Репетитор по физике : механика, молекулярная физика, термодинамика


Абитуриент

И. Л. Касаткина





                РЕПЕТИТОР ПО ФИЗИКЕ




МЕХАНИКА МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА ТЕРМОДИНАМИКА
Под ред. Т. В. Шкилъ
Издание пятнадцатое





Ростов-на-Дону «Феникс» 2014

УДК 373.167.1:53
ББК 22.3я72
КТК 444
     К 38





   Рекомендовано Министерством общего и профессионального образования Ростовской области в качестве учебного пособия для студентов и учащихся общеобразовательных учреждений общего и профессионального образования

   Рецензент:
     профессор П. Н. Тищенко

   Консультанты:
     генерал-майор Ю. А. Гордеев,
     доктор технических наук В. В. Хуторцев







     Касаткина И. Л.
К 38 Репетитор по физике : механика, молекулярная физика, термодинамика / И.Л. Касаткина. — Изд-е 15-е. / под ред. Т.В. Шкиль. — Ростов н/Д: Феникс, 2014. — 852, [1] с. — (Абитуриент).


      ISBN 978-5-222-22075-7


          В пособии даны методические указания к решению задач по физике, изучаемой в 9—10-х классах средней школы и на младших курсах вузов. Рассмотрено решение множества задач как средней, так и повышенной трудности. Предложено большое количество задач для самостоятельного решения.
          Пособие незаменимо при подготовке к государственному централизованному тестированию, выпускным и вступительным экзаменам. Оно окажет большую помощь старшеклассникам и студентам в течение всего учебного процесса.



ISBN 978-5-222-22075-7

УДК 373.167.1:53
ББК 22.3я72



                       © Касаткина И. Л., 2013
© Оформление, изд-во «Феникс», 2013

КИНЕМАТИКА




1. ТРАЕКТОРИЯ И КООРДИНАТЫ. ПУТЬ И ПЕРЕМЕЩЕНИЕ

Советы: с чего начинать решать задачу и какие законы применить. Читать обязательно!


   При решении задач на определение пути S и перемещения Д r тела надо помнить, что это за величины и не путать их. Напоминаем:
   путь — длина траектории тела, путь — скалярная величина;
   перемещение — вектор, соединяющий начальное положение тела с его конечным положением и направленный к конечному положению.
   Если траектория движения тела - прямая линия и если направление движения тела одно и то же (нет челночного движения), то путь равен модулю перемещения. Если же траектория тела криволинейная или ломаная, или если тело совершало челночное движение (вперед-назад), то путь больше модуля перемещения. Перемещение тела с течением времени движения может и увеличиваться, и уменьшаться, а путь может только увеличиваться. Если тело вернется в исходное положение, то его перемещение станет равно нулю, а путь - нет, ведь длина траектории с течением времени движения увеличивается, куда бы ни двигалось тело.
   При поездке на такси мы оплачиваем пройденный нами путь, а при полете на самолете - перемещение из одного города в другой.
   Рассмотрим примеры на определение пути и перемещения.
   Пример 1. Часовой охраняет объект, огороженный квадратным забором ABCD (рис. 1-1), обходя его по периметру. Чему будут равны его путь и перемещение, если он из точки A перейдет в точку B, затем в точку C, затем в точку D, точку A? Длина стороны квадрата а.
   1)    Часовой перешел из точки A в точку щения Д rₜ направлен из точки А в точку В, а модуль перемещения |Д rj равен пути S₁ и равен длине стороны квадрата АВ:
               |Д ri| = «1= а.
   2)    Часовой перешел из точки А в точку С.
Вектор его перемещения Д г₂ направлен из точки А в точку С.
   В этом случае путь S₂ равен сумме длин сторон АВ и ВС:
              S₂ = а + а = 2а.

после чего вернется в

В. Вектор его переме
Рис. 1-1

3

   Модуль вектора перемещения |Д г₂\ равен длине диагонали АС. Из прямоугольного треугольника ACD согласно теореме Пифагора следует:

|д г₂| = ^а² + а² = ^2а² = а ^2.
   Поскольку ^2 ~ 1,4 (полезно запомнить), то
|Д г₂\ = 1,4 а.
   3)     Часовой перешел из точки А в точку D. Пройденный им путь S₃ в этом случае равен сумме длин трех сторон АВ, ВС и CD, S₃=a+a + a = 3 а.
   Модуль вектора перемещения |Д Г₃| равен длине стороны AD и направлен из точки А в точку D,
Д Гз1 = «•
   4)     Часовой вернулся в точку А, полностью обойдя забор по периметру. Пройденный им путь S₄ равен длине периметра АВС1У S₄=a + a+ a+ a = 4 a,
а перемещение равно нулю.
Пример 2. Спортсмен бросил мяч с высоты h = 1,5 м и поймал его на той же высоте. Чему равен путь S и перемещение Д Г мяча? Путь, пройденный мячом при падении и подскоке, равен удвоенной высоте h:
S = 2h = 3 м,

а перемещение равно нулю.
   Пример 3. Часовая стрелка показывает 12 ч. Какой путь пройдет конец стрелки и какое перемещение он совершит, когда стрелка будет показывать 6 ч вечера; 9 ч вечера? Длина стрелки R.
   1)    Путь S₁, пройденный концом стрелки с 12 ч до 6 ч вечера, равен половине длины окружности радиусом R. Поскольку длина окружности равна 2nR, значит, путь

-nR
S₁ = —— = nR.


   Модуль перемещения |Д г\ | в этом случае равен удвоенной дли

не часовой стрелки: |Д rₜ | = 2R, а вектор Д д направлен вниз.

   2)   Путь S₂, пройденный концом стрелки с

3
12 ч дня до 9 ч вечера, равен — длины окруж

ности:

       3      3
   S₂ = — 2nR = - nR = 1,5 nR.

   Модуль перемещения |Д г₂ | в этом случае (рис. 1-2) находим по теореме Пифагора:

Рис. 1-2

4

|Д r₂ I = Rr² + R² = JRb² = R41 = 1,4R .


   Вектор перемещения |Д r₂ | направлен к цифре 9 от цифры 12.

   Пример 4. Мяч скатился по трем ступенькам лестницы с высоты Н = 1,2 м. Высота каждой ступеньки равна ее ширине h. Угол наклона лестницы к горизонту а = 45°. Чему равны путь S и перемещение Д г (рис. 1-3)?

   Путь S, пройденный мячом, если он катился, не подпрыгивая, равен утроенной сумме высоты и ширины одной ступени. Если высота трех сту

Н

пенек Н, то высота одной ступеньки h = — О

кова же ее ширина. Поэтому путь


и та
Рис. 1-3

S
S

= 3.^ = 2Н

3

      = 2 • 1,2 м = 2,4 м.


   Модуль перемещения мяча |Д г | равен гипотенузе в прямоугольном треугольнике с катетом Н и противолежащим ему углом а, поэтому


sin а = -j—т , откуда |дг|

Н
      .
sin а

KI

Поскольку sin 45°

|Дг|

1,2 • 2
~JF

м = 1,7 м.

Вектор Дг

направлен под углом а = 45° к основанию лестницы.



Решение отдельных задач

   Задача 1
   Тело переместилось из точки А с координатами (-4; 3) в точку В с координатами (4; 3), а затем - в точку С с координатами (4; -3). Определить его путь и перемещение Д г (рис. 1-4).


Дано:

А (-4; 3)
В (4; 3)
С (4; -3)

S - ?
|Д г | - ?
Ф - ?

    Решение. Проведем оси координат ОХ и OY и обозначим точки А, В и С. Путь S равен сумме длин отрезков АВ и ВС (рис. 1-4):
    S = S₁ + S₂, где S₁ = 8 см, S₂ = 6 см,
S = (8 + 6) см = 14 см.
Перемещение Д г - вектор, направленный от точки А к точке С. Его модуль ра

5

вен гипотенузе АС в треугольнике АВС. По теореме Пифагора
    IА г | = Vs² + Sf .
   Вычислим модуль перемещения:
|АЯ| = Vs² + 6² см = 10 см .
   Направление вектора перемещения определим углом ф между вектором АГ и осью ОХ:

                 DC           So  „ _   S,
tg Ф = 5D ’ где DC = — и OD = —,

              S2 • 2_ S2      6 _           _
tg Ф = ₂ • g, = s, > tg Ф = - = 0,75, ф = 37°.

   Ответ: S = 14 см, |АГ | = 10 см, ф = 37°.

   Задача 2
   Мяч упал с высоты h₁ = 3 м и после удара о землю подпрыгнул на высоту h₂ = 2 м. Определить его путь S и модуль перемещения | Аг |.


Дано:

h₁ = 3 м
h₂ = 2 м

S - ?
|А г | - ?

     Решение. Путь S равен сумме высот h₁ и h₂ (рис. 1-5):
     S = h₁ + h₂,                     .
     S = (3 + 2) м = 5м.            ¹

   Перемещение Аг - вектор, направленный из точки 1 в точку 2. Его модуль равен разности высот h₁ и h₂:
   |А? | = h1 - h2,
- 2) м = 1 м.

| Аг | = (3

   Ответ: S = 5 м, | Аг | = 1 м.


   Задача 3
   Определить путь S и перемещение
Аг конца минутной стрелки длиной I = 2 см за t = 15 мин (рис. 1-6).

Л1 ],2 7 А?

t h₂ у/'////)//:
Рис. 1-5

6

Дано:             Решение. Путь S равен длине дуги            ав,
1 = 2 см          составляющей четверть окружности с          раt = 15 мин        диусом 1 :                                     
                                    о 2 п1                       
                                о --------- и,О Ж.                
                                        4                         
                  Подставим числа:                                
S - ?             S = 0,5 • 3,14 • 2 см = 3,14 см.                
A г| - ?          Перемещение Ar - вектор, направлен-             
ф - ?             ный из точки а в точку в. По теореме            
Пифагора егс      модуль:                                         
| Ar | = ll2 + l2 --- л/212 --- 172.. Так как 72 --- 1,4 , то    

I Ar | = 1,4 I, | Ar | = 1,4 • 2 cm = 2,8 cm.
Так как треугольник aOe равнобедренный, угол меж
ду вектором Ar и горизонтальной стрелкой ф = 45°.
   Ответ: S = 3,14 см, | Ar | = 2,8 см, ф = 45°.


   Задача 4
   Построить графики движений двух тел, описываемых уравнениями х₁ = -1 + 2t см и х₂ = 2 + t см, в одной системе координат и по графикам определить, через сколько времени с момента: t = 0 координата этих тел станет одинаковой и какой она будет. Время t выразить в секундах, а координату х-в сантиметрах.


Дано:

х₁ = -1 + 2t см
х₂ = 2 + t см

   Решение. Проведем оси координат ОХ и Ot. Выберем произвольно два момента времени t = 0 и t = 1 с и вычислим х₁ и х₂ для этих моментов. Заполним таблицу.


t - ?

Таблица

Рис. 1-7

Ответ: t = 3 с, х = 5 см.

7

   Задача 5
   Материальная точка движется согласно уравнениям х = 4t + 2 см и у = t² см. Проходит ли ее траектория через точки Xj= 8 см и у₁ = 16 см? Напишите уравнение траектории точки.


Дано:

х = 4t + 2 см у = t² см
х₁ = 8 см
у₁ = 16 см

У = У(х) - ?

   Решение. Исключим время t из обоих уравнений:
   х = 4t + 2, откуда 4t = х - 2


у =^
1 16

х - 2
и t = ——— . у = t² или уравнение траектории точки.
   При х₁ = 8 см




(8 - 2)²     ₉ ₉.
и =  -----— см = 2.25 см.
       16

Но у = 2,25 см Ф у₁ = 16 см, значит, траектория не проходит через точки х₁ = 8 см и у₁ = 16 см.

Ответ: не проходит,

⁽х ⁻ ²⁾²
16

см.

У =

   Задача 6
   Материальная точка движется в плоскости XOY, и при этом ее координаты изменяются с течением времени по закону х = 2 sin at и у = 2 cos at, где a - константа. Какова траектория точки?

Дано:        Решение. Исключим время t из урав             нений:                            
х = 2 sin at          х           . и          
у = 2 cos at sin at = --- и cos at = 2 ,       
                  х2                    2      
у = у(х) - ? sin2at =--- и cos2at = u- ,       
             4                4                

   sin² at + cos² at = — + — .
                     4    4
   Так как sin² at + cos² at = 1,
       ₓ2    2
то 1 = — +   , или | х² + у² = 41
- окружность.
   Ответ: х² + у² = 4 - окружность с радиусом R = 2 м (рис. 1-8).

8

   Задача 7
   Автомобиль проехал S₁ = 20 км, двигаясь на север. Затем ему пришлось свернуть на восток и проехать еще S₂ = 20 км, после чего он снова повернул на север и достиг конечного пункта, проехав еще S₃ = 20 км. Найти путь S и перемещение Аг автомобиля. На сколько путь больше модуля перемещения?


Дано:

S₁ = S₂ = S₃ = 20 км

Аг - ?
AS - ?


   Обозначим AS разность между путем и модулем перемещения.
   Решение. Для решения этой задачи следует выполнить чертеж (рис. 1-9).
Поскольку путь автомобиля -это длина траектории его движе
                       ния, то, как видно из чертежа, путь S равен сумме длин отрезков S₁, S₂ и S₃:


S = Sₓ + s₂ + s₃


   Подставим числа и вычислим путь автомобиля:
S = (20 + 20 + 20) км = 60 км.
   Для определения вектора перемещения надо знать его модуль и направление. Модуль вектора перемещения найдем следующим образом. Из рис. 1-9 видно, что вектор

Аг пересек отрезок S₂ в точке 0. Это привело к образованию двух прямоугольных треугольников с равными по условию задачи катетами S₁ и S₃ и равными вертикальными углами при точке пересечения 0. Следовательно, эти

треугольники равны как прямоугольные треугольники с

равными катетами и острыми углами. Из их равенства следует, что вектор Аг и отрезок S₂ делят друг друга пополам. Поэтому модуль вектора перемещения | Аг | можно найти, удвоив длину отрезка т0, который составляет половину длины вектора Аг. В свою очередь, длину отрезка т0 можно определить по теореме Пифагора:


А²
’
/

(
2 \

I =

+

а модуль вектора перемещения


Рис. 1-9

9

|Ат| = 21, M = ², Si +

л²

f S
2 V___

2

   Подставим числа и вычислим модуль перемещения автомобиля:

| Аг | = 2.

2
I km = 45 km.

   Направление вектора перемещения определяет угол а между этим вектором и земным меридианом. Из нижнего прямоугольного треугольника следует, что тангенс угла а равен отношению половины отрезка S₂ к отрезку S₁:
s₂ tga ₂s^ .
   Подставим числа и произведем вычисления:
t№=т°5=⁰¹⁵ •
   Пользуясь таблицей Брадиса или микрокалькулятором, определим угол а: а = 27°.
   Разность AS = S - |Аг|, AS = (60 - 45) км =15 км.
   Ответ: S = 60 км, AS =15 км, |Аг| = 45 км, вектор перемещения направлен на северо-восток под углом а = = 27° к меридиану.



Задачи для самостоятельного решения


                                       Задача 1. На рис. 1-10 изображен план спортивного зала. Определите цену деления на осях координат. Укажите координаты спортсменов 1, 2 и 3, а также наблюдателей 4 и 5.
   Задача 2. На рис. 1-11 показаны перемещения трех тел. Найдите проекции перемещений на оси координат.
   Задача 3. На рис. 1-12 показана траектория материальной точки. Чему равны ее путь и перемещение? Точка А - начало траектории, точка В - ее конец.

10