Квантовая теория рассеяния

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
 «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Р. В. ВЕДРИНСКИЙ

КВАНТОВАЯ 

ТЕОРИЯ  РАССЕЯНИЯ

Ростов-на-Дону

Издательство Южного федерального университета

2008

УДК 530.1(075.8)
ББК 22.31я73

УДК 530.1(075.8)
ББК 22.31я73
       В 26
        

Ведринский Р. В.
Квантовая теория рассеяния: учебник / Р. В. Ведринский. – Ростов н/Д: Изд-во ЮФУ, 2008. – 192 с.
ISBN 978-5-9275-0626-2
Научная литература, посвященная фундаментальным проблемам квантовой физики, новым квантовым эффектам и их приложениям, широко использует математический аппарат и теоретические 
методы, не изучаемые на должном уровне в стандартных курсах 
квантовой теории и недостаточно описанные в типовых учебниках. 
Данный учебник призван заполнить имеющийся пробел. Основное 
внимание в нем уделено не рассмотрению конкретных квантовых 
явлений, что легко найти в любом учебнике по квантовой механике, а подробному описанию физических основ квантовой механики, ее математического аппарата, необходимого для изучения современной литературы, методов использования этого аппарата для 
описания основных нерелятивистских микрообъектов и аксиоматики, устанавливающей связь между математическим аппаратом и 
характеристиками микрообъектов. 
Учебник рассчитан на аспирантов, студентов магистратуры и 
старших курсов бакалавриата, желающих вести научную работу в 
следующих областях современной физики: фундаментальные проблемы квантовой физики, физика наноструктур и квантовые компьютеры.

© Ведринский Р. В.,  2008
© Южный федеральный университет,  2008
©  Оформление. Макет. Издательство 
    Южного федерального университета,  2008

В 26

ISBN 978-5-9275-0626-2

Учебник подготовлен и издан в рамках 
национального проекта «Образование» 
по «Программе развития федерального государственного 
образовательного учреждения 
высшего профессионального образования 
“Южный федеральный университет” на 2007–2010 гг.»

Печатается по решению редакционно-издательского совета
Южного федерального университета

ОГЛАВЛЕНИЕ

Глава 1. Постановка задачи рассеяния .......................................... 6 
 
 
Глава 2. Стационарный подход 
                к квантовой теории рассеяния ..................................... 14
         2.1. Постановка задачи рассеяния 
                в стационарном подходе ..................................................... 15
         2.2. Интегральное уравнение для волновой функции 
                задачи рассеяния. Борновские приближения 
                для амплитуды рассеяния. 

−
+ y
y ,
-векторы.
                Уравнения Липпмана–Швингера .................................... 19 
         2.3. Свойства 

−
+ y
y ,
-векторов. Полная функция Грина. 
                Уравнение Дайсона ............................................................... 34

Глава 3. Описание процессов рассеяния 
                в нестационарном подходе ............................................... 41
         3.1. Постановки задачи рассеяния 
                в нестационарном подходе ................................................. 42 
         3.2. Описание процесса адиабатического включения 
                и выключения взаимодействия 
                в теории рассеяния. S-матрица ........................................ 48 
      
         3.3. Расчет сечения рассеяния 
                в нестационарном подходе. 
                «Золотое правило» Ферми ................................................. 57
         3.4. Общие свойства S-матрицы, 
                оптическая теорема .............................................................. 60 
          
         3.5. Применение «золотого правила» Ферми 
                для описания процессов неупругого рассеяния ........ 64 
 
         3.6. Реалистический подход к задаче рассеяния ................ 70

Глава 4. Рассеяние сферически-симметричным   
                потенциальным центром ................................................ 83
         4.1. Постановка задачи ................................................................ 84
         4.2. Решение уравнения Шредингера 
                в сферически-симметричном потенциале ................... 85
         4.3. Решения задачи рассеяния для сферически-        
                симметричного потенциального центра ...................... 98 
         4.4. Свойства сдвигов фаз рассеяния ................................... 105

Глава 5. Аналитические свойства S-матрицы. 
                Поведение фаз рассеяния при малых энергиях .... 111
         5.1. Аналитические свойства S-матрицы ............................ 112
         5.2. Физический смысл полюсов S-матрицы ..................... 117
         5.3. Поведение сдвигов s-фаз рассеяния 
                при малых энергиях ........................................................... 119

Глава 6. Резонансные и квазистационарные 
                состояния. Время рассеяния ....................................... 125
         6.1. Квазистационарные и резонансные состояния 
                в квантовой механике ....................................................... 126
         6.2. Распад квазистационарных состояний ....................... 134
         6.3. Время рассеяния ................................................................. 142

ПРИЛОЖЕНИЕ 1
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ .... 151

         1.1. Определение обобщенной функции. d-функция ....... 152
         1.2. Преобразования и свойства обобщенных функций.
                Дифференцирование обобщенных функций ............ 158
         1.3. Некоторые важные соотношения теории 
                обобщенных функций ...................................................... 164

1.4. Обобщенные функции, связанные 
             с функцией 1/x ......................................................................... 168
      1.5. d-функции в трехмерном случае ....................................... 176

ПРИЛОЖЕНИЕ 2 
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ ........................................................ 179

Литература ............................................................................................. 188

Глава 1

ПОСТАНОВКА 
ЗАДАЧИ  РАССЕЯНИЯ

Квантовая теория рассеяния

Квантовая теория рассеяния изучает процессы взаимодействия 
падающих на твердотельную или газовую мишень микрочастиц с 
отдельными частицами мишени. Такие процессы называют элементарными. При их исследовании эксперимент должен быть поставлен 
так, чтобы исключить многократное рассеяние падающих частиц 
в мишени, а также интерференцию волн, описывающих частицы, 
когерентно рассеянные различными частицами мишени. Для исключения многократного рассеяния толщина мишени должна быть 
много меньше длины свободного пробега в ней падающих частиц. 
Для исключения интерференции импульс, переданный при рассеянии частице мишени, должен быть достаточно велик. В этом случае 
квантовое состояние рассеивающей частицы мишени изменяется, и 
волны, описывающие частицы, рассеянные различными частицами 
мишени, не интерферируют друг с другом, так что полный поток 
рассеянных частиц равен сумме потоков, возникших в результате 
рассеяния падающих частиц всеми частицами мишени. В случае 
больших переданных импульсов можно, кроме того, пренебречь 
взаимодействием между частицами мишени и считать элементар

Р. В. Ведринский

ный процесс рассеяния процессом столкновения двух свободных 
частиц. При этом падающая частица имеет достаточно большой 
импульс, а частица мишени первоначально практически покоится. 
Система отсчета, в которой частицы мишени покоятся, называется 
лабораторной. Теоретически более удобной системой отсчета является система центра масс. В этой системе отсчета процесс рассеяния 
можно описать как рассеяние одной эффективной частицы с массой, 
равной приведенной массе сталкивающихся частиц. Вопрос о том, 
как на основе решения задачи рассеяния в системе центра масс можно описать процесс рассеяния в лабораторной системе отсчета, подробно рассмотрен в «Курсе теоретической физики» Л. Д. Ландау и  
Е. М. Лифшица (том 1 [5], глава 4 и том 3 [3], глава 17) и в дальнейшем обсуждаться не будет. Ниже для простоты считается, что 
частицы мишени имеют столь большие массы, что лабораторная система и система центра масс совпадают. 
Частицами мишени являются атомные ядра, если исследуются 
процессы ядерного рассеяния нейтронов, протонов a-частиц и пр., 
и атомы или молекулы, если исследуются процессы рассеяния ими 
электронов. В последнем случае для исключения процессов многократного рассеяния обычно используют газовые мишени. 
В пренебрежении процессами многократного рассеяния падающих частиц в мишени и интерференцией рассеянных волн измеряемая детектором интенсивность рассеянных частиц (число частиц, регистрируемых детектором в единицу времени) равна сумме вкладов 
от рассеяния падающих частиц всеми частицами мишени. Каждый 
такой вклад dN/dt пропорционален плотности потока падающих частиц  j и величине телесного угла dW, под которым видно входное 
окно детектора из точки, где располагается мишень, размеры которой 
выбирают много меньшими, чем расстояния до детектора:

Квантовая теория рассеяния





d
d
d
j
t
d
dN
 ,  
 
 
 
 
(1.1.1) 

 

где величина 


d
d
, характеризующая элементарный процесс рассеяния, 

называется дифференциальным сечением рассеяния. Главной задачей теории 

рассеяния является вычисление сечений рассеяния. Величина: 

 

 
 
 
 






d
d
d
t
 
 
 
 
 
 
(2.1.2) 

 

называется полным сечением рассеяния. 

 
Длина l свободного пробега падающих частиц в мишени равна: 

 

 ,                                      (1.1)

где величина W

s
d
d

, характеризующая элементарный процесс рассеяния, называется дифференциальным сечением рассеяния. Главной 
задачей теории рассеяния является вычисление сечений рассеяния. 
Величина

                                            
∫
W
W
s
=
s
d
d
d

t

                                            
(1.2)

называется полным сечением рассеяния. 
Длина l свободного пробега падающих частиц в мишени равна

                                                 
s
=
n
l
/
1
,                                                (1.3)

где n – концентрация частиц мишени. 
Используя соотношение (1.3), легко понять, какой должна быть 
толщина мишени, чтобы можно было пренебречь процессами многократного рассеяния. 
Рассмотрим качественно вопрос о том, при каких условиях можно 
пренебречь эффектом интерференции волн, возникших в результате 
рассеяния падающих частиц различными частицами мишени. В случае газовых мишеней интерференция отсутствует. В случае твердотельных мишеней можно приближенно считать, что каждая частица 

Р. В. Ведринский

мишени совершает независимые колебания около своего положения 
равновесия. Такая модель, нередко используемая в физике твердого 
тела, называется моделью Эйнштейна. Пусть частица мишени находится в колебательном состоянии с волновой функцией 
)
(
0 r
j
. Если 
в результате рассеяния падающая частица получает дополнительный 
волновой вектор q  (называемый переданным импульсом или переданным волновым вектором), то частица мишени получает волновой векторq
−
. В случае, если падающие частицы имеют достаточно 
большие скорости, время рассеяния, как правило, намного меньше 
периода колебания частиц мишени около положения равновесия. При 
этом можно считать, что частица мишени получает волновой вектор 
q
−
 мгновенно и ее волновая функция сразу после окончания акта рассеяния становится равной 
)
(
)
exp(
)
(
0
1
r
r
qi
r




j
−
=
j
. Несложно вычислить вероятность w0 того, что колебательное состояние частицы мишени останется неизменным после рассеяния, что и обеспечивает возможность интерференции рассеянных волн. Эта вероятность равна:

                       

2
3
0
0
0
)
(
)
exp(
)
(
∫
j
−
j
=
∗
r
d
r
r
qi
r
w




.                     (1.4)

Пусть r0 – амплитуда колебаний частицы мишени около положения 
равновесия (в данном случае – то средний радиус волновой функции 

)
(
0 r
j
). Ясно, что величина w0 мала, если qr0 >> 1. В этом случае интерференция отсутствует. Если же qr0 << 1, то величина w0 близка 
к 1, колебательное состояние частицы мишени после рассеяния с 
большой вероятностью остается неизменным и интерференцией пренебрегать нельзя. 
Если внутреннее состояние частиц, участвующих в рассеянии, не 
изменяется, их кинетические энергии в системе центра масс по за

Квантовая теория рассеяния

кону сохранения энергии и импульса сохраняются. Такой процесс называют процессом упругого рассеяния. Если внутреннее состояние 
частиц изменяется (например, при рассеянии электрона атомом он 
переходит в возбужденное состояние), изменяются также кинетические энергии сталкивающихся частиц и процесс называют процессом 
неупругого рассеяния. Если при рассеянии меняется число или тип 
рассеивающихся частиц, говорят о реакции (например, ионизация 
атома быстрым электроном). Для полного исследования процессов 
неупругого рассеяния и реакций используемые детекторы должны 
не только фиксировать рассеянные частицы, но определять их тип 
и энергию. Ниже будут рассматриваться лишь процессы рассеяния 
нерелятивистских частиц и, как уже говорилось, будет считаться, что 
частицы мишени столь массивны, что кинетической энергией, которую они получают при рассеянии, можно пренебречь. Простейшим 
процессом рассеяния, который будет в основном рассматриваться в 
дальнейшем, является процесс рассеяния нерелятивистских частиц 
бесконечно тяжелым потенциальным центром. В этом случае для 
теоретического описания процесса рассеяния необходимо задать потенциальную энергию 
)
(r
W   (часто для краткости часто называемую 
потенциалом) взаимодействия падающих частиц с этим центром. Для 
упрощения будем считать, что потенциал отличен от нуля лишь в 
конечной области пространства при r < R. 
С учетом сказанного задача рассеяния ставится следующим образом. На неподвижный тяжелый рассеивающий центр падают частицы 
со средним волновым вектором k


. Точно задать этот вектор невозможно, но его неопределенность должна быть относительно малой. 
Для этого необходимо, чтобы была мала угловая неопределенность 
волнового вектора Da << 1 и неопределенность модуля этого вектора 
была много меньше его среднего значения:

Р. В. Ведринский

                                                                                                

Задачей теории в данном случае является расчет потоков частиц, 
рассеянных потенциальным центром, и вычисление по этим потокам 
искомых сечений рассеяния. 
Задание 1.1
1. Полное сечение рассеяния нейтрона ядром порядка 10-2 барн 
(1 барн = 10-28 м2). Атом в мишени занимает объем порядка 10-2 нм3. 
Оценить максимальную толщину мишени, в которой можно пренебречь процессами многократного рассеяния нейтронов. 
2. Однородный по площади пучок частиц диаметром 1 мм падает на однородную мишень толщиной 0,1 мм, ориентированную 
перпендикулярно пучку. Полное число частиц, падающих на мишень 
за 1 с: 1010, дифференциальное сечение рассеяния под углом α равно 
0,1 барн/стеррад. Один атом в мишени приходится на объем 10-2 нм3. 
Детектор находится на расстоянии 30 см от мишени под углом α к направлению пучка и имеет диаметр круглого входного отверстия 2 мм, 
которое ориентировано перпендикулярно направлению движения рассеянных частиц. Найти скорость счета детектора, считая его идеальным. Изменится ли результат, если пучок неоднороден по площади?
3. В задаче 2 задано не число частиц, падающих на мишень в единицу времени, а полное число частиц – 1014, упавших на мишень за время эксперимента, причем интенсивность пучка зависела от времени. 
Сколько рассеянных частиц зарегистрирует детектор? 
4. Нерелятивистская частица с массой m и энергией E упруго рассеивается тяжелым атомом на угол α. Чему равен модуль переданного импульса q? 
5. Массы падающих частиц m много меньше масс частиц мишени. 
Волновая функция начального колебательного состояния частицы 

.
 (1.5)
k
k <<
D

Квантовая теория рассеяния

мишени 
)
)
/
(
exp(
)
(
2

0
0
r
r
C
r
−
=
j

, где С – нормировочная константа. 
Определить константу С так, чтобы функция 
)
(
0 r
j
 была нормирована на 1, получить выражение для w0 и оценить граничную энергию 
падающих частиц Е0, начиная с которой можно пренебречь интерференцией волн, рассеянных различными частицами мишени. 
6. Доказать соотношение (1.3).