Избранные разделы современной теории автоматического управления


РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ СЕРИИ «УЧЕБНИКИ НГТУ»

д-р техн, наук, проф. (председатель) НВ. Пустовой д-р техн. наук, проф. (зам. председателя) ГИ Расторгуев

д-р техн. наук, проф. А.А. Батаев
д-р техн. наук, проф. А.Г. Вострецов
д-р техн. наук, проф. В.И. Гужов
д-р техн. наук, проф. В.А. Гридчин
д-р техн. наук, проф. В.И. Денисов
д-р физ.-мат. наук, проф. В.Г Дубровский
д-р экон. наук, проф. К.Т Джурабаев
д-р филос. наук, проф. В.И Игнатьев
д-р филос. наук, проф. В.В. Крюков
д-р техн. наук, проф. В.Н. Максименко
д-р техн. наук, проф. Х.М. Рахимянов
д-р техн. наук, проф. Ю.Г Соловейчик
д-р техн. наук, проф. А.А. Спектор
д-р экон. наук, проф. ВИ. Титова
д-р техн. наук, проф. А. Ф. Шевченко
д-р техн. наук, проф. Н.И. Щуров

В.В. ПАНКРАТОВ, Е.А. ЗИМА, О.В. НОС




ИЗБРАННЫЕ РАЗДЕЛЫ ТЕОРИИ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ












НОВОСИБИРСК
2011

УДК 681.5.01(075.8)
     П 164



Рецензенты:
д-р техн. наук, профессор В.Д. Юркевич д-р техн. наук, доцент В.Н. Аносов






     Панкратов В.В.
П 164 Избранные разделы теории автоматического управления : учеб. пособие / В.В. Панкратов, О.В. Нос, Е.А. Зима. - Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2011.-223 с. (Серия «Учебники НГТУ»).
          ISBN 978-5-7782-1810-9
          Излагаются специальные разделы теории автоматического управления, традиционно изучаемые в НГТУ студентами электротехнического и машиностроительного профиля. Рассмотрены методы модального управления и наблюдатели Люенбергера. Обсуждаются методы синтеза систем автоматического управления нелинейными и нестационарными объектами, основанные на принципе «глубокой» обратной связи по производным выхода. Рассматриваются основы теории оптимального управления и классические задачи оптимального управления электроприводами постоянного тока. Приведены вопросы для самоконтроля, примеры решения задач, задания на расчетнографическую работу и лабораторный практикум.
          Адресовано студентам, обучающимся по направлениям подготовки 220700 - Автоматизация технологических процессов и производств, 151900 - Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительных производств, 140400 - Электроэнергетика и электротехника, специальностям 140604 - Электропривод и автоматика промышленных установок и технологических комплексов, 220301 - Автоматизация технологических процессов и производств, а также может быть полезно магистрантам и аспирантам, специализирующимся в указанных областях.




ISBN 978-5-7782-1810-9

УДК 681.5.01(075.8)

                     © Панкратов В.В., Hoc О.В., Зима Е.А., 2011
© Новосибирский государственный технический университет, 2011

ОГЛАВЛЕНИЕ


Предисловие............................................................9


ЧАСТЬ 1. МОДАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ И НАБЛЮДАТЕЛИ...11


   1.1. Метод модального управления и управляемость линейных стационарных объектов.......................................................11
   1.2. Наблюдаемость линейных объектов и наблюдатели полного порядка..16
   1.3. Наблюдатели пониженного порядка.................................19
   1.4. Свойства систем с модальным управлением и наблюдателями Люен-бергера............................................................22
   1.5. Преимущества и недостатки «классического» модального управления.25
   1.6. Модифицированный модальный метод................................26
Вопросы для самоконтроля................................................31
Библиографический список................................................32
Приложения..............................................................33
   П1.1. Стандартные линейные формы и распределения корней характеристического полинома...........................................33

   П1.2. Примеры синтеза линейных С АУ модальным методом при полных и неполных измерениях............................................41
   П1.3. Задание на расчетно-графическую работу..........................62

   П1.4. Лабораторный практикум......................................70


ЧАСТЬ 2. МЕТОДЫ СИНТЕЗА СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ, МАЛОЧУВСТВИТЕЛЬНЫХ К ИЗМЕНЕНИЯМ ПАРАМЕТРОВ: ОДНОКАНАЛЬНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОБЪЕКТЫ..............75

Введение...............................................................75
   2.1. Проблема синтеза алгоритмов управления в условиях неопределенности ............................................................79
      2.1.1. Модель управляемого процесса и цель управления............79

2.1.2. Обратные модели управляемых процессов...................81
      2.1.3. Закон управления как алгоритм решения конечного уравнения.84
      2.1.4. Метод разделения движений в задачах синтеза систем с разнотемповыми процессами...........................................85
      2.1.5. О принципе глубокой обратной связи......................88
   2.2. Метод больших коэффициентов..................................90
      2.2.1. Основные положения метода...............................90
      2.2.2. Дифференцирующие фильтры и их применение................93
      2.2.3. Методика расчета систем с большими коэффициентами.......96
      2.2.4. Астатические законы управления в САУ с большими коэффициентами ........................................................99

      2.2.5. Предельное управление и учет ресурсных ограничений........101
      2.2.6. О синтезе квазинепрерывных систем с большими коэффициентами в законе управления..........................................103
   2.3. Метод скользящих режимов........................................105
      2.3.1. Предпосылки и теоретические основы метода.................105
      2.3.2. Реальные скользящие режимы и способы обеспечения их малой чувствительности к состоянию и вариациям параметров объекта управления........................................................109
      2.3.3. Методика расчета систем с прямым разрывным управлением в скользящем режиме.................................................111
      2.3.4. Иллюстрация основных свойств метода на примере системы второго порядка.....................................................111
   2.4. Метод локализации..............................................121
      2.4.1. Идейные основы метода.....................................121
      2.4.2. Особенности синтеза контура быстрых движений в системах с управлением по старшей производной.............................123
      2.4.3. О синтезе астатических систем со старшей производной выхода в законе управления................................................126
   2.5. Метод сигнально адаптивной обратной модели.....................128
      2.5.1. Идея метода...............................................128
      2.5.2. Модельный пример САУ нестационарным линейным объектом.....133
Вопросы для самоконтроля...............................................139

ОГЛАВЛЕНИЕ

7

Библиографический список..............................................140
Приложения............................................................145
   П2.1. Применение метода больших коэффициентов в задаче управления технологическим процессом на базе асинхронного двигателя......145
   П2.2. Синтез трехконтурной системы позиционного электропривода постоянного тока с прямым разрывным управлением....................162
   П2.3. Применение метода локализации в задаче управления положением подъемно-транспортного механизма..............................172

ЧАСТЬ 3. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ.189


Введение................................................................189
   3.1. Элементы классического вариационного исчисления.................192
      3.1.1. Задача о безусловном экстремуме функционала - простейшая задача вариационного исчисления....................................192
      3.1.2. Нахождение оптимального характеристического полинома линейной системы...................................................195
      3.1.3. Оптимальное по критерию минимума потерь энергии управление позиционным электроприводом постоянного тока. Синтез с помощью уравнения Эйлера-Пуассона..................................196
      3.1.4. Постановка задачи оптимального управления с закрепленными концами и фиксированным временем.................................200
      3.1.5. Задача об условном экстремуме функционала. Метод множителей Лагранжа.....................................................202
      3.1.6. Синтез оптимального по критерию минимума потерь энергии управления позиционным электроприводом на основе метода Лагранжа.........................................................204
   3.2. Элементы неклассического вариационного исчисления...............205
      3.2.1. Принцип максимума Л.С. Понтрягина..........................205
      3.2.2. Линейная задача максимального быстродействия...............207
      3.2.3. Синтез оптимального по быстродействию программного управления позиционным электроприводом................................209
      3.2.4. Синтез оптимального по быстродействию закона управления позиционным электроприводом в классе алгоритмов с обратной связью...........................................................211

3.3. Динамическое программирование.................................213
      3.3.1. Предварительные замечания...............................213
      3.3.2. Функциональное уравнение Беллмана и алгоритм синтеза оптимальных управлений.............................................214
      3.3.3. Линейно-квадратичные задачи оптимального управления.....216
Вопросы для самоконтроля.............................................221
Библиографический список.............................................222

ПРЕДИСЛОВИЕ


ладение современными подходами к анализу, синтезу и оптимизации систем автоматического управления сложными динамическими

объектами в настоящее время является необходимым условием качественной профессиональной подготовки инженеров и исследователей, специализирующихся в области автоматизации технологических процессов, установок и комплексов. Наиболее перспективные из таких подходов базируются на идеях модального

управления и восстановления неизмеряемых координат, использовании принципа глубокой обратной связи, методов теории оптимального управления.
    Настоящее учебное пособие подготовлено сотрудниками кафедры электропривода и автоматизации промышленных установок и кафедры автоматизации производственных процессов в машиностроении Новосибирского государственного технического университета и структурно состоит из трех частей, в которых отражены основы перечисленных выше методов и принципов.
    Пособие представляет собой переиздание книги «Специальные разделы современной теории автоматического управления» (2007 г.), в которое внесены необходимые исправления и дополнения.
    Первая часть пособия посвящена модальному управлению и наблюдателям Люенбергера. В ее теоретических разделах рассмотрены классический метод модального управления линейными стационарными объектами, синтез наблюдателей полного и пониженного порядка, свойства систем с линейными обратными связями и наблюдателями Люенбергера, а также модифицированный модальный метод, обеспечивающий астатизм систем регулирования по управляющему и возмущающим воздействиям, представлен список вопросов для самоконтроля. В приложениях к первой части пособия приведены необходимые сведения о наиболее часто применяемых стандартных линейных формах, рассмотрены примеры решения задач, даны варианты расчетнографической работы и задание на лабораторный практикум.
    Во второй части учебного пособия рассматривается класс методов синтеза систем управления нелинейными и нестационарными объектами, основанный на принципе «глубокой» обратной связи по производным выходной регули

руемой переменной. Применительно к задачам управления одноканальными непрерывными динамическими процессами в пособии излагаются основы метода больших коэффициентов, метода скользящих режимов, метода локализации, авторского метода сигнально адаптивной обратной модели. Авторы ставили перед собой цель интерпретировать материал максимально доступно для студентов, не имеющих специальной математической подготовки, что ограничило круг объектов частным видом математических моделей с линейным вхождением управляющих воздействий без форсирующих свойств (относительный порядок инерционности по выходу равен полному порядку объекта управления). Приведен список вопросов для самоконтроля, в приложениях рассмотрены иллюстративные примеры решения типовых задач.
    Третья часть пособия посвящена основам теории оптимального управления и задачам оптимального управления электроприводами постоянного тока, ставшим уже классическими.
    Теоретические разделы пособия написаны доктором технических наук, профессором В.В. Панкратовым, приложения - кандидатами технических наук, доцентами О.В. Носом (П1.1, П2.1 -П2.3) и Е.А. Зима (П1.2-П1.4).
    Для успешного освоения материала учебного пособия студентам необходимо знание основ теории автоматического регулирования, математического анализа и линейной алгебры. Мелким шрифтом приведены сведения ознакомительного характера, которые при первом прочтении можно опустить, не нарушая целостности восприятия. С целью лучшего понимания материала в каждой части пособия использована локальная нумерация разделов, формул, рисунков и литературных источников.
    Предлагаемое вниманию читателей настоящее учебное пособие, по мнению авторов, не может быть свободно от методических недостатков. Замечания и предложения по содержанию настоящего издания направлять по адресу: 630092, Новосибирск - 92, пр. К. Маркса - 20, Новосибирский государственный технический университет, издательство НГТУ.

                Часть 1




МОДАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ И НАБЛЮДАТЕЛИ





        1.1. МЕТОД МОДАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ И УПРАВЛЯЕМОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ
        СТАЦИОНАРНЫХ ОБЪЕКТОВ


     Одним из наиболее мощных и теоретически проработанных методов синтеза линейных (линеаризованных) систем автоматического управления (САУ) с постоянными параметрами является модальный метод¹. Для иллюстрации его основной идеи сначала рассмотрим одноканальный объект управления (один вход - один выход) порядка п, описывающийся моделью вида

х = Ах ₊ В в ,■

                           у = Сх,


(1-1)

где х = [х₁,х₂,...,хп]т - п -мерный вектор координат состояния; и - управляющее воздействие; у - выходная переменная; А - собственная матрица объекта; В - матрица управлений; С - матрица выхода; размерности матриц: dim А = п х п; dim В = п х 1; dim С = 1 х п , возмущающие воздействия пока не рассматриваем.
     Переходя к изображениям переменных по Лапласу, несложно получить передаточную функцию (1.1)
W(p) = С (рЕ - А   В,
где Е - единичная матрица размерностью п х п; р - оператор Лапласа.


¹ Более подробно с материалом по данной теме можно ознакомиться в монографии Н.Т. Кузовкова [1.5].

Часть 1. МОДАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ И НАБЛЮДАТЕЛИ

    При этом необходимо отметить, что применительно к линейным непрерывным стационарным САУ переход к передаточной функции в операторной форме записи осуществляется путем замены оператора Лапласа на оператор дифференцирования р = d / dt.
    Так как обратная матрица (рЕ — А) ¹ определяется выражением

(рЕ — А)

1
   ₁------Г(рЕ — А) ,
|рЕ — А|⁽Р     ⁾ ’


где символом (•) обозначена присоединенная (союзная) матрица, получаемая из исходной путем замены всех элементов их алгебраическими дополнениями с последующим транспонированием, становится очевидным, что знаменатель передаточной функции (ПФ) объекта, являющийся его характеристическим полиномом, равен определителю
D(p) = |рЕ — А|,

а числитель - выражению

С(р) = С (рЕ — А)* В .
    Пусть, например, корни характеристического уравнения объекта D(p) = О

(собственные числа матрицы А) - рг-, i = 1, п - простые (некратные). Тогда переходная функция объекта (реакция на единичное ступенчатое воздействие при нулевых начальных условиях) определяется формулой разложения Хевисайда:

где Ci

D'(p) =
dp

G (О) D(0)

 п
Е ceр р
i=1

(1-2)

Gfr i) р i W i⁾

h (t)

    Известно, что при наличии корней рг- с положительной вещественной частью в (1.2) будут присутствовать возрастающие по модулю с течением времени парциальные составляющие qcрⁱt (моды), т. е. объект (1.1) будет неус

1.1. Метод модального управления и управляемость линейных стационарных объектов

13

тойчивым. Кроме того, даже если объект устойчив, среди рг- могут быть корни с малой степенью устойчивости, обусловливающие неприемлемо большую продолжительность переходного процесса, или пары комплексносопряженных корней с большим отношением мнимой части к вещественной, вызывающие недопустимую колебательность и перерегулирование. В этих случаях модальный метод предлагает скорректировать исходное расположение корней характеристического уравнения объекта (1.1) и привести его к некоторому желаемому.
    Переходим непосредственно к изложению метода модального управления. Для объекта общего вида
х = Ах + Bu + f (t),                     (1.3)





и ₂

где u =

   - m -мерный вектор управлений; f (t)- вектор независимых воз
       ит

мущений; dim В = п х m, при допущении о возможности прямых измерений всех компонент вектора состояния xᵢ, i = 1, п (при полных измерениях) закон модального управления за

писывается как

u = v — Кх,

(1.4)

здесь v - вектор задающих воздействий той же размерности, что и вектор u; К - матрица коэффициентов обратных связей, которые для положительных элементов изначально предполагаются отрицательными (об этом свидетельствует знак «-» перед Кх в выражении (1.4)); dim К = m х п.
    Структурная схема системы приведена на рис. 1.1, где приняты следующие обозначения: МК - модальный корректор; ОУ-объект управления.
    Подставляя алгоритм управления (1.4) в уравнение объекта (1.3), получаем модель замкнутой системы
х = (А — ВК )• х + Bv + f (t),             (1.5)
характеристическое уравнение которой
D(p) = |рЕ — А + ВК| = 0                   (1.6)
имеет корни, отличающиеся от собственных чисел матрицы А объекта (1.3). Естественным образом возникает вопрос: при каких условиях можно путем

Часть 1. МОДАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ И НАБЛЮДАТЕЛИ

выбора соответствующей матрицы коэффициентов обратных связей К обеспечить любое желаемое расположение корней (1.6) на комплексной плоскости, т. е. когда объект (1.3) является управляемым? Ответ на него дает утверждение Р. Калмана о полной управляемости [1.2].


Рис. 1.1. Структурная схема системы с модальным управлением и полными измерениями

    Определение. Под полной управляемостью понимается свойство объекта, заключающееся в возможности его перевода из любого начального состояния х(/н) в произвольное наперед заданное конечное состояние х(/к) за конечный интервал времени (1К — 1Н) посредством ограниченных управляющих воздействий.
    Утверждение. Объект (1.3) является вполне (полностью) управляемым тогда и только тогда, когда ранг матрицы управляемости Y, составленной по правилу
                         Y = [в] АВУ7 А⁽ п—¹⁾в], равен порядку объекта управления, т. е.
rangY = п.                           (1.7)
    Примечание. В смысле модального метода под полной управляемостью понимается возможность целенаправленного задания всех корней характеристического уравнения (1.6) посредством обратных связей по координатам состояния.
    При выполнении условия полной управляемости (1.7) задача модального управления всегда имеет решение. Модальный синтез заключается в определении таких элементов матрицы К, при которых зависящие от них коэффициенты характеристического полинома замкнутой САУ D(p) = |рЕ — А + ВК|

1.1. Метод модального управления и управляемость линейных стационарных объектов

15

будут равны соответствующим коэффициентам нормированного (желаемого) характеристического полинома (считается, что он устойчив, поэтому все его коэффициенты положительны):

N(p) = П (Р - Р/) = РП + Ап—1ОрП ' + • • • + ДЯП Р + ОП,
i=1


      . *                                                         Z-1AX7/-1Z-\
где р ᵢ - желаемые корни характеристического уравнения С АУ (1.6);

О = и!

п П Р* i=1

- так называемый среднегеометрический корень характеристиче
ского уравнения (положительная величина), косвенно определяющий быстродействие синтезируемой системы, причем для нормированных полиномов до пятого порядка, рекомендуемых к практическому применению в приложении П1.1, время регулирования приближенно составляет

¹р

(1-..3)л ;
О ;


Aj, j = 1, и — 1 - коэффициенты формы, определяющие остальные прямые показатели качества переходных процессов - перерегулирование, число колебаний, декремент затухания и т.д.
    Для полностью управляемого объекта со скалярным управлением (т = 1) задача модального управления имеет единственное решение К = [а₁,а₂,...,ап], поскольку для определения и коэффициентов обратных связей аᵢ из условия |pE — А + ВК| = N(p) мы располагаем системой и алгебраических уравнений. В многоканальном (т > 1) случае и (т — 1) элементов матрицы К размерности т х и могут быть заданы произвольно, и тогда оставшиеся и коэффициентов обратных связей находятся однозначно. Совместность системы уравнений неизвестных параметров обеспечивается при этом выбором свободно задаваемых элементов К.
    Некоторые виды нормированных характеристических полиномов, соответствующие так называемым стандартным линейным формам, рассмотрены в приложении П 1.1.