельных вопросов механики и более широкой практике по
решению задач, необходимые материалы могут найти в учебной
литературе, список которой дается в конце книги.
На содержании книги сказалось благотворное для автора творческое общение и обсуждение вопросов преподавания курса с профессором С.М. Таргом, замечания и рекомендации которого с глубокой признательностью приняты во внимание. Автор выражает
благодарность профессорам В.В. Андронову и А.Б. Каплуну, взявшим на себя труд по рецензированию рукописи и сделавшим по
ней ряд полезных замечаний и предложений.
Также автор выражает глубокую благодарность профессорам
В.И. Дронгу, П.Г. Русанову и О. Н. Харину.

Автор

ВВЕДЕНИЕ

Наука о механическом движении и взаимодействии материальных тел называется механикой.
Механическим движением называют изменение с течением времени взаимного положения тел в пространстве. Примеры таких явлений встречаются повсюду: движутся небесные тела, вода в реке,
воздушные и морские потоки, различные транспортные средства
(автомобили, корабли, самолеты), механизмы, машины. К тому же
заметим, что состояние покоя, в котором находятся различные
конструкции и сооружения, является частным случаем движения.
При взаимодействии материальных тел друг с другом происходит
изменение движения этих тел или изменение их формы.
Перечень проблем, рассматриваемых в механике, практически
необъятен и с развитием этой науки он непрерывно пополняется,
образовывая подчас самостоятельные области, связанные с изучением механики твердых деформируемых тел, жидкостей и газов.
Традиционные «механики» (небесная, строительная, аэромеханика,
гидромеханика)
дополняются
новыми.
Современная
механика
представляет собой целый комплекс общих и специальных дисциплин, посвященных проектированию и расчету различных конструкций, сооружений, механизмов и машин.
Однако все это многообразие опирается на ряд основных понятий, законов, принципов, методов, общих для всех областей механики. Рассмотрение этих общих закономерностей движений материальных тел и методов их применения для решения практических
задач и составляет предмет теоретической механики.
При изучении какоголибо явления невозможно учесть все
влияющие на него факторы, поэтому необходимо выделять в нем
наиболее существенное, главное, абстрагируясь от других незначительных сторон. В результате этого исследуются некоторые модели (схемы) реальных тел, процессов, явлений. Такими научными абстракциями являются все вводимые в механике исходные
положения и понятия. Отвлекаясь при наблюдении и изучении
единичных предметов и явлений от всего частного, индивидуального, получаем возможность подойти к установлению общих закономерностей механического движения. Таковыми и являются
законы, теоремы и принципы теоретической механики, которые
установлены в результате обобщения результатов многочисленных
опытов. Правомерность основных положений и выводов механики

4

подтверждается многовековой практической деятельностью человечества.
По характеру рассматриваемых задач механику принято разделять на статику, кинематику и динамику. В статике изучается равновесие материальных тел, в кинематике рассматриваются характеристики изменения положения тел в пространстве, а в динамике
изучается движение материальных тел под действием сил.
Механика является одной из самых древних наук, и, как любая наука, она имеет свою историю становления понятий, аксиом, законов и методов решения практических задач. Вначале объектами ее изучения были простейшие орудия труда, механизмы по
подъему тяжестей, рычаг, с теории которого и начинается возникновение механики как науки. В самых старинных трактатах встречаются рассуждения о силе и ее основных свойствах. Наиболее
полную систему античной механики, имевшую в основном умозрительный характер, находим в сочинениях Аристотеля (386—322 гг.
до н. э.).
Основоположником статики принято считать одного из великих ученых древности Архимеда (287—212 гг. до н. э.). Опираясь на
строгую систему аксиом, он дал первое научное изложение теории
рычага, создал учение о центре тяжести, установил один из основных законов гидростатики, носящий его имя.
Период от Архимеда до Галилея, охватывающий почти два тысячелетия, стал временем постепенного накопления громадного
опытного материала о разнообразных механических движениях и
медленного, но неуклонного развития математических знаний.
Только в эпоху Возрождения в связи с развитием ремесел, мореплавания, появлением огнестрельного оружия, важными астрономическими открытиями начинает быстро развиваться и механика. Исключительное значение для развития наук имело открытие
Коперником (1473—1543) гелиоцентрической системы мира, что
явилось началом подлинной революции в мировоззрении людей.
Работы Кеплера (1571—1630) показали, что планеты движутся по
эллипсам.
Гениальный мыслитель, экспериментатор, наблюдатель и практик Галилей (1564—1642) заложил основы нового раздела механики — динамики (принцип относительности, закон инерции). Им
впервые в истории науки были познаны, математически описаны и
экспериментально проверены законы движения тел (падающих и
брошенных под углом к горизонту). Изобретение Галилеем теле5

скопа (1609) и произведенные им астрономические открытия
(структура Млечного Пути, спутники Юпитера и т.д.) повлияли на
прогресс всего естествознания.
Значительную роль в развитии механики сыграли труды Р. Декарта (1596—1650). Создание им и П. Ферма (1601—1655) аналитической геометрии, введение понятия переменной величины стало
основным в математическом описании движения тел.
Продолжением работ Галилея по динамике явились исследования Гюйгенса (1629—1695). Он создал теорию физического маятника, обобщил выведенные Галилеем понятия ускорения на случай
криволинейного движения точки, выполнил ряд исследований по
теории удара, изобрел механические часы.
Установление основных законов динамики было завершено величайшим ученым Ньютоном (1642—1727). В своем знаменитом сочинении «Математические начала натуральной философии» (1687)
Ньютон изложил в систематическом виде основные законы классической механики. Создание Ньютоном и Лейбницем (1646—1716)
дифференциального и интегрального исчисления позволило применить законы динамики и их следствия к решению практических
задач и широким теоретическим исследованиям.
Фундаментальные достижения Ньютона в динамике материальной точки получили аналитическую разработку в трудах великого
математика и механика, члена Петербургской академии наук Леонарда Эйлера (1707—1783). Созданные им аналитические методы
решения задач динамики точки и твердого тела путем составления
и интегрирования дифференциальных уравнений в проекциях на
декартовы оси стали широко применяться к задачам техники и естествознания.
В работах Вариньона (1654—1722) и особенно в трудах Пуансо
(1777—1859) наряду с динамикой дальнейшее развитие получила и
статика.
Во второй половине XVIII века главным объектом исследований стала механическая система.
Большое значение для развития механики имели труды Д’Аламбера (1717—1783), предложившего свой принцип, позволяющий
применять методы статики к решению задач динамики.
Выдающуюся роль в обобщении аналитических методов механики сыграли труды Лагранжа (1736—1813). Он ввел основные понятия аналитической механики; на основе общего уравнения динамики им получены дифференциальные уравнения движения механической системы в обобщенных координатах. Уравнения Лагран6

жа являются основным аналитическим аппаратом решения задач
механики систем со многими степенями свободы.
Дальнейшее развитие механика получила в трудах Лапласа,
Якоби, Гамильтона, Пуанкаре и др. Значительный вклад в развитие
теоретической механики был сделан отечественными учеными, среди которых: М.В. Остроградский (1801—1862) — работы в области
аналитической механики; П.Л. Чебышев (1821—1894) — работы по
теории механизмов и машин; С.В. Ковалевская (1850—1891) — динамика твердого тела; А.М. Ляпунов (1857—1918) — фундаментальные труды по устойчивости движения механических систем;
И.В. Мещерский (1859—1935) — теория движения тел с переменной массой; С.А. Чаплыгин (1869—1942) — исследования по аэродинамике.
Блестящих результатов в самых различных отделах механики
добился Н.Е. Жуковский (1847—1921). За годы своей разносторонней научноисследовательской деятельности он занимался широким кругом вопросов общей механики, механики твердого тела,
гидродинамики, астрономии. Основополагающие работы Н.Е. Жуковского по аэродинамике и воздухоплаванию принесли ему мировую известность. Большое влияние идеи Н.Е. Жуковского оказали
и на преподавание механики в высших учебных заведениях.
Теоретическая механика, являясь научной основой важнейших
областей техники, продолжает развиваться. Это стимулируется появлением новых технологий и производств, автоматизацией производственных процессов, созданием новых высокоскоростных машин и механизмов, освоением космического пространства. Прогресс современного производства невозможен без широкого взаимодействия науки и техники. Для решения этих возрастающих по
сложности задач важное значение имеют и знания в области одной
из фундаментальных естественнонаучных дисциплин — теоретической механики.

Р а з д е л I

СТАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

Г л а в а 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СТАТИКИ

Статика — это раздел теоретической механики, в котором изучаются методы эквивалентных преобразований систем сил и устанавливаются условия равновесия тел под действием приложенных
к ним сил.

§ 1.1. Модели материальных тел. Сила, момент силы

В теоретической механике реальные объекты и процессы моделируются таким образом, чтобы в этих моделях нашли отражение
основные, существенные факторы, которые будут определять главные черты рассматриваемого явления.
Модели материальных тел. Все твердые тела под влиянием внешних воздействий деформируются (меняют форму и размеры). Однако во многих случаях деформации тела по отношению к его размерам столь незначительны, что ими можно пренебречь и рассматривать тело как недеформируемое, абсолютно твердое (принцип отвердевания). Абсолютно твердым телом называется такое воображаемое тело, в котором взаимное расположение его частиц остается неизменным; следовательно, неизменны и расстояния между
любыми его точками. Далее эти тела для краткости будем называть
просто твердыми телами. Если размерами реального тела можно
пренебречь, то оно рассматривается как материальная точка —
точка, имеющая массу.
Механической системой называется любая совокупность взаимодействующих материальных точек; положение и движение каждой
точки механической системы зависят от положения и движения
всех остальных ее точек.
Тело, перемещения которого из данного положения ничем не
ограничиваются, называется свободным. Примером такого тела яв8

ляется летящий вертолет. Тело, перемещениям которого в пространстве препятствуют другие тела, является несвободным. Тела,
ограничивающие перемещения данного тела в пространстве, называются связями. Так, при движении автомобиля по мосту его перемещения ограничиваются поверхностью дороги; мост также является несвободным телом — его перемещениям препятствуют опоры
моста.
Состояние покоя или движения данного тела по отношению к
некоторому телу, например по отношению к Земле, зависит от характера его механических взаимодействий с другими телами. Основной мерой механического взаимодействия материальных тел
является сила — векторная величина, которая отражает следующие
характеристики механического взаимодействия тел: точку приложения силы, числовое значение (модуль) силы, направление действия силы.
Закон взаимодействия тел (третий закон Ньютона). Действие одного тела на другое вызывает противодействие. Силы, с которыми
два тела действуют друг на друга (рис. 1.1, а), равны по модулю
(F ′ = F ) и направлены по одной прямой в противоположные стороны (F
F
= −
′). Заметим, что эти силы приложены к разным телам
и действуют одновременно. Таким образом, силы являются проявлением взаимодействий между телами и возникают всегда по две:
сила действия и сила противодействия.
В дальнейшем, изучая состояние какоголибо тела, как правило, не будем изображать другие тела, вступающие с ним во взаимодействие, а будем говорить о действии на него силы F (рис. 1.1, б),
у которой имеется точка приложения (точка А), модуль F и направление действия. Прямая, вдоль которой направлена сила, называется линией действия силы.
Основной единицей измерения модуля силы в Международной
системе единиц (СИ) является ньютон (Н); применяется и более
крупная единица — килоньютон (1 кН = 1000 Н).

9

Рис. 1.1

В аналитических методах решения задач используют проекции
вектора силы на координатные оси.
Геометрически проекцией вектора F
AB
=
(рис. 1.2, а) на ось x
будет направленный отрезок ab, заключенный между проекциями на
эту ось точек начала и конца вектора АВ, т. е. F x = ab. Длина отрезка ab, взятая с соответствующим знаком, является алгебраическим значением проекции силы F на ось x. Знак проекции Fx отражает направление отрезка ab по отношению к направлению оси Ox. Проекция
силы считается положительной, если направление проекции от точки
a к точке b совпадает с направлением оси x.
Алгебраическая величина проекции силы на ось равна произведению
модуля силы на косинус угла между направлением вектора силы и положительным направлением оси.
Проекции силы F на оси x и y (рис. 1.2, а) равны

Fx = ab = F cos (F ,^x) = F cos α;
(1.1)
Fy = a1b1 = F cos (F ,^y) = F cos (90o – α) = F sin α.

Если угол между вектором силы и положительным направлением оси острый — проекция силы на эту ось положительна, если тупой — отрицательна, а если сила перпендикулярна оси, то ее проекция на ось равна нулю.
Так, для сил Q T N P
,
,
,
, расположенных в плоскости xOy (рис.
1.2, б), получим:

Qx = Q cos (90o + θ) = –Q sin θ, Qy = Q cos (180o – θ) = – Q cos θ;

Tx = T cos β = –T cos γ, Ty = T sin β = T sin γ;

Nx = N sin ϕ, Ny = –N cos ϕ;

Px = P cos 90o = 0, Py = P cos 180o = –P.

Если для силы F (рис. 1.3) известны ее проекции Fx, Fy, Fz на
координатные оси x, y, z, т.е. F
F i
F j
F k
x
y
z
=
+
+
, то можно определить модуль силы и углы, которые она образует с положительными
направлениями координатных осей по формулам:

F
F
F
F
x
y
z
=
+
+
2
2
2 ,

cos (F ,^x) = F
F

x , cos (F ,^y) = F

F

y , cos (F ,^z) = F

F

z .
(1.2)

При аналитическом задании силы, кроме проекций, должны
быть заданы и координаты точки ее приложения.

10